1、精選優質文檔-傾情為你奉上歷年高考數列真題匯編1、(2011 年新課標卷文 )1已知等比數列 an 中， a1 ，公比31q 3（I） Sn 為an 的前 n 項和，證明：Sn1an2（II）設 bn log3 a1 log3 a2 log3 an ，求數列 bn 的通項公式1 1 1 (1 ) 11 1 1 1n n3 3 3n解：（）因為 a . S ,( )n n n13 3 3 21 31 an所以 ,Sn2（） bn log3 a1 log3 a2 log3 an (1 2 . n)n(n 1)所以 bn 的通項公式為 bn .2n(n21)2、(2011 全國新課標卷理）等比數列a

2、 的各項均為正數，且n22a 3a 1,a 9a a .1 2 3 2 6（1）求數列a 的通項公式 .n(2) 設b log a log a . log a ,求數列n 3 1 3 2 3 n1bn的前項和 .解：（）設數列 a n 的公比為 q，由2a3 9a2a6 得3 2a3 9a4 所以2 1q 。有條件可知 a>0,9故1q 。3由2a 3a 1得1 212a 3a q 1，所以 a1 。故數列 a1 23n 的通項式為 an=1n 。3（ ）b log a log a . log an 1 1 1 1 1 1(1 2 . n)n(n 1)2故1 2 1 12( )b n(n

3、 1) n n 1n1專心-專注-專業1 1 1 1 1 1 1 1 2n . 2(1 ) ( ) . ( )b b b 2 2 3 n n 1 n 11 2 n所以數列1 bn的前 n 項和為2nn 13、（2010 新課標卷理）設數列2n 1a 滿足a1 2,a 1 a 3 2n n n（1） 求數列a 的通項公式；n（2） 令b na ，求數列的前 n 項和Sn n n解（）由已知，當 n 1 時， an 1 ( an 1 an) (an an 1) (a2 a1) a12 1 2 3n n 22( n 1) 1 。 3(2 2 2) 2而2n 1a1 2,所以數列 an 的通項公式為a

4、 2 。n（）由2n 1b na n 2 知n n3 5 2n 1S 1 2 2 2 3 2 n 2 n從而2 3 5 7 2n 12 S 1 2 2 2 3 2 n 2 n- 得2 3 5 2n 1 2n 1(1 2 ) S 2 2 2 2 n 2 。n即12n 1S (3 n 1)2 2n94、（20I0 年全國新課標卷文）設等差數列a 滿足a3 5， a10 9。n（）求a 的通項公式；n（）求a 的前 n項和Sn 及使得 Sn 最大的序號 n的值。n解：（1）由 am = a1 +（n-1）d 及 a1=5，a10=-9 得a 2d 51a 9d 91解得a1 9d 2數列 an的通項

5、公式為an=11-2n。 .分62n(n 1) 2(2)由(1) 知 Sn=na1+2+25.因為Sn=-(n-5)d=10n-n2。所以 n=5 時， Sn 取得最大值。5、（ 2011 年全國卷）設等差數列 an 的前 N 項和為Sn ,已知 a2 6, 6a1 a2 30,求 an 和 Sn6、（ 2011 遼寧卷）已知等差數列 an滿足a2=0，a6+a8=-10（I）求數列 an的通項公式；（II）求數列ann21的前 n 項和解：（I）設等差數列 a 的公差為d，由已知條件可得na d0,12a 12d 10,1解得a1 1,d 1.故數列 a 的通項公式為an 2 n. 5 分n

6、a a an 的前 項和為，即 2 n（II）設數列 1 1 1 , 1 1n S S a 故 S ， n n n n2 2 2S a a an 1 2 n .n2 2 4 2所以，當 n 1時，S a a a a an 2 1 n n 1 na1 1 n n2 2 2 21 1 1 2 n1 ( )n 1 n2 4 2 21 21 (1 )n 1 n2 2nn= .所以n2nSn n21 .綜上，數列a nn 的前 n項和 S .nn 1 n 12 27、（2010 年陜西省）3已知 an是公差不為零的等差數列， a11，且 a1，a3， a9 成等比數列 .（）求數列 an的通項; an的

7、前 n 項和 Sn.（）求數列 2解 （）由題設知公 差 d0，由 a11，a1，a3，a9 成等比數列得1 2d11 8d1 2d，解得 d1，d0（舍去）， 故an的通項 an1+（n1）× 1 n.ma()由（）知 2n，由等比數列前 n 項和公式得=22 3 nSn=2+2 +2 + +2 =n2(1 2 )1 2n+1=2 -28、（ 2009 年全國卷）設等差數列 an 的前 n 項和為 sn ，公比是正數的等比數列 bn 的前 n 項和為 Tn ，已知a1 1 ,b1 3,a3 b3 17,T3 S3 12求, a n ,bn 的 通項公式。解： 設a 的公差為 d ，

8、 bn 的公比為 qn由a b 得3 3 1721 2d 3q 17 由T3 S3 12得2 4q q d 由及 q 0解得 q 2,d 2故所求的通項公式為na 2n 1,b 3 2n n19、（ 2011 福建卷）已知等差數列 a n中， a1=1，a3=-3.（I ）求數列 a n 的通項公式；（II ）若數列 a n 的前 k 項和 Sk=-35 ，求 k 的值.10、（2011 重慶卷）設 是公比為正數的等比數列， , .( ) 求 的通項公式。4( ) 設 是首項為 1，公差為 2 的等差數列，求數列 的前 項和 .11、（2011 浙江卷）已知公差不為 0 的等差數列 a 的首項

9、為 a(a R)，且n1a1，1a2，1a4成等比數列（）求數列 a 的通項公式；n（）對*n N ，試比較1a212a21 32a.1 n2a與1a1的大小解：設等差數列 a 的公差為 d ，由題意可知n1 1 12( )a a a2 1 4即2(a d) a (a 3d) ，從而1 1 12a d d 因為1d 0,所以d a a.1故通項公式 an na.（）解：記1 1 1nT , a 2 a因為n n2a a a2 n2 2 2所以1 1n(1 ( ) )1 (1 1 1 ) 1 2 2 11 (1) nTn n2 1a a a2 2 2 1 22從而，當 a 0時，Tn1a1；當1

10、a 0 ,Tn .時a1512、（2011 湖北卷）成等差數列的三個正數的和等于 15，并且這三個數分別加上 2、5、13 后成為等比數列bn中的 b 、b 、 b 。(I) 求數列b 的通項公式；n(II) 數列 bn 的前 n 項和為 Sn ，求證：數列5S 是等比數列。n4613、（2010 年山東卷）已知等差數列 an 滿足： a3 7， a5 a7 26， an 的前 n項和為 Sn（）求 an 及 Sn ；（）令1b （n2a 1n*n ），求數列 bn 的前 n項和為 Tn 。N解：（）設等差數列 an 的首項為 a1 ，公差為 d ，由于 a3 7， a5 a7 26，所以 a

11、1 2d 7 ，2a1 10d 26，解得 a1 3， d 2，由于 an a1 (n 1)d ，n( a1 an )S ，n2所以 an 2n 1， Sn n(n 2)72 n n （）因為 an 2n 1，所以 an 1 4 ( 1)1 1 1 1因此 )bn (4n(n 1) 4 n n 1故1 1 1 1 1 1Tn b1 b2 b )(1n4 2 2 3 n n 114(11 n)n 1 4(n 1)所以數列 bn 的前 n項和Tnn4(n1)14、（2010 陜西卷）已知 an是公差不為零的等差數列， a11，且 a1，a3， a9 成等比數列 .（）求數列 an的通an的前 n

12、項和 Sn. 項; （）求數列 2解 （）由題設知公 差 d0，由 a11，a1，a3，a9 成等比數列得1 2d11 8d1 2d，解得 d1，d0（舍去）， 故an的通項 an1+（n1）× 1 n.ma()由（）知 2n，由等比數列前 n 項和公式得=2Sm =2+2 2+23+ +2n=2+23+ +2n=n2(1 2 )1 2=2 n+1-2.、n+1-2.、15、（2010 重慶卷）已知a 是首項為 19，公差為 -2 的等差數列， Sn 為na 的前 n項和 .n（）求通項a 及 Sn ；n（）設b a 是首項為 1，公比為 3 的等比數列，求數列 bn 的通項公 式及

13、其前 n項n n和T .n16、（2010 北京卷 ）已知 | |a 為等差數列，且 a3 6 ， a6 0。n8（）求 | a | 的通項公式；n（）若等差數列 |bn |滿足b1 8， b2 a1 a2 a3 ，求 |bn | 的前 n 項和公式解：（）設等差數列 a 的公差 d 。n因為 a3 6, a6 0 所以a 2d 61a 5d 01解得a1 10,d 2所以 an 10 (n 1) 2 2n 12（）設等比數列 b 的公比為 q 因為nb a a a b2 1 2 3 24, 8所以 8q 24 即 q =3所以 b 的前 n項和公式為nSnnb1(1 q )1 qn4(1 3

14、 )17、（2010 浙江卷 ）設 a1，d 為實數，首項為 a1，公差為 d 的等差數 an的前 n 項和為 Sn，滿足S2S6150.（）若 S5S.求 Sn 及 a1;（ ）求 d 的取值范圍.解： ()由題意知 S0=-15S5-3,a =S-S=-8所以Sa 10d 5,1a 5d 8.1解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7()因為 SS+15=0,所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 2=d2-8. 所以 d2 8.故 d 的取值范圍為 d -2 2故(4a1+9d)18、（2010 四川卷）已知等差數列 an的前 3

15、 項和為 6，前 8 項和為 -4。（）求數 列a n的通項公式；（）設n 1 *b a q q n N ，求數列 b 的前 n 項和(4 ) ( 0, )n n nSn9）由（）得解答可得，n 1b n q ，于是n0 1 2 n 1S 1 q 2 q 3 q n qn若 q 1，將上式兩邊同乘以 q 有1 2 n 1 nqS 1 q 2 q n 1 q n qn兩式相減得到n 1 2 n 1q 1 S n q 1 q q qnnn qnqq11n n1 1 1nq n qq 1 Snn 1 nnq n 1 q 12q 1于是 S 1 2 3 nn若 q 1，則n n21Snn n 1 2, q 1 ,n 1 nnq n 1 q 1, q 1 . 2q 1所以， （ 12 分）19、（2010 上海卷）已知數列a 的前 n項和為S ，且 Sn n 5an 85，n nn N*證明： a 1 是等比數列；n解：由*S n 5a 85, n N （ 1）n n可得：a1 S1 1 5a1 85，即 a1 14。同時S 1 (n 1) 5a 1 85 （2）n n10從而由 (2) (1)可得：a 1 1 5(a 1 a )n n n即：5*a a n N ，從而 an 1 為等比數列，首項 a1 1 15，公比為1 ( 1),n 1 n656，通項公式為5n 1a