1、導數定義的應用 楊 文摘 要 通過實例討論導數定義式在計算中的應用，有助于理解和應用導數概念.關鍵詞 導數;定義;應用;連續;分段函數0 引言導數是微分學中一個很基本的概念，它形式上雖然是一個簡單的極限式子，同時還有具體的幾何和物理意義，但還是相對抽象，尤其是當定義式需要靈活變化時.深入理解導數的概念能夠幫助我們很好地解題.1 預備知識定義 設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（點+仍在該鄰域內）時，相應地函數取得增量,如果與之比當0時的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數，記為,即 . (1) 令（1）中的時，則當時， 因此（1）式又可寫為 . (2)

2、令，則得到（3）式 . (3)顯然，導數概念說到底是一種特殊極限，它同連續概念（也是種特殊極限）一樣，都是描述在某一點的性態.由于求的是極限值，故由左，右極限的定義，可引出左,右導數的定義： ， .顯然在某些點處（如分段函數），必須分別討論左右導數的存在性，然后再斷定函數的可導性.2 用導數的定義判斷函數的可導2.1應用導數的定義求函數導數函數可導性已知時，求導函數用導數的定義法可簡化步驟例1 已知，求分析對函數，如果先求，再 求就會很麻煩，這里直接用導數的定義來求解會更方便.解 2006.所以求可導函數在處的函數值，通常是先求這個函數的導函數，再將代入，這是一般處理方法.然而，在本題情況下，

3、不易求得，此時，我們可返回到導數的原始定義，直接利用函數在某一點的導數定義來求，就顯得比較簡單.函數的可導性未知時，求導函數往往用導數的定義例2 設函數在上連續，又，對滿足的一切，求.分析由于題設中沒有說明的可導性，所以不能直接利用復合函數求導法則對求導，這里用導數的定義求.解 不妨設，由于的連續性，所以存在>0,當<時，于是有 = = = = =1.由的任意性知=.求帶絕對值符號的函數在分段點處的函數導數時，求導函數往往用導數的定義例3 設=，求.分析由于分段函數在分段點兩側的解析式不同，要求分段點處的導數值則顯然要用定義來求.而含有絕對值的函數，先要去掉絕對值，再轉化為分段函數

4、，再考慮其可導性.解 將函數=去掉絕對值，化為分段函數=，顯然，當時,無定義.當時，=.當時，=， 又=-1，=1.可知不存在.當時,=.當時,=，又，可知也不存在.綜上所述，有=.求分段函數在分段點的導數，往往用導數的定義例4 已知函數,那么求.分析此題目是有間斷點的分段函數，我們必須應用導數的定義對其分段討論，判斷其導數的存在性.解 ，.所以 不存在，即的值不存在.2.2用導數的定義判斷函數在某點的可導性判斷一般函數某點的可導性例5 判斷函數在處是否可導.解 ，.則有.可見在處不可導.判斷帶有絕對值函數的可導性 判斷絕對值函數在其零點的可導性，我們通常以此點為分界點，轉化為分段函數，再利用

5、導數的定義判斷是否可導.例6 設，其中在點連續，試問在什么條件下在處可導.分析先去掉絕對值符號，再利用在處可導，即可判斷結果.解 由于，則有0， ， ，由于存在的充要條件是.若要存在，必須=，即=0，此時=0.例7 判斷函數在點處是否可導？解 ，由導數的定義可知 ， .因為 ，所以 在處不可導.判斷分段函數的可導性例8 討論函數在處的可導性. 分析函數為分段函數，且在連續，則我們只需要判斷函數在處是否導數存在，即左導數等于右導數.解 1， 1.則有 1.所以函數在處可導，且.2.3用導數的定義求函數極限顯然導數的定義是型函數的極限，因此當所求極限的形式與導數定義式相似時，可考慮通過變形后轉化為

6、導數的定義的形式，再進行求解.例9 求.分析對于求此型函數極限用洛比達法則求極限比較麻煩，我們考慮變形后用導數的定義求解.解 = = = =102.例10 求解 = = =sin.例11 設在處可導，且，試求.分析對于求此型函數極限，若用洛比達法求極限需要在處具有連續的導數，因此我們考慮用導數的定義解題.解 =2.2.4利用導數定義解函數方程此類題目中一般出現“函數在某個區間上有定義，且存在”在附加一些其他條件.如果類似于下題中求，總是：先由附加條件求出，再由導數定義寫出，最后求出.例12 設在上有定義，且，又對任給有求，求.分析本題不能直接從已知條件中求出，必須先由附加條件求出，再用導數的定

7、義求出，最后積分求出.解 在中，令， 得，則，.即=，積分得，令，于是，則，因此.2.5題中有形如時，可考慮由導數的定義式及函數的連續性求某些結果例13 設且，證明：.分析由二階可導，知連續.又，故有 =.=0及.由已知條件連續，可推得隱含的條件0，.解 根據以上討論，的帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式為（在0與之間）.由，便得=.3 導數定義法與其他方法的綜合應用 導數的定義在題目中的變式有多樣，我們需要配合使用多種數學方法，進行靈活處理，以便尋求合適的解決方法.例14 設=，求.分析題目已知了=，則我們可應用導數與積分的互逆關系求解.解 原式=2=2. 另外，仿照一階導數的定義式（3），我們

8、還可以寫出二階，三階.階導數的定義形式，如：.例15 若在處二階可導，求.分析本題明確給出在處二階可導，則我們可將其變形后再應用二階導數的定義式求解.解 原式=.例16 如果函數y=處處二階可導，且點是曲線的拐點，求.分析先將和導數定義式相似的式子進行變形，由已知函數y=處處二階可導，再次利用二階導數的定義式.解 原式= =.因為處處可導，且點是曲線y=的拐點，故必有=0.在應用函數的高階導數的定義式解題時一般應用到2階至5階即可簡化題目，但由應用函數高階導數的定義式解題會適得其反.可見，如果熟練掌握導數的定義，再適當配合使用洛比達法則等方法，我們就會方便地求出所需結果. 定義是我們解決問題的

9、有力手段，我們要有效應用導數定義解題，這需要我們對導數的定義有深刻的理解.而且，通過應用導數的定義解題，能夠促進我們對導數定義的進一步理解.參考文獻12 同濟大學數學研究室. 高等數學(第四版)M.北京：高等教育出版社，1996：97.3 齊邦交. 極限解題的策略與技巧M.西安：陜西科學技術出版社，2009.7.4 華東師范大學數學系. 數學分析(下)(第三版)M.北京：高等教育出版社2001.6.5 張一龍. 淺談導數定義在導數計算中的地位和作用J.高等數學研究，2003（3）.6 蔡子華. 2006年考研數學歷年真題精析（數學一）（修訂版）M.北京：現代出版社， 2005.7 金圣才. 高等數學考研真題與典型題詳解M.北京：中國石化出版社，2005.Derivative Definition of Applications YangwenAbstract In this paper, we give several examples to show the applications of the definition of derivative ,which