1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識要點(diǎn)。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等 的向量。(2)向量具有平移不變性2 .空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如r b ra 加B 山。 戕運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：(a b) c a (b c)數(shù)乘分配律：(a b) a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b,記作

2、ab。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b (b?0) , a/b存在實(shí)數(shù) 入 使a =心。(3)三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>AB AC<=> OC xOA yOB其板 y 1)一a(4)與a共線的單位向量為=a4.共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件一， 一 r r r是存在實(shí)數(shù)x, y使p xa ybo(3)四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=>AP xAB yAC<=>OP xOA yOB zO

3、C (其中 x5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向araja量p ,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使p xa yb zca,br,c 叫a r aa r若三向量ab,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個基底, 做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底推論：設(shè)o,a,b,c是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) P,都存在唯一的三urnaunauuumua個有序?qū)崝?shù)x, y, Z,使OP xOA yOB zOC。6 .空間向量的直角坐標(biāo)系:(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對空間任一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

4、V*(x, y, z)，使OA xi yi zk ,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z), x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A (x,y,z)關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn) 為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位yj zk= (x,y,z)r r r一 +正交基底，用i, j,k表示。空間中任一向量a xi(3)空間向量的直

5、角坐標(biāo)運(yùn)算律：rrr r若a(明道2自)，b(匕達(dá)心)，則a b(&b?，%4),r rra b (ai n b?© b?), a ( a, a?, a3)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3,r ra/b aibi,a2b2,a3bs(R),r ra ba1bl 32b2 a3b3 0。uur若 A(xi,yi,zi) , Bmz),則 AB d X, y2 *2 4)一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的 坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若A(xi,yi,zi), B(x2,y2,z2), ap pB,則點(diǎn)p坐標(biāo)為('x2

6、yiV2ziz2,i )。推導(dǎo)：設(shè) P ( x,y,z )則(x Xi,y yi,z Zi)依 x，v? y22 z),顯然，當(dāng) p為AB中點(diǎn)時，P(Xi X2 yi V2 Zi Z2 ABC中，A (%,丫12),8%，丫2，4)區(qū)，丫3,23),三角形重心P坐標(biāo)為 P(XiX2X3 yiV2 V3 Zi Z2Z3' ABC的五心:內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。AB AC、AP (尸尸=)(單位向ABAC外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。P.PBPC垂心P:高的交點(diǎn)：PA PB PA PC PB PC(移項，內(nèi)積為0,則垂直)重心P:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)APi

7、-(AB AC) 3中心：正三角形的所有心的合一。rr(4)模長公式：右 a (a,a2,a3) , b (bbh),則1J | VaT Ja； a22 a32 , |b | ,n222* bib2b3r r r a b(5)夾角公式：coS a b 1 丁 r=2lai 1bIaiaibia2b223均-22 r222 °a2a3 blb2b3 ABCAB ?AC 0 <=>A為銳角AB? AC 0 <=>A為鈍角，鈍角(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(X), yi, Zi) , B(X2,y2,Z2),uuuuur 2-貝U |AB | VABJ(X2 為)

8、2 (y 丫了 4,或 dA,B(X2 Xi)2 (y2 yi)2 S 4)27 .空間向量的數(shù)量積。r(i)空間向量的夾角及其表不：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)o,wo作MB wo rar rr rAOB叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定r a若*raJr br ,一，一，則稱a與b互相垂直,2cr J一一，r .0a,b,顯然有 a,br記作：a b。(2)uuu向重的模：設(shè)OA a ,則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模,記作:|a| 0.r .r r . r r(3)向量的數(shù)量積：已知向量 a, b ,則|a| |b| cos a, b 叫做a,b的r r rr

9、r r r數(shù)量積，記作a b,即 a b|a| |b|cos a,b°(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rer ar bra o reJ r ar brararara(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrrrrrrrr(a)b(ab)a(b)。 abba(交換律)rJr、rJrra(bc)abac(分配律)。-f -*不滿足乘法結(jié)合率：(a b)c a(b c)二.空間向量與立體幾何1.線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直(共面與異面)兩線的方向向量垂直2-1線面垂直 線與面的法向量平行2-2面面垂直 兩面的法向量垂直3線

10、線夾角 （共面與異面）0O,90O兩線的方向向量ni,nr的夾角或夾角的補(bǔ)角，cos cos n1, n23-1線面夾角0O,90O：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即11是線面的夾角8ncos AP,n3-2面面夾角（二面角）0°,180°:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量n1,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos cos n1,n24.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P xo,yo到平面的距離：在平面上去一點(diǎn)Q x,y , 一uuuPQ ? n得向量PQ.； 計算平

11、面 的法向量n ;. h =；n4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1 .基本運(yùn)算與基本知識（）例1.已知平行六面體 ABCDabcd ,化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡 結(jié)果的向量。uur uur AB BC ;uuu uuuruuir(2) AB AD AA ;uur uuur 1 uuuu AB AD - CC ； 21 uuu uuir uuur一(AB AD AA) 3例2.對空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,問滿足向量式：uuu uuu uuu uuurOP xOA yOB zOC (其中x y z 1)的四點(diǎn)P,A,B,

12、C是否共面?例 3 已知空間三點(diǎn) A (0, 2, 3) , B ( 2, 1, 6) , C (1, 1, 5)。求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量AB,AC垂直，且圖=值,求向量a的坐標(biāo)。2 .基底法(如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算)3 .坐標(biāo)法(如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo))4 .幾何法編號03晚自習(xí)測試；17, 18題例4.如圖，在空間四邊形 OAB», OA 8, AB 6, AC 4, BC 5,OAC 45°,OAB 60o,求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如Oa,Ac1350易錯寫成uur uuur

13、OA,AC 45。，切記！例5.長方體ABCD A1B1CR中，AB BC 4, E為Ap1與BR的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與B1C的交點(diǎn)，又AF BE,求長方體的高BB1。【模擬試題】1.已知空間四邊形ABCD,連結(jié)AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡uur uuu uuurF列各表達(dá)式，并標(biāo)出化筒結(jié)果向量：(1) AB BC CD;uuu 1 umr uuuruuur 1 uuu uuu AB 一(BD BC)；(3) AG -(AB AC)。222 .已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O引向量。uuur uuruuruuu umr uuur uuuruurOE kOAOF kO

14、BQG kOC,OH kOD。(1)求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面;(2)平面AC 平面EG。3 .如圖正方體 ABCD ABiCiDi中，BE DR AB一 求BE1與DF1所成角的余4弦。5 .已知平行六面體ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 900,BAA DAA 60 o ,求 AC 的長。3.參考答案1.解:如圖,2.uuuuuituuuruuuruuruuur(1)ABBC CD ACCDAD ;uuu1 uuuruuuruur1 uuur1 uuur(2)AB(BD BC)AB-BC BD。222uuuUUUUuuuuuuurABBMMG AG ；uu

15、ur1 uuuuuuruuuruuuu uuuu(3)AG-(AB AC) 2AGAM MG。解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，.uuuruuuruuu EGOGOE ,uur AC二 e,f,g,h共面;UUT(2)解：EFUUir uuuOF OE/. EF /AB, EG / AC 。所以，平面AC平面EG。解：不妨設(shè)正方體棱長為1,uuuABuuurAD ,uuu uuu uur UULTk(OB OA) k AB ,又 Y EG建立空間直角坐標(biāo)系O xyzuuurAC3則 B(1,1,0),E1(1,3,1),41D"UUUU二 BE11 UUUU(0,4,1), DF11叼八UULUI二 BE1UUUUDF1174 ，UULUI UUUUBE1 DF1UUUU UULUI cos BE1, DF1, 1 *()4 4151617 171517UUU4.分析：(1) Q AB2,./ BAC