1、第一講 數列的極限一、 內容提要1.數列極限的定義，有.注1 的雙重性.一方面,正數具有絕對的任意性,這樣才能有無限趨近于另一方面,正數又具有相對的固定性,從而使不等式.還表明數列無限趨近于的漸近過程的不同程度,進而能估算趨近于的近似程度.注2若存在，則對于每一個正數，總存在一正整數與之對應，但這種不是唯一的，若滿足定義中的要求，則取，作為定義中的新的一個也必須滿足極限定義中的要求，故若存在一個則必存在無窮多個正整數可作為定義中的注3的幾何意義是：對的預先給定的任意鄰域，在中至多除去有限項，其余的無窮多項將全部進入注4，有.2.子列的定義在數列中，保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數

2、列稱為的子列，記為，其中表示在原數列中的項數，表示它在子列中的項數注1 對每一個，有注2 對任意兩個正整數，如果，則反之，若，則注3，有.注4的任一子列收斂于.3.數列有界對數列，若，使得對，有，則稱數列為有界數列4.無窮大量對數列，如果，有，則稱為無窮大量，記作注1只是一個記號，不是確切的數當為無窮大量時，數列是發散的，即不存在注2 若，則無界，反之不真注3 設與為同號無窮大量，則為無窮大量注4 設為無窮大量，有界，則為無窮大量注5 設為無窮大量，對數列，若，使得對，有，則為無窮大量特別的，若，則為無窮大量5.無窮小量若，則稱為無窮小量注1 若，有界，則注2 若，則；若，且使得對，則6.收斂

3、數列的性質（1）若收斂，則必有界，反之不真（2）若收斂，則極限必唯一（3）若，且，則，使得當時，有注 這條性質稱為“保號性”，在理論分析論證中應用極普遍（4）若，且，使得當時，有，則注這條性質在一些參考書中稱為“保不等號（式）性”（5）若數列、皆收斂，則它們和、差、積、商所構成的數列，（）也收斂，且有，（）7.迫斂性（夾逼定理）若，使得當時，有，且，則8. 單調有界定理單調遞增有上界數列必收斂，單調遞減有下界數列必收斂9.Cauchy收斂準則數列收斂的充要條件是：，有注Cauchy收斂準則是判斷數列斂散性的重要理論依據盡管沒有提供計算極限的方法，但它的長處也在于此在論證極限問題時不需要事先知道

4、極限值10.Bolzano Weierstrass定理有界數列必有收斂子列11.12.幾個重要不等式(1) (2)算術幾何調和平均不等式： 對記 (算術平均值) (幾何平均值) (調和平均值)有均值不等式:等號當且僅當時成立.（3） Bernoulli 不等式: (在中學已用數學歸納法證明過)對 由二項展開式（）CauchySchwarz 不等式:(),有（），13.O. Stolz公式二、典型例題1用“”“”證明數列的極限（必須掌握）例用定義證明下列各式：（）；（）設，則；（97，北大，10分）（）證明：（），欲使不等式成立，只須，于是，取，當時，有即 （）由，知，有，則于是，有，即（）已知

5、，因為，所以，欲使不等式成立，只須于是，取，當時，有，即評注本例中，我們均將做了適當的變形，使得，從而從解不等式中求出定義中的將放大時要注意兩點：應滿足當時，這是因為要使，必須能夠任意小；不等式容易求解評注用定義證明，對，只要找到一個自然數，使得當時，有即可關鍵證明的存在性評注在第二小題中，用到了數列極限定義的等價命題，即：（），有（為任一正常數）.（），有.例用定義證明下列各式：（）；（92，南開，10分）（）證明：（）（方法一）由于（），可令（），則（）當時，有即，欲使不等式成立，只須于是，取，當時，有，即（方法二）因為，所以，欲使不等式成立，只須于是，取，當時，有，即（）當時，由于，可記

6、（），則（）當時，于是有，欲使不等式成立，只須 對，取，當時，有當時，（），而則由以上證明知，有，即，故 評注在本例中，要從不等式中解得非常困難根據的特征，利用二項式定理展開較容易要注意，在這兩個小題中，一個是變量，一個是定值評注從第一小題的方法二可看出算術幾何平均不等式的妙處評注第二小題的證明用了從特殊到一般的證法例用定義證明：（）（山東大學）證明：當時，結論顯然成立當時，欲使成立，只須于是，取，當時，有即例設，用“”語言，證明：證明：當時，結論恒成立當時，欲使只須于是，取，當時，有即2.迫斂性（夾逼定理）項和問題可用夾逼定理、定積分、級數來做，通項有遞增或遞減趨勢時考慮夾逼定理，有界，但不

7、能說明有極限使用夾逼定理時，要求趨于同一個數例 求證：（為常數）分析：，因為固定常數，必存在正整數，使，因此，自開始，且時，證明：對于固定的，必存在正整數，使，當時，有，由于，由夾逼定理得，即 評注 當極限不易直接求出時，可將求極限的變量作適當的放大或縮小，使放大、縮小所得的新變量易于求極限，且二者極限值相同，直接由夾逼定理得出結果例 若是正數數列，且，則證明：由，知即 于是，而由已知及故 由夾逼定理得 評注1 極限四則運算性質普遍被應用，值得注意的是這些性質成立的條件，即參加運算各變量的極限存在，且在商的運算中，分母極限不為0評注2 對一些基本結果能夠熟練和靈活應用例如：（1）（）（2）（）

8、（3）（） （4）（5）（） （6）例證明：若（有限或），則（有限或）證明：（）設為有限，因為，則，有.于是其中為非負數因為，故對上述的，有取當時，有即（）設，因為，則，有，且于是取，當時，于是即（）時證法與（）類似評注這一結論也稱Cauchy第一定理，是一個有用的結果，應用它可計算一些極限，例如：（）（已知）；（）（已知）評注此結論是充分的，而非必要的，但若條件加強為“為單調數列”，則由可推出評注證明一個變量能夠任意小，將它放大后，分成有限項，然后證明它的每一項都能任意小，這種“拆分方法”是證明某些極限問題的一個常用方法，例如：若，（為有限數），證明：分析：令，則只須證（）由于，故，有于是再

9、利用（）即得例求下列各式的極限：（）（）（）解：（），由夾逼定理，（），由夾逼定理，（），由夾逼定理，評注的極限是，用此法體現了“”的好處，可以放前，也可放后若極限不是，則不能用此法，例如：，求解：，單調遞減，單調遞減有下界，故其極限存在令，即（中科院）評注拆項：分母是兩項的積，插項：分子、分母相差一個常數時總可以插項單調有界必有極限常用方法：；歸納法；導數法單調遞增單調遞減不解決決問題命題：，若單調遞增，且（），則單調遞增（單調遞減）例 求下列數列極限：（1）設，；（98，華中科大，10分）（2）設，；（04，武大）（3）設，（）（2000,浙大）解：（1）首先注意，所以為有下界數列另一方面

10、，因為（或）故為單調遞減數列因而存在，且記為 由極限的四則運算，在兩端同時取極限，得并注意到，解得（2）注意到，于是為有界數列另一方面，由知即與保持同號，因此為單調數列，所以存在（記為）由極限的四則運算，在兩端同時取極限，得并注意到，解得（3）由于,又,所以 評注求遞歸數列的極限，主要利用單調有界必有極限的原理，用歸納法或已知的一些基本結果說明數列的單調、有界性在說明遞歸數列單調性時，可用函數的單調性下面給出一個重要的結論：設（），若在區間上單調遞增，且（或），則數列單調遞增（或單調遞減）評注2第三小題的方法較為典型，根據所給的之間的關系，得到與的等式，再利用錯位相減的思想，將數列通項寫成級數

11、的表達式例設為任意正數，且，設，（），則，收斂，且極限相同證明：由，知則，即為單調有界數列又，且，所以亦為單調有界數列由單調有界必有極限定理，與存在，且分別記為與在與兩端同時取極限，得與考慮到為任意正數且即得例（1）設，求；（2）設，且（），求解：（1）假設存在且等于，由極限的四則運算，在兩端同時取極限，得，即又，故下面只須驗證數列趨于零（）由于，而，由夾逼定理得（2）由，知，則假設存在且等于，由極限的四則運算，得下面只須驗證數列趨于零（）由于顯然，由夾逼定理得評注兩例題中均采用了“先求出結果后驗證”的方法，當我們不能直接用單調有界必有極限定理時，可以先假設，由遞歸方程求出，然后設法證明數列趨

12、于零評注對數列，若滿足（），其中，則必有這一結論在驗證極限存在或求解遞歸數列的極限時非常有用評注本例的第二小題還可用Cauchy收斂原理驗證它們極限的存在性設>0，證明1（04，上海交大）證（1）要證1 ，只要證，即只要證，即證（2）因，故，因此只要證，即只要證（3）由知，單調增加，假如有上界，則必有極限，由知，因此，矛盾.這表明單調增加、沒有上界，因此. （證完）利用序列的Cauchy收斂準則例（1）設（），求；（2）設，求；解：（1）由（），得假設，則有由歸納法可得于是（）由Cauchy收斂準則知：存在并記為，由極限的四則運算，在兩端同時取極限，得注意到，故（2）設，顯然.由于,則.于是().由Cauchy收斂準則知：存在并記為.由極限的四則運算，在兩端同時取極限，得注意到，故評注1 Cauchy收斂準則之所以重要就在于它不需要借助數列以外的任何數,只須根據數列各項之間的相互關系就能判斷該數列的斂散性. 本例兩小題都運用了Cauchy收斂準則,但細節上稍有不同.其實第一小題可用第二小題的方法,只是在第一小題中數列有界,因此有.保證了定義中的N僅與有關.評注2 “對有”這種說法與Cauchy收斂準則并不一致這里要求