1、1.弧長和扇形的面積 1.1.弧長：圓的周長可以看作弧長：圓的周長可以看作_度的圓心角所對的弧度的圓心角所對的弧. .設圓的半設圓的半徑為徑為r,r,則則1 1的圓心角所對的弧長的圓心角所對的弧長l是是_,2_,2的圓心角所對的圓心角所對的弧長的弧長l是是_,4_,4的圓心角所對的弧長的圓心角所對的弧長l是是_，n n的的圓心角所對的弧長圓心角所對的弧長l是是_._.360360r1802 r1804 r180n r1802.2.什么叫扇形？什么叫扇形？答：答：由組成圓心角的兩條由組成圓心角的兩條_和圓心角所對的和圓心角所對的_所圍成的圖所圍成的圖形叫做扇形形叫做扇形. .3.3.扇形的面積：

2、圓的面積可以看作扇形的面積：圓的面積可以看作_度圓心角所對的扇形的度圓心角所對的扇形的面積面積. .設圓的半徑為設圓的半徑為r,1r,1的圓心角所對的扇形面積的圓心角所對的扇形面積S S扇形扇形 , ,2 2的圓心角所對的扇形面積的圓心角所對的扇形面積S S扇形扇形= ,5= ,5的圓心角所對的扇的圓心角所對的扇形面積形面積S S扇形扇形= ,n= ,n的圓心角所對的扇形面積的圓心角所對的扇形面積S S扇形扇形= .= .半徑半徑弧弧3603602r36022 r36025 r3602n r360_【點撥點撥】半徑一定時半徑一定時, ,圓心角越大，弧長和扇形的面積也越大；圓心角越大，弧長和扇形

3、的面積也越大；圓心角一定時圓心角一定時, ,半徑越大，弧長和扇形的面積也越大半徑越大，弧長和扇形的面積也越大. .【預習思考預習思考】弧長、扇形面積與什么有關？弧長、扇形面積與什么有關？提示：提示：弧長、扇形的面積與所在圓的半徑和所對的圓心角有弧長、扇形的面積與所在圓的半徑和所對的圓心角有關關 弧長公式的應用弧長公式的應用【例例1 1】如圖如圖, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90, ,B=15B=15, ,以以C C為圓心為圓心,CA,CA為半徑的圓交為半徑的圓交ABAB于于D D點點, ,若若AC=6,AC=6,求弧求弧ADAD的長的長. .【解題探究解題探究】試比較試比較

4、CADCAD與與CDACDA的大小的大小答：答：連結連結CD,AC=CD,AC=CDCD,CADCAD= =CDACDA. .ACDACD為多少度？為多少度？答：答：ACB=90ACB=90,B=15,B=15,CAD=,CAD=7575, ,ACD=ACD=3030 的長度為多少？的長度為多少？答：答：AC=6, AC=6, 的長度的長度= =ADAD3061.80 【互動探究互動探究】利用弧長公式進行有關弧長的計算時應注意什么利用弧長公式進行有關弧長的計算時應注意什么問題？問題？提示：提示：弧長公式弧長公式 中中,n,n是表示是表示“1 1”的倍數的倍數, ,它和它和“180180”都不帶

5、都不帶單位單位；已知；已知l,n,r,n,r中的任意兩個量中的任意兩個量, ,都可以求出都可以求出第三個量第三個量n r180l【規律總結規律總結】求弧長求弧長“三步法三步法”1.1.求弧所對圓心角的度數；求弧所對圓心角的度數；2.2.求弧所在圓的半徑；求弧所在圓的半徑；3.3.依據弧長公式求出弧長依據弧長公式求出弧長【跟蹤訓練跟蹤訓練】1.(20121.(2012湛江中考湛江中考) )一個扇形的圓心角為一個扇形的圓心角為6060，它所對的弧長，它所對的弧長為為2 cm2 cm，則這個扇形的半徑為，則這個扇形的半徑為( )( )(A)6 cm (B)12 cm (C) (D)(A)6 cm (

6、B)12 cm (C) (D)【解析解析】選選A.A.由扇形的圓心角為由扇形的圓心角為6060，它所對的弧長為，它所對的弧長為2cm,2cm,即即n=60n=60，l=2=2，根據弧長公式根據弧長公式2 3 cm6 cmn R60 R2,R6 cm.180180 ，得即l2.(20112.(2011淮安中考淮安中考) )在半徑為在半徑為6 cm6 cm的圓中的圓中,60,60的圓心角所對的的圓心角所對的弧長等于弧長等于_._.【解析解析】方法一：直接利用弧長計算公式：方法一：直接利用弧長計算公式：方法二：圓心角為方法二：圓心角為6060, ,所以圓心角所夾的扇形為圓的所以圓心角所夾的扇形為圓的

7、 , ,因此因此弧長為圓周長的弧長為圓周長的 , ,即即答案：答案：2cm2cmn r60 62 (cm).180180 l1616112 r262(cm)66 3.3.制造彎形管道時制造彎形管道時, ,要先按中心線計算要先按中心線計算“展直長度展直長度”, ,再下料再下料, ,試試計算如圖所示管道的展直長度計算如圖所示管道的展直長度L(L(單位：單位：mm,mm,精確到精確到1 mm)1 mm)【解析解析】由弧長公式由弧長公式, ,可得弧可得弧ABAB的長的長 =5001 570(mm)=5001 570(mm)因此所要求的展直長度因此所要求的展直長度 L=2L=2700+1 570=2 9

8、70(mm)700+1 570=2 970(mm)答：答：管道的展直長度為管道的展直長度為2 970 mm.2 970 mm.100900180l 扇形面積的計算扇形面積的計算【例例2 2】(8(8分分)(2012)(2012宜賓中考宜賓中考) )如圖，如圖，ABCABC和和ABDABD都是都是O O的內接三角形，的內接三角形，圓心圓心O O在邊在邊ABAB上，邊上，邊ADAD分別與分別與BCBC，OCOC交交于于E E，F F兩點，點兩點，點C C為為 的中點的中點. .(1)(1)求證求證:OFBD:OFBD；(2)(2)若若 ，且，且O O的半徑的半徑R=6 cm.R=6 cm.求證求證

9、: :點點F F為線段為線段OCOC的中點的中點; ;求圓中陰影部分求圓中陰影部分( (弓形弓形) )的面積的面積. .ADEF1ED2【規范解答規范解答】(1)OC(1)OC為半徑為半徑, ,點點C C為為 的中點的中點, ,OCOCAD.AD.1 1分分ABAB為直徑，為直徑，BDA=BDA=9090，BDBDADAD，OFOFBD.BD.2 2分分(2)(2)OO為為ABAB的中點，的中點，OFBD,OFBD,FF為為ADAD的中點的中點, ,FO= .FO= .3 3分分AD1BD2FCBD,FCE=FCBD,FCE=DBEDBE. .FEC=DEB,FEC=DEB,ECFECFEBD

10、EBD4 4分分 5 5分分FC=FOFC=FO，即點，即點F F為為COCO的中點的中點. .6 6分分FC=FOFC=FO，OCADOCAD，ACAC= =AOAO. .又又AO=CO,AO=CO,AOCAOC為為等邊等邊三角形三角形. .7 7分分S S陰陰= = 8 8分分11BD2CFEF,FCBDE2,D22606136 669 3(cm )32.602 【互動探究互動探究】比較扇形面積公式和弧長公式比較扇形面積公式和弧長公式, ,如何用弧長如何用弧長l表示表示扇形的面積？扇形的面積？提示：提示：2n rn r1 n r1,S,Srr.1803602 1802扇形扇形ll【規律總結

11、規律總結】利用扇形面積公式的兩點注意利用扇形面積公式的兩點注意1.1.公式中的公式中的n n與與180180不帶單位；不帶單位；2.2.已知半徑和圓心角求扇形面積時已知半徑和圓心角求扇形面積時, ,通常選用公式通常選用公式已知半徑和弧長時已知半徑和弧長時, ,一般采用公式一般采用公式S S扇形扇形= = lr r2n rS360扇形；12【跟蹤訓練跟蹤訓練】4.(20124.(2012天門中考天門中考) )如圖，直徑如圖，直徑ABAB為為6 6的的半圓，繞半圓，繞A A點逆時針旋轉點逆時針旋轉6060，此時點，此時點B B到到了點了點BB，則圖中陰影部分的面積是，則圖中陰影部分的面積是( )(

12、 )(A)3 (B)6(A)3 (B)6(C)5 (D)4(C)5 (D)4【解析解析】選選B.B.由圖可得，陰影部分的面積即為扇形由圖可得，陰影部分的面積即為扇形BABBAB的面的面積，所以圖中陰影部分的面積是積，所以圖中陰影部分的面積是26066 .360 5.5.如圖如圖, ,水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是12 cm,12 cm,其中水面其中水面高度為高度為6 cm,6 cm,求截面上有水的弓形面積求截面上有水的弓形面積. .【解析解析】連結連結OA,OB.OA,OB.OE=OC-CE=12-6=6 (cm),OE=OC-CE=12-6=6 (cm)

13、,在直角在直角AOEAOE中中, ,OA=12 cm,OE=6 cm,OAE=30OA=12 cm,OE=6 cm,OAE=30, ,AE=OAAE=OAcos 30cos 30= (cm).= (cm).AOB=2AOE=120AOB=2AOE=120,AB=2AE= cm.,AB=2AE= cm.扇形扇形AOBAOB的面積為的面積為 =48(cm=48(cm2) )AOBAOB的面積為的面積為則陰影部分的面積為則陰影部分的面積為6 312 32120123602(4836 3) cm .211AB OE12 3636 3(cm )22【變式備選變式備選】如圖如圖, ,水平放著的圓柱形排水管

14、的截面直徑為水平放著的圓柱形排水管的截面直徑為1 000 mm,1 000 mm,其中水面寬其中水面寬AB=800 mm,AB=800 mm,則水的最大深度為則水的最大深度為_mm._mm.【解析解析】過過O O點作點作OCAB,COCAB,C為垂足為垂足, ,交交O O于于D,D,連結連結OA,OA,如圖所示如圖所示. .由題意知由題意知OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,在在RtRtAOCAOC中中,OA,OA2=AC=AC2+OC+OC2, ,CD=OC+OD=

15、800(mm),CD=OC+OD=800(mm),即水的最大深度為即水的最大深度為800 mm.800 mm.答案答案: :80080022OCOAAC22500400300,1.(20121.(2012珠海中考珠海中考) )如果一個扇形的半徑是如果一個扇形的半徑是1 1，弧長是，弧長是 ，那么，那么此扇形的圓心角的大小為此扇形的圓心角的大小為( )( )(A)30(A)30 (B)45 (B)45 (C)60 (C)60 (D)90 (D)90【解析解析】選選C.C.根據弧長公式根據弧長公式 可得可得 解得解得n=60.n=60.3n r180，ln 13180，2.(20122.(2012

16、黃石中考黃石中考) )如圖所示，扇形如圖所示，扇形AOBAOB的圓心角為的圓心角為120120，半徑為，半徑為2 2，則，則圖中陰影部分的面積為圖中陰影部分的面積為( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D)(C) (D)43342 33433243【解析解析】選選A.A.作作OCAB, OCAB, AOB=120AOB=120，OAB=30OAB=30. .OA=2,OC=1,AC= OA=2,OC=1,AC= 即即AB=AB=陰影部分的面積為陰影部分的面積為3,2 3.21202142 3 13.36023 3.(20123.(2012綿陽中考綿陽中考) )如圖，正方形的邊長

17、為如圖，正方形的邊長為2 2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則圖，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則圖中陰影部分的面積為中陰影部分的面積為_.(_.(結果保留兩位結果保留兩位有效數字，參考數據：有效數字，參考數據：=3.14)=3.14)【解析解析】陰影部分的面積陰影部分的面積= =正方形的面積正方形的面積-(4-(4 1 12-2-22) )=4-2+4=8-6.281.7=4-2+4=8-6.281.7答案：答案：1.71.7124.(20114.(2011烏蘭察布中考烏蘭察布中考) )如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,ABC=90,ABC=90, AB=8 cm , BC=6 c

18、m , , AB=8 cm , BC=6 cm , 分別以分別以A,CA,C為圓心為圓心, ,以以 的長為半徑作圓的長為半徑作圓, , 將將 RtRtABCABC截去兩個扇形截去兩個扇形, ,則剩余則剩余( (陰影陰影) )部分的面積為部分的面積為_cm_cm2( (結果保留結果保留)AC2【解析解析】陰影部分的面積等于陰影部分的面積等于RtRtABCABC的面積減去以的面積減去以A A，C C為圓心為圓心的兩個扇形的面積的兩個扇形的面積, ,兩個扇形的圓心角之和等于兩個扇形的圓心角之和等于9090, ,由勾股定由勾股定理得理得AC=10 cm,AC=10 cm,半徑為半徑為5 cm. S5 cm. S陰影陰影= =答案：答案：21905256 824.23604 25(24)45.5.如圖，兩個同心圓的半徑所截得的弧長如圖，兩個同心圓的半徑所截得的弧長AB=6 cm,AB=6 cm,弧長弧長CD=10 cm,CD=10 cm,且且AC=12 cm.AC=12 cm.(1)(1)求兩圓的半徑長求兩圓的半徑長(2)(2)陰影部分的面積是多少