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微分幾何補充題1.求曲線的切線與直線所成的夾角. 解 ，直線的方向向量為， 設 與的夾角為，則有 ， 所以，2.求曲面：上的臍點. 解 ， ， ， ， ， ， ， ， 由得，解得 ，從而，所以原點是曲面唯一的臍點. 3.求正螺面（）上點沿方向的法曲率. 解： ， 所以在點沿方向的法曲率是 ，將代入上式， 4. 求正螺面（）上的雙曲點、橢圓點和拋物點. 解 由第3題，知 ， 得 ，所以正螺面上全是雙曲點，無橢圓點和拋物點. 5. 若一曲面與平面相切于一條曲線,證明：此曲線是曲面的漸近曲線又是曲率線,并證明沿此曲線上的點都是拋物點. 證明 1）曲面與平面相切于一條曲線 此曲線在這個平面上，且這個平面是曲面在此曲線上每一點的切平面. 是漸近曲線. 2） 又 （） 即 又是單位向量 所以 ， 是主方向就是曲率線 3） 漸近方向又是主方向 ，上的點都是拋物點. 6.假定曲面被一族漸近曲線所覆蓋，證明：這族漸近曲線的正交軌線的法曲率等于曲面的平均曲率的兩倍. 證明：如圖，設漸近方向與主方向的夾角為，則漸近曲線的正交軌線的切方向與主方向的夾角為 ， 所以 因此 ，

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