1、【通過做對稱求出最小值】1、在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為          cm2、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PDPE的和最小，則這個最小值為_ 3、已知四邊形ABCD為菱形，BAD60°，E為AD中點，AB6，DCEBPA P為AC上任一點.求PE+PD的最小值是 .ACPEFBD【變式】在菱形ABCD中，對角線AC=6，B

2、D=8，點E、F分別是邊 AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 .【模擬練習】1、如圖，在銳角ABC中，AB=4，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 ABCDNM第1題2、如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120°，BE90°，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分別找一點M、N，使AMN的周長最小，則AMN的最小周長為_BADEMCN第2題3、如圖6，AB是O的直徑，AB=8，點M在O上，MAB=20°,N是弧MB的中點,P是直徑AB上

3、的一動點，若MN=1，則PMN周長的最小值為_4、如圖，點P是AOB內任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是5cm，則AOB的度數是（ ） A25° B30° C35° D40°5、菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2，0），DOB=60°，點P是對角線OC上一個動點，E（0，1），當EP+BP最短時，點P的坐標為 6、如圖，在邊長為2的等邊ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為_7、如圖，AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的

4、動點，OP平分AOB，且OP=6，當PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為 8、如圖，AOB30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_9、如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心，1為半徑畫圓，E是A上一動點，P是BC上的一動點，則PE+PD的最小值是 【通過三角形三邊關系或圓求最值】1、 如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為

5、_2、如圖，MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM，ON上當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為_3、如圖，正方形ABCD中，AB=2，動點E從點A出發向點D運動，同時動點F從點D出發向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為 ADCBEFPM 4、如圖，在平行四邊形ABCD中，BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將AMN沿MN所在直線翻折

6、得到AMN，連接AC，則AC長度的最小值是_5、如圖，在矩形中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_6、如圖，在ABC中，ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將BCP沿CP所在的直線翻折，得到BCP，連接BA，則BA長度的最小值是 【通過點到直線距離，垂線段最短求最小值】1、 已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為_2、如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的

7、圓上一動點，連結PA、PB則PAB面積的最大值是（ ）A8 B12 C D3、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB經過點A（4，0）、B（0，4），O的半徑為1（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為（ ）A.B.3C.D.CABEF4、如圖，在ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，經過點C且與AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點E、F，則線段EF長度的最小值是 ( )A B4.75 C4.8 D5【將圖形展開后求線段最短】1、如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此

8、時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_cm【高中基本不等式】1、張華在一次數學活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結論，推導出“式子（x0）的最小值是2”其推導方法如下：在面積是1的矩形中設矩形的一邊長為x，則另一邊長是，矩形的周長是2（）；當矩形成為正方形時，就有x=（x0），解得x=1，這時矩形的周長2（）=4最小，因此（x0）的最小值是2模仿張華的推導，你求得式子（x0）的最小值是_【其它】1、如圖，已知直線l與O相離，OAl于點A，OA=5，OA與O相交于點P，AB與O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C，若在O上存在

9、點Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑的最小值是（ ）A. B. 2 C. D. 2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，中心為點O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意旋轉，在旋轉過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內（包括正方形的邊），當這個六邊形的邊長最大時，AE的最小值為_ 3、如圖，AB=10，C是線段AB上一點，分別以AC、CB為邊在AB的同側作等邊ACP和等邊CBQ，連結PQ，則PQ的最小值是（）A5B6C3D44、如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（xm）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側），

10、點C的橫坐標最小值為3，則點D的橫坐標最大值為5、如圖，ABC、EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M當EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是（ ）ABCD6、在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A(13，0)，若直線ykx3k4與O交于B，C兩點，則弦BC的長的最小值為_7、在O中，圓的半徑為6，B=30°，AC是O的切線，則CD的最小值是（ ） A1B3CD28、如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），C的圓心坐標為（1，0），半徑為1若D是C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則ABE面積的最小值是（）

11、 A2B1CD9、如圖，AB是O的一條弦，點C是O上一動點，且ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與O交于G、H兩點若O的半徑為7，則GE+FH的最大值為 第7題 第8題 第9題【構造三角形】1、如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居民點B，A、B的直線距離是13千米.一天，居民點B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時，而在草地上的最快速度是40千米/小時，則消防車在出發后最快經 小時可到達居民點B.(友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛.)2、如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一

12、動點P，BC6，ABC150°，則線段APBPPD的最小值為 ABCDP（第2題）3、問題情境：如圖1，P是O外的一點，直線PO分別交O于點A、B，則PA是點P到O上的點的最短距離探究：請您結合圖2給予證明；歸納：圓外一點到圓上各點的最短距離是：這點到連接這點與圓心連線與圓交點之間的距離圖中有圓，直接運用：如圖3，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是 圖中無圓，構造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在

13、的直線翻折得到AMN，連接AC，請求出AC長度的最小值解：由折疊知AM=AM，又M是AD的中點，可得MA=MA'=MD，故點A'在以AD為直徑的圓上如圖8，以點M為圓心，MA為半徑畫M，過M作MHCD，垂足為H，（請繼續完成下列解題過程）遷移拓展，深化運用：如圖6，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 2、如圖，在ABC中，AB13，BC14，AC15（1）探究：如圖1，作AHBC于點H，則AH ，ABC的面積 （2）拓展：如圖2，點D在邊AC上（可與點A，C重合），分別過

14、點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BDx，AECFy求y與x的函數關系式，并求y的最大值和最小值；對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，請求出這樣的x的取值范圍ABCHABCDFE圖1圖23、如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，B=45°，P是BC邊上一點，PAD的面積為，設AB=x，AD=y（1）求y與x的函數關系式；（2）若APD=45°，當y=1時，求PBPC的值；（3）若APD=90°，求y的最小值4、圖1，圖2為同一長方體房間的示意圖，圖2為該長方體的表面展開圖.（1）蜘蛛在頂點處蒼蠅在頂點B處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最

15、近路線；蒼蠅在頂點C處時，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線和往墻面爬行的最近路線，試通過計算判斷哪條路線更近？（2）在圖3中，半徑為10dm的M與相切，圓心M到邊的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線。若PQ與M相切，試求PQ的長度的范圍.5、在RtABC中，A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點若等腰RtADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰RtAD1E1，設旋轉角為（0<180°），記直線BD1與CE1的交點為P（1）如圖1，當=90°時，線段BD1的長等于 ，線段

16、CE1的長等于 ；（直接填寫結果）（2）如圖2，當=135°時，求證：BD1= CE1，且BD1CE1；（3）設BC的中點為M，則線段PM的長為 ；點P到AB所在直線的距離的最大值為 （直接填寫結果） 6、如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE（1）求證：DEAG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角（0°360°）得到正方形OEFG，如圖2在旋轉過程中，當OAG是直角時，求的度數；若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程

17、中，求AF長的最大值和此時的度數，直接寫出結果不必說明理由7、 在中，,將繞點順時針旋轉，得到.（1）如圖，當點在線段延長線上時. .求證：；.求的面積；（2）如圖，點是上的中點，點為線段上的動點，在繞點順時針旋轉過程中，點的對應點是，求線段長度的最大值與最小值的差.8、如圖，把EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，BAD=60°，且AB4（1）求EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值9、拋物線y=ax2+bx+4（a0）過點A（1，1），B（5，1），與y軸交于點C（1）求拋物線的函數表達式；（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作CBPQ，若點P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標平面內的一點，且CBPQ的面積為30，求點P的坐標；（3）如圖2，O1過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為 上的一動點（不與點A，E重合），MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值 10、問題提出：如圖1，