1、傅立葉分析主要是從頻率的角度來分析信號和系傅立葉分析主要是從頻率的角度來分析信號和系統(tǒng)，時域分析和頻域分析相輔相成。統(tǒng)，時域分析和頻域分析相輔相成。對于連續(xù)時間和離散時間信號與系統(tǒng)分析來說，對于連續(xù)時間和離散時間信號與系統(tǒng)分析來說，傅立葉分析方法是一個強(qiáng)有力而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鲶w系，傅立葉分析方法是一個強(qiáng)有力而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鲶w系，有極為廣泛和潛在的應(yīng)用范圍。有極為廣泛和潛在的應(yīng)用范圍。第三章第三章 傅立葉變換傅立葉變換 周期信號可以表示成傅立葉級數(shù)：它以三角函周期信號可以表示成傅立葉級數(shù)：它以三角函數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集為基函數(shù)集。數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集為基函數(shù)集。周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)

2、狄里赫利條件：狄里赫利條件：周期函數(shù)周期函數(shù)f(t)滿足如下充分條件：滿足如下充分條件：1、在一周期內(nèi)，信號有有限個極值點(diǎn)。、在一周期內(nèi)，信號有有限個極值點(diǎn)。2、如果有間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的數(shù)目是有限個。、如果有間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的數(shù)目是有限個。3、在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的。即：、在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的。即： dttfTtt00)(我們實(shí)際中遇到的周期信號，都能滿足這些條件。我們實(shí)際中遇到的周期信號，都能滿足這些條件。3.2 周期信號的傅立葉級數(shù)分析（頻譜）周期信號的傅立葉級數(shù)分析（頻譜）任何一個滿足狄利克雷條件的周期為任何一個滿足狄利克雷條件的周期為T的函數(shù)的函數(shù)f(t)都可都可以用三角函數(shù)

3、集中各函數(shù)分量的線性組合來表示，即以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線性組合來表示，即: :)sincos(22sinsin2coscos2)(1110121112110tnbtnaatbtbtataatfnnn（一）三角形式的傅立葉級數(shù)（一）三角形式的傅立葉級數(shù)上式稱為上式稱為f(t)的三角形式的傅立葉級數(shù)展開，其中：的三角形式的傅立葉級數(shù)展開，其中：dttfTatdttfTbtdtntfTaTTttTttnTttn000000)(2sin)(2cos)( 1 1 稱為基波角頻率，稱為基波角頻率，n n 1 1 稱為稱為n n次諧波角頻率次諧波角頻率, ,若把同若把同頻率項加以合并，即頻率項加以合

4、并，即)cos(sincos12211nnnnntnbatnbtna 或或)sin(sincos12211nnnnntnbatnbtna 110)cos(2)(nnntncatf或110)sin(2)(nnntndatf則可得到另兩種表示形式：則可得到另兩種表示形式：c cn n代表代表n n次諧波振幅；次諧波振幅； n n , , n n代表代表n n次諧波的初相位次諧波的初相位以上兩種表示的關(guān)系為以上兩種表示的關(guān)系為 22nnnbaCnnnabtg1nn2nnnCacosnnnC在實(shí)際的信號分析中，只能用下面的有限項近似形在實(shí)際的信號分析中，只能用下面的有限項近似形式來表示任意信號式來表示

5、任意信號f(t)f(t)。)()sincos(2)(1110ttkbtkaatfnknkk例：例：1tTf(t)0 11)(tf20Tt TtT 2將信號將信號f(t)展開為三角形式的傅立葉級數(shù)展開為三角形式的傅立葉級數(shù)解：首先根據(jù)公式計算系數(shù)解：首先根據(jù)公式計算系數(shù) TdttfTa00)(202202 TTTdtdtT TntdtntfTa01cos)(2 0coscos220211 TTTtdtntdtnT 1tTf(t) TntdtntfTb01sin)(2 20211sinsin2TTTtdtntdtnT |212011coscos12TTTtntnnT nncos12 1tTf(t)

6、為奇數(shù)為偶數(shù)nnnbn40所以所以tnbtfnn 11sin)( tt113sin34sin4 ( (二二) ) 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)因為復(fù)指數(shù)函數(shù)集因為復(fù)指數(shù)函數(shù)集, 2, 1, 0,1netjn在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+T)內(nèi)也是一個完備正交函數(shù)集，其中內(nèi)也是一個完備正交函數(shù)集，其中T21對于任意周期為對于任意周期為T的信號的信號f(t),可在區(qū)間可在區(qū)間(t0 ,t0+T)內(nèi)表示為內(nèi)表示為此函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合，即此函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合，即tjnnneFtf1)(定義：定義：式中指數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)式中指數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)Fn可由下式求得可由下式求得tjnnneFtf1)

7、(dtetfTFTtttjnn001)(1F Fn n亦稱為譜系數(shù)亦稱為譜系數(shù), ,一般為復(fù)數(shù)一般為復(fù)數(shù)( (二二) ) 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)由歐拉公式：由歐拉公式：)(21cos jjee )cos(2)(110nnntnCatf1)()(011212ntnjtnjnnneeCa又因為又因為00,caCCnnnn( (二二) ) 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)與三角傅立葉級數(shù)的關(guān)系：指數(shù)傅立葉級數(shù)與三角傅立葉級數(shù)的關(guān)系：ntjnnneC)(121ntjnjneeCn121ntjnneC1211)()(011212)(ntnjtnjnnneeCatf( (二二) ) 指數(shù)傅

8、立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)經(jīng)推導(dǎo)經(jīng)推導(dǎo)nncF2TtttjndtetfT001)(2njnecnnnnjccsincosnnjba )(21nnnjbaF( (二二) ) 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù)1、當(dāng)、當(dāng)f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù))()(tftf 所以：所以： 221cos)(2TTtdtntfTan 201cos)(4TtdtntfT0sin)(2221 TTtdtntfTbn ( (三三) ) 對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系2、當(dāng)、當(dāng)f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù))()(tftf 0cos)(2221 TTtdtntfTan 0)(2220 TTdttfTa( (三三) ) 函

9、數(shù)波形的對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)波形的對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系 221sin)(2TTtdtntfTbn 201sin)(4TtdtntfT 3、當(dāng)、當(dāng)f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下翻轉(zhuǎn)，波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下翻轉(zhuǎn)，此時波形不發(fā)生變化，即滿足：此時波形不發(fā)生變化，即滿足：)()(2Ttftf 這樣的函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)或奇諧函數(shù)，這樣的這樣的函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)或奇諧函數(shù)，這樣的函數(shù)只有奇次諧波，即函數(shù)只有奇次諧波，即an、bn中中n取奇數(shù)時，才有諧取奇數(shù)時，才有諧波分量。波分量。( (三三) ) 函數(shù)波形的對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系函

10、數(shù)波形的對稱性與傅立葉級數(shù)的關(guān)系傅立葉有限級數(shù)與最小均方差傅立葉有限級數(shù)與最小均方差任意周期函數(shù)表示為傅立葉級數(shù)需要無限多項才能完任意周期函數(shù)表示為傅立葉級數(shù)需要無限多項才能完全逼近原函數(shù)，當(dāng)選用有限項時，項數(shù)越多，越逼近全逼近原函數(shù)，當(dāng)選用有限項時，項數(shù)越多，越逼近原函數(shù)。原函數(shù)。1110)sin()cos()(nnntnbtnaatfN1110)sin()cos()(nnnNtnbtnaatS取傅立葉級數(shù)的前取傅立葉級數(shù)的前2N+12N+1項項用前用前2N+12N+1項逼近引起的誤差為：項逼近引起的誤差為： )()(tStftNN方均誤差為：方均誤差為： NnnnTttNNNbaatfdt

11、tTtE12202221)(21)()(1100當(dāng)當(dāng)N趨近于無窮大，趨近于無窮大，SN趨近趨近f(t)當(dāng)當(dāng)f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的頂部，所以波跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的頂部，所以波形變化越激烈，高頻分量越豐富形變化越激烈，高頻分量越豐富信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化，信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化，則波形失真。則波形失真。吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象當(dāng)選取傅立葉有限項級數(shù)的項數(shù)越多，在所合成的當(dāng)選取傅立葉有限項級數(shù)的項數(shù)越多，在所合成的波形波形S SN N中出現(xiàn)的峰起越靠近中出現(xiàn)的

12、峰起越靠近f f（t t）的不連續(xù)點(diǎn)，當(dāng)）的不連續(xù)點(diǎn)，當(dāng)所取所取N N很大時，該峰起趨近于一個常數(shù)，大約等于總很大時，該峰起趨近于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的跳變值的9 9，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象（逐漸衰減下去，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象（GibbsGibbs）。）。110)cos(2)(nnntnCatf其中：其中：C Cn n代表代表n n次諧波的振幅，稱振幅頻譜。次諧波的振幅，稱振幅頻譜。 n n代表代表n n次諧波的初相位，稱相位頻譜。次諧波的初相位，稱相位頻譜。為了表征不同信號的諧波組成情況，時常畫出周期為了

13、表征不同信號的諧波組成情況，時常畫出周期信號的各次諧波的分布圖，這種圖形稱為信號的頻信號的各次諧波的分布圖，這種圖形稱為信號的頻譜。它是信號頻域表示的一種方法。譜。它是信號頻域表示的一種方法。3.3 3.3 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜振幅頻譜：描述各次諧波振幅與頻率的關(guān)系圖振幅頻譜：描述各次諧波振幅與頻率的關(guān)系圖相位頻譜：描述各次諧波相位與頻率的關(guān)系圖相位頻譜：描述各次諧波相位與頻率的關(guān)系圖（一）周期矩形脈沖信號（一）周期矩形脈沖信號 0)(Etf22 t2222TtandtT Ef(t)2 2TTt2T要研究要研究f(t)f(t)的頻譜，首先要求的頻譜，首先要求f(t) f(t)

14、的傅立葉級數(shù)的系的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。數(shù)。、三角形式的傅立葉級數(shù)、三角形式的傅立葉級數(shù)單邊頻譜單邊頻譜f(t)是偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)，所以0 nbTEEdtTdttfTaTT22221)(120 221cos)(2TTtdtntfTan 222cos2 tdtTnETan |222sin22 tTnnTTE TnnEsin2 )(2 TnSaTE )2(21 nSaTE 三角形式的傅立葉級數(shù)為：三角形式的傅立葉級數(shù)為： 111cos)2(2)(ntnnSaTETEtf TEa20此時，此時，)2(2122nSaTEabaCnnnn0 nnnabtg 0n0 na0 將各諧波分量的幅度和相位用垂直

15、線段在頻率軸的相將各諧波分量的幅度和相位用垂直線段在頻率軸的相應(yīng)位置上標(biāo)出，即信號的頻譜圖。應(yīng)位置上標(biāo)出，即信號的頻譜圖。Cn 01 2 4TE 2TE n 0 4 0n0 na0 CnTE 2 01 2 4也可以將頻譜和相位譜合在一幅圖上。這種畫法只也可以將頻譜和相位譜合在一幅圖上。這種畫法只有有C Cn n為實(shí)數(shù)時才可能。為實(shí)數(shù)時才可能。2、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)雙邊頻譜雙邊頻譜dtEeTctjnn 2211 )2(1 nSaTE ntjnenSaTEtf1)2()(1 cn 01 2 4TE 2 單邊頻譜與雙邊頻譜比較：單邊頻譜與雙邊頻譜比較：單邊：每一譜線代表某一分

16、量的幅度單邊：每一譜線代表某一分量的幅度雙邊：譜線在原點(diǎn)兩側(cè)對稱分布，且譜線長度減小一雙邊：譜線在原點(diǎn)兩側(cè)對稱分布，且譜線長度減小一半，（每一頻率譜線正負(fù)各一半）半，（每一頻率譜線正負(fù)各一半）cn 01 2 4TE 2 An 01 2 4TE 2TE njnneC3、周期矩形脈沖的頻譜特點(diǎn)、周期矩形脈沖的頻譜特點(diǎn)離散性：周期矩形脈沖的頻譜是離散的線狀頻譜離散性：周期矩形脈沖的頻譜是離散的線狀頻譜cn 01 2 4TE 2 諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率 1（等（等于于2 /T）的整數(shù)倍。譜線間隔）的整數(shù)倍。譜線間隔 1與與T成反比。成反比。收斂性：

17、譜線幅度隨收斂性：譜線幅度隨n而衰減到零。而衰減到零。包絡(luò)線：各譜線的幅度包絡(luò)線按抽樣函數(shù)包絡(luò)線：各譜線的幅度包絡(luò)線按抽樣函數(shù) Sa(n 1 /2)的規(guī)律變化。的規(guī)律變化。cn 01 2 4TE 2 占有頻帶寬度：占有頻帶寬度：周期矩形脈沖信號包含無窮多條譜線，但它的能量主周期矩形脈沖信號包含無窮多條譜線，但它的能量主要集中在第一零點(diǎn)以內(nèi)。把要集中在第一零點(diǎn)以內(nèi)。把 =02 / 這段頻率范圍稱這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的占有頻帶寬度。記作為矩形脈沖信號的占有頻帶寬度。記作 2 B 1 fB或或上式說明：信號的占有頻帶寬度上式說明：信號的占有頻帶寬度B與時寬與時寬 成成 反比反比cn 01 2

18、 4TE 2 例：若余弦信號為例：若余弦信號為Ecos 1t，其中，其中 1=2 /T， 則全波余弦信號則全波余弦信號f(t)為為tEtf1cos)(2T2T0)(tft求求f(t)的傅立葉級數(shù)的傅立葉級數(shù)解：如圖，解：如圖，f(t)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則0nbf(t)的周期為：的周期為：20TT 基頻基頻：102（二）周期全波余弦信號（二）周期全波余弦信號2020)(200TTdttfTa20010cos4TtdtET200002cos4TtdtETE4202000cos)(2TTtdtntfTan200000cos2cos4TtdtntET（二）周期全波余弦信號（二）周期全波余弦信號)2sin() 12(2)2sin() 12(2nnEnnE)14(4)1(21nEa