正定矩陣的應用分析綜述1.1正定矩陣在凸函數判定中的應用定理5REF_Ref23023\r\h[3]設是定義在非空凸集上的二階連續可微函數,則若的Hesse矩陣在上正定,則是上的嚴格凸函數.例9判斷是否為凸函數

解的Hesse矩陣

由于一階和二階順序主子式都大于零,故的Hesse矩陣正定的,從而是嚴格凸函數.1.2正定矩陣在求解函數極值點中的應用.定理6REF_Ref25145\r\h[8]設二元函數在點具有二階連續的偏導數，記則在數學分析中有如下結論：當而時，函數在點有極大值；當而時，在點有極小值；當時，此時函數無極值.若令則上述結論中的條件可以簡單的歸結為該矩陣是正定的、負定的、不定的.更一般的，對于任意元的多元函數，也可以依據相應的矩陣的正定性判斷其極值.哈森矩陣定義設元函數在點具有二階連續偏導數，我們就稱矩陣為函數在點的哈森矩陣.由二階偏導數的連續性得知矩陣是對稱矩陣，則有以下定理.定理7REF_Ref25145\r\h[8]設元函數在點的某領域內具有一階及二階連續偏導數，又有，則：矩陣是正定矩陣時，函數在點取極小值；矩陣是負定矩陣時，函數在點取極大值；矩陣是不定矩陣時，函數在點不取極值；例8求多元函數的極值.解由，求解得則可求得點.再求哈森矩陣.因為則由且對角線元素皆為正，所以矩陣是正定的，則是的極小值，且在點的極小值為.1.3正定矩陣在積分中的運用正定矩陣在積分中的運用，一般地須先由矩陣正交變換后得到的行列式，并且得出其特征值大于零.然后由正交變換后的到的行列式再進行等價變化后得到一個行列式.最后根據積分的公式，將之前所求對應的行列式代入可證.例9證明：橢球體的體積等于其中是正定矩陣.證是正定矩陣，正交矩陣，使得為的特征值，令作等價變換,則由此變換的行列式為所以.1.4正定矩陣在普通不等式中的應用定理8階實對稱矩陣是正定矩陣是由于其對應的實二次型其中而二次型正定是指對任意因此可以利用此性質來證明不等式是否成立.例10證明不等式(其中是不全為零的實數)成立.證令其系數矩陣為，的各階順序主子式為,則為正定矩陣.因此對于任意一組不全為零的都有,故原不等式成立.例11證明不等式成立證令則二次型為則A的各階順序主子式=0,=所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即所以原不等式成立.1.5正定矩陣在解決矩陣問題中的運用由已知的正定矩陣的性質定理去證明其他矩陣問題，去解決與證明與正定矩陣相關的矩陣問題，例12REF_Ref25860\r\h[9]若都是階實對稱矩陣，且是正定矩陣.證明存在一個階實可逆矩陣使與同時為對角型.證因為是正定的，所以合同于，即存在可逆矩陣使且是階實對稱矩陣，則存在正交矩陣使則取則為所求.例13若是實對稱的正定矩陣，則存在使均是正定矩陣.證若的特征值為，則的特征值為所以存在使得特征值大于零，其余同理可證.例14若是階正定矩陣，有.證與都是階實對稱正定矩陣，所以存在一階實可逆矩陣使其中為的特征值且大于零.所以為的特征值，也是大于零的，因此.1.6正定矩陣在柯西不等式中的運用定理9REF_Ref23023\r\h[3]形如的不等式就是柯西不等式，我們將它用內積來表示為，下面用正定矩陣來表示柯西不等式.設是一個階正定矩陣，存在對任意向量與，定義表示為從而可以證明由定義的一定是維向量間的內積，反之，對于維向量間的任意一種內積，一定存在一個階正定矩陣，使得對任意向量、可由來定義，因此給定一個階正定矩陣，在維向量間就可以由該矩陣定義一個內積，從而得到相應的柯西不等式：當時，就變成了.例15證明不等式對于所有