1、27.3垂徑定理:知識提要：1. 圓的對稱性圓是軸對稱圖形.任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.2. 圓的相關概念弓形由圓的弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.3. 垂徑定理如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧.說明 在圓中？當條直線：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；V4）平分弦所對的弧（包括優弧 和劣弧）.在這四種關系中？只要有兩種關系成比.則其余兩種關系也成立 .其中當成立時.注意只 有在這條弦不是直徑的情況下 .才有（2>、（ 4）成立.解題指導：例1OD圖/2）7甥-13D示，已知-：（7OO申.？0的半徑為=30。弦AB =

2、2V3,OC 丄AB, “二|垂足為山的履蛙,解 丁的半C又 V AB = 2 始.:.BD=>/3.在 RtAODfi中.OB = 2.BD=vA.圖 27-8又?/ C) B=OA. :. ZA = ZB=30 ° .在厶 AOB 中，*.? ZA + ZAOB+ZB=180.I ZAOB=180 °-30 °-30 °120°.例2 “圓材埋壁”是我國古代數學著作九章算術中的一個問題.“今有圓材.埋于壁中，不知大小.以鋸鋸之.深一寸.鋸道長一 尺， 問徑幾何？”用數學語言表述是：“如圖27-9所示.CD為?0的直徑，弦AB丄CD,垂

3、足為E,CE =1 寸* .AB=10寸，求直徑CD的長解連接OA.':（X?丄 AB. 0 為圓心.I AE=BE.又？.*AB=10.:.AE=5.在 Rt/XAEO 中,設.40= X 寸，貝U E () = v.r 1 )寸.根據題意，得52+ （ t-1 ） 2=j-2.解方程，得.r=13.CD = 2X 13 = 26(寸)方法指導：圓的垂徑定理.在圓內蘊含多個直角三角形，而直角三角形的邊又滿足勾股定理，這在解題中是常用的.基礎訓練1. 如圖，AB是？0的直徑，弦CD丄AB.垂足為E.根據垂徑定理可得：CE= ,Ac= , BC= .2. 在00中.弦AB長為24,弦心距

4、為5,則?0半徑為 3. 若圓內弦AB丄CD于點E,AE長為5,BE長為13,則圓心到弦CD的距離為 .4. 在？0中.弦AB = 24,弦CD=10,AB弦的弦心距為 5,則CD弦的弦心距為.5. 如圖，已知 AB是？0的弦，直徑CD丄AB,垂足為E/A0B = 100°,AB=12 厘米，連接 BC.（1）求AE的長；（2）求Z0CB的度數.£（第1題）拓展練習:1. 如圖，？0半徑0A = 5,延長弦AB到C.C0交00于點D, 0C= 8, ZC= 30，求AB的長.2.如圖，在弓形門中，跨度 AB=4米，弓高CD=1米，求弓形門的半徑.A圖 27 10解題指導例3

5、如圖27-10所示，已知在 00中，弦AB和弦CD的延長 線交于 點E,P、Q分別是知、的中點，00半徑為2,PQ=2箱，求ZAEC的度數.解連接P0.Q0交AB、CD于點F、G.過點0作0H丄PQ, H為垂 足，:.PH = yPQ=yX2V3 =V3,P 0 丄 AB,Q()丄 CD.在 RtAOHP 中，0H=/9嚴戸川=7夕一(箱尸=1.?0P=2? OH = 1 ? ZP = 30 . °又? OP = OCT ? ? ZQ=ZP = 30 ° ?:.Z P0Q=80 ° 一 30° -30 ° = l 20 . °在四邊形

6、0GEI中9I ZP0Q+Z0GE+Z0FE+360。，? ?120 +90 +90 +Z E= 360 . °A 乙 E=60。，即卩 Z AEC= 60。.例4如圖27-11所示的半徑為5厘米,A*、CD是?0的兩條平行弦,AB = 8厘 米? CD=6厘米.求AB與CD之間的距離.圖 27-11解過0點作0E丄C0,垂足為E.E0或其延長線交于點 F,則OF丄AB.連接OD、0B由垂徑定理，得CE=ED乂 ? CD=6 厘米，? DE=3 厘米.同理，得 AB=8厘米，? BF=4厘米.在RtAOED中.V DE=3厘米，0D=5厘米，A 0E=4厘米.在RtAOFB中，0F=

7、3厘米.如圖 27-11(1)所示，EF=EO-FO=4-3 = 1(厘米).如圖 27-11(2)所示? EF=EO+FO=4 + 3 = 7(厘米).所以平行弦 AB和CD之間的距離為1厘米或7厘米.方法指導：在本章圓中，很多題目有兩解，解題時容易漏解，主要是平行弦可能在圓心的同側，也可能在圓心的兩側，而在題目中沒有注明，這一點應引起注意基礎訓練1. 已包20的直徑為10吃厘米，點 0到弦AB的距離是AB的一半.則AB =厘采.2. 在 20 = ?直徑 AB 和弦 CD 相交于點 P,且/APC=3C° ,AP=2,PB = 6,貝U CD =（第6題）3. 已知圓的直徑為15

8、厘米.半徑0A丄OB , ZOAC= 60° ,AC交OB延長線于點C.交圓于點D,則CD長為 厘米.4. 已知圓的半徑為R,弦把圓分成的兩條弧的比為 1 : 2,則弦AB長為.5. 已知圓的半徑為6厘米，弦AB長為6凰米.則喬中點到弦AB的中點的距離為厘米.6. 如圖，已知在00中，弦AP和弦BP.C、D分別是內、內的中點.弦 CD交AP于點E,交BP于點F.求證：PE=PF.拓展練習：1. AB.CD是半徑為25的?0內的兩條平行弦,AB = 40,CD = 48.求這兩條平行弦之間的 距離.2. 如圖.若?O半徑為5.P是OO外一點.PO= 8.Z0PA = 30".

9、求PA和PB的長.（第2題）3. 如圖，AB是(DO的直徑，CD是弦，若AB=10, ( : D = 8,求A、B兩點到直線CD的 距離之1. AB=PF-CF,PA = PC.'本題證兩直角三角形全等是關鍵然后用等屋減等量其差相?0的直徑，弦CDJ AB于點EE=9,EB=】6,則CD解題扌,A (: =,BC-.2. 女例圖5在半徑為l2厘所示的已知卩|!?0徑中Ej垂直于弦ABDC垂足為D,BC=4厘米，貝U ABA厘來.點、P,若 AB=CD求證；PAWPC73. 在證明屮過點Otoe為 如圖V已AB?O的肖徑CD恩已知豔和G筍仝屮過弦BC作垂直平分于徑eOF丄若CBC于點腭b

10、則?Op的周長F ae=CF垂于弦AB.垂足為P, J1 AP = 4, 中仝 Rt/SOFP.77圖 27-12:.PE=PF.5.如圖，在？0中，過圓周上一點 A作弦AB和AC，且AB = AC.M,N分別為弦.4B .AC的中 點，連接MN并延長交？0于點Q,反向延長交？0于點P.求ill: PM-NQ.（第5題）拓展練習:1.2.如圖，AB是半？（）的直徑，C是半圓預'的中點，D是CO的中點.弦EF AI3.求XABE 的度數.圓內接等腰三角形ABC中，圓心0到底邊BC的距離為3厘米.圖的半徑為5厘米.求 腰長 AB的值.如圖，已知圓心 0第在矩形AI3CD的邊BC 上, 00

11、與AD.BC ；分別交于點E、F,AP = 4,BF=3,AE = 5,求題X）的直徑.題）練習題：- 填空題1-在（；）0屮，弦AB = 8厘米，弦心距0C -3厘米，則該圓的半徑為厘2. ?0的半徑0A = 6,0A的垂直平分線交？）0于點B、C.那么弦BC的長為 .3. 在？0中.弦AB與AC相等，ZBAC= 120° ,AB = 3厘米，則（DO的直徑為 厘米.4. 已知.AB是？0的弦，ZAOB = 90 ° ,?0的直徑為10厘米.則圓心O到AB的距離為厘米.5. 在?0中，弦AB = 24.弦CD=10.若圓心到AB的距離為5.則圓心到CD的距離為二、選擇題6

12、. 弓形的弦長為6厘米，弓形的高為2厘米，則弓形所在圓的半徑為（）.（A）備厘米（B）芽厘米（C）夢厘米（D）備厘米7. AB是？0的直徑，弦BC=4.則弦AC的弦心距是（A）1（B）2（C）3（D）4三、解答題&如圖.AB是?0的直徑，弦CD交AB于點E.ZCEA = 45° ,0F丄CD,垂足為F,DE= 7厘米,OF=2用米，求CD的長.（第8題）如圖.M、N分別是弦 AB、弦CD的中點，且 AB = CD,求證:ZBMN = ZDNM.（第9題）10.女口圖與？02是等圓,M是00的中點，過點M任作一直線分別交001于A、B兩點，交？O? 于C、D兩點.求證：勵=3.27.3 垂徑定理答案基礎訓練（一）DE AD BD2. 13 3. 4 4. 125. （1 ）AE=6 厘米； （2） ZOCB=65°拓展訓練（一）1. AB=6 2. 弓形門的半徑為號 ?米 基礎訓練（二）1. 10 2. 2 3.4-血 R5. 6 "或 6 + 3 松6. 提示：連接（XJ、OD?可證0C丄AP于點GOD丄BP于點H 拓展訓練（二）6 基 礎訓練（三）1. 8或22 2. PA = 4箱+3? PB=4箱一 3 3. A、B兩點到直線 CD的距離之和為1.241520 2. 715-V3 3. 4兀4.圓0的半徑為5厘米5.提示：作