1、.豐富多彩的數學印象豐富多彩的數學印象“數學乃是按照嚴密的邏輯而構成的明晰明確的學問。 -小平邦彥“數學就是研究自然現象中的數學現象的科學 -小平邦彥小平邦彥簡介小平邦彥KodairaKunihiko是日本數學家，1915年3月16日生于日本東京。1985年榮獲沃爾夫數學獎，時年70歲。主要成就：他對復流形、代數幾何學作出了重大奉獻。什么是數學？不太清楚。但我以為關心數學的某些人會有這樣的感覺，認為數學實際不就是這么回事嗎？本文要表達一個數學家看到數學的印象，即像我這樣對數學專業以外的事情就不太懂的單純的數學家，在研究數學時，感到數學是什么呢？我是直率而不加修飾的談這一問題以提供讀者參考。一般

2、認為數學是按嚴密的邏輯構成的科學，即使與邏輯不盡一樣，卻也大致一樣。但是實際上，數學與邏輯沒有什么關系。數學當然應該遵循邏輯，但邏輯在數學中的作用就像文法在文學中的作用那樣。書寫符合文法的文章與照著文法去寫小說完全是兩碼事；同樣，進展正確的邏輯推理與堆砌邏輯去構成數學理論是性質完全不同的性質。通常的邏輯誰都明白，要是數學能歸結到邏輯，那么誰都應該懂得數學了。但是初中高中很多學生理解不了數學卻是眾所周知的事實。精通語言學但數學成績不好的學生不在少數。所以我認為數學在本質上與邏輯不同。數學考慮除數學外的自然科學，例如物理學可以說是研究自然現象中物理現象的科學。在同樣的意義上，數學就是研究自然現象中

3、數學現象的科學。因此，理解數學就要觀察數學現象。這里說的觀察不是用眼睛去看，而是根據某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳，但顯然是不同于邏輯推理才能之類的純粹感覺，我認為更接近于視覺。也可稱之為直覺，為了強調是純粹感覺，以下稱此感覺為數覺。直覺包含著一瞬領悟真諦的含義，不太貼切。數學的敏銳，如同聽覺的敏銳一樣，與頭腦好壞沒有關系指本質上沒有關系的意思，而不是統計上沒有相關關系。但是要理解數學，不靠數學便一事無成。沒有數覺的人不懂數學就像五音不全的人不懂音樂一樣這只要擔當數學不行的孩子的家庭老師就馬上明白。你眼前看到的事情孩子卻怎么也看不見，說明起來很吃力。數學家自己并不覺得如在證明定理時主

4、要是具備了數覺，所以就認為是邏輯上作了嚴密的證明，實際并非如此，假如把證明全部用形式邏輯記號寫下看看就明白了。那就過份冗長，實際上不可能當然不是說證明在邏輯上不嚴密。而是按照數覺，那些明顯的事實就略去邏輯推理而已。最近每每談及數學的 sense感受，而作為數學 sense 根底的感覺，可以說就是數覺。數學家因為都有敏銳的數覺，自己反倒不覺得了。數學也以自然現象為對象把數學的對象看作是自然現象的一部份，也許有人說這不講道理，但是數學現象與物理現象同樣是無可爭辯的實際存在的，這明確表如今當數學家證明新定理時，不是說創造了定理，而是說發現了定理。我也證明過一些新定理，但絕不是覺得自己想出來的。只不過

5、感到偶而被我發現了早就存在的定理。正如大家不斷指出的那樣，數學對理論物理起著難以想象的作用。簡直可以認為物理現象彷佛全都遵循著數學的法那么。而且在許多場合，物理理論所需要的數學在該理論被發現以前很久就已經由數學家預先準備好了。典型的例子要算愛因斯坦廣義相對論中的黎曼空間了。數學對物理如此起作用，其理由何在呢？過去的說法，歸結起來是說數學是物理的語言。也答應以說，如廣義相對論中黎曼幾何的作用就是一種語言。但是在量子力學中，數學卻真起了魔術般的神秘作用，在這里無論如何也不能認為數學只是語言了。翻開量子力學教科書，首先看到的是光的干預、電子的散射等實驗的說明，然后說明，光子、電子等的粒子狀態可以用波

6、動函數即屬于某個 Hilbert 空間的向量來表示并導出與假設干狀態的波動函數有關的迭加原理。迭加原理認為，狀態 A 假設是狀態 B 與 C 的迭加，那么 A 的波動函數就是 B 的波動函數與 C 的波動函數的線性組合，它是量子力學的根本原理。什么叫粒子的狀態呢？例如加速器內電子的狀態就是由加速器決定的，所以，粒子狀態可認為是該粒子所處的環境。因此在量子力學中就用唯一的波動函數向量來表示復雜至極的環境。這里首先是進展簡單化、數學化的處理。狀態 A 是狀態 B 和 C 的迭加是怎么一回事呢？對于教科書中光的干預等情形，其意義可以認為是顯然的，而在一般場合，卻很難理解環境 A 是環境 B 與 C

7、的迭加的意義。雖然根據普通觀測的干擾可以說不確定性原理，例如不能同時觀測粒子的位置與速度，但畢竟不能把粒子同時放在位置觀測裝置與速度觀測裝置中。就是說，粒子不能同時存在于二個環境中。那么什么又是這樣二種環境的迭加呢？很難說清楚。另一方面，波動函數的線性組合演算在數學中卻是完全初等的、簡單明了的。迭加原理認為，這種簡明的數學演算表現了復雜奇怪狀態的迭加。就是說數學的演算支配著量子力學的對象即物理現象。明白了迭加的物理意義，就知道不是用數式表示它，而是把線性組合表示的狀態迭加當作公理，反過來按數學演算來確定迭加的意義。正如 R. Feynman 所說，迭加原理的說明只能到此為止。只能認為量子力學是

8、基于數學不可思議的魔力。所以我認為，在物理現象的背后在著數學現象是無可爭辯的。數學是實驗科學物理學家研究自然現象，在同樣意義上，數學家研究著數學現象。也許有人會說，物理學家做各種各樣的實驗，而數學家不就是考慮嗎？但是，這種情況的考慮就是考慮實驗的意思，例如與考慮考試題的性質不同。我們知道，對考試問題，只要適當組合某個確定范圍內的事實，一小時內一定可以解決，考慮的對象、考慮的方法都擺在面前。而實驗那么是為了調查研究原先未知的自然現象，當然其結果就無法猜測，也許什么結果也得不到。數學也完全一樣，它是探究未知的數學現象的考慮實驗，雖說是考慮，但考慮的對象是未知的，考慮些什么為好也不知道。數學研究的最

9、大困難就在于此。考慮實驗中最容易理解的形式是調查實例。例如考慮偶數最少可表為幾個素數的和的問題。檢查一下實際的偶數，2 是素數不算，4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,.，總可以表為二個素數的和。由這一實驗結果，可以猜測除 2 以外的一切偶數都可表為二個素數的和的定理成立這是早就有名的哥德巴赫猜測，如今還沒有解決。假如這樣幾次調查實例，可以猜測出定理的形式，以后就可以考慮證明該定理，那么研究的最初難關就被打破了。當然這是數學，光堆積幾個實例還不是定理的證明，證明還必須另外考慮。初等數論些定理就是首先從這樣的實驗結果出發引出猜測，然后才證明的。從上個世紀末到本世

10、紀初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代數幾何學家得到的驚人成果中，根據實驗的不在少數。實際上，J.A. Todd 在1930年左右發表的論文中曾明確斷言：代數幾何是實驗科學。他們的定理全部得以嚴密的證明還是最近的事。值得注意的是，盡管他們給出的定理證明還很不完全，但是定理卻是正確的。發現新定理最近數學的對象一般都非常抽象，實例也還是抽象的，難以想象，因此靠調查實例來猜測定理的形式，在許多情況下首先就不可能。我不知道在這種狀況下，發現新定理的考慮實驗的方式是什么樣的。即使說只是含模糊糊地想想考慮些什么，恐怕還是不行的。實際就是那樣往往是不管怎么去考慮都得不到相

11、應的結果。這么說來，數學研究是不是非常困難的工作呢？倒也未必。有時你什么也沒干，但卻很自然地接二連三看到那些值得考慮的事情，研究工作輕而易舉地得到進展。這時感受充分表如今夏目漱石在?十夜夢?中描繪運慶雕刻金剛力士的話上。引用其中的一部份：運慶如今橫著刻完了一寸高的粗眉毛，鑿刀一豎起，就斜著從上一錘打下。他純熟地鑿著硬木，就在厚木屑隨著錘聲飛揚的時候，鼻翼已完全張開鼻孔的怒鼻的側面已經顯現出來。看起來他的進刀方法已無所顧忌，沒有絲毫猶豫的樣子。原來使用鑿子那么容易，就把想象中的眉毛、鼻子作成了，他頗為得意，自言自語道。于是，剛剛的青年就說：什么，那并非用鑿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本已埋在木材中

12、了，只是靠鑿子與錘子的力量挖了出來。就像從土中挖出石頭一樣，決不會錯的。這種時刻，想想這世間沒有比數學更容易的學科了。假如遇到有些學生對將來是否干數學還猶豫不定，就會勸告他一定要選數學，因為再沒有比數學更容易的了。接下去漱石的話的要點如下：他便覺得雕刻也不過如此，誰都能干的。因此他想自己也雕個金剛力士試試，回到家，便一個接一個雕刻起后院的那堆木材。不幸的是，一塊木頭里也沒有發現金剛力士。他終于明白了，原來明治的木頭里并沒有埋著金剛力士。“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學堂，“教書先生那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業。只是更早的“先生概念

13、并非源于教書，最初出現的“先生一詞也并非有傳授知識那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食，先生饌；?國策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生為父兄或有學問、有德行的長輩。其實?國策?中本身就有“先生長者，有德之稱的說法。可見“先生之原意非真正的“老師之意，倒是與當今“先生的稱呼更接近。看來，“先生之根源含義在于禮貌和尊稱，并非具學問者的專稱。稱“老師為“先生的記載，首見于?禮記?曲禮?，有“從于先生，不越禮而與人言，其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識者，與老師、老師之意根本一致。數學也一樣，普通的木頭里沒有埋著定理。但從外面卻看不出里面終究埋著什么，只好雕刻著看。數學中的雕刻就是一邊進展繁復的計算，一宋以后，京師所設小學館和武學堂中的老師稱謂皆