1、-1海淀區高三年級第二學期期中練習數 學(理科)2019.4本試卷共 4 4 頁，150150 分。考試時長 120120 分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出 符合題目要求的一項.1.1.集合A二x N|x _6, B =x R|x2_3x 0，則API B =A.A.3,4,5B.B.4,5,6C.C.x|3：x6D.D.x |3 E x：6-22.2.在極坐標系中，曲線n=4cosr圍成的圖形面積為B.B.4D . .163.3.某程序的框圖如

2、圖所示，執行該程序,若輸入的x值為 5 5，則輸出的y值為A. . -2-2 B.B.-1C.C.1D.D.24.4.不等式組x -1,x y -4乞0,表示面積為kx -y _ 0的直角三角形區域，貝U k的值為A. .-2B.B.-1C.C.0D.D.5.5.若向量a, b滿足| abab=1，則a b的值為A.A. - -1 12B.B.C.C.D.D.6.6. 一個盒子里有 3 3 個分別標有號碼為 1 1,2 2, 3 3 的小球, 每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3 3次，3 3 的取法有A.12A.12 種B.B. 1515種 C.C. 1717種 D.19D.19

3、7.7.拋物線=4x的焦點為IPF |F,點P(x, y)為該拋物線上的動點，又點A(-1,0)，則十工；的最丨PA|小值是B.B.D.D.8.8.設h,l2,l3為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4 4, 5 5, 6 6 的直線. .給出下列三個結論:-31A h (i =1,2,3)，使得AA2A3是直角三角形;2A Ti (i =1,2,3)，使得A1A2A3是等邊三角形;三條直線上存在四點A(i =1,2,3,4)，使得四面體A1A2A3A4為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體其中，所有正確結論的序號是A.A.B.B.C.C.二、填空題：本大題共 6 小題,每小題 5 分

4、,共 30 分.9.9.在復平面上，若復數a+b i(a,b R)對應的點恰好在實軸上，則b=_10.10.等差數列 厲中，a3+a4=9,a2a5=18, ,則a =_ 11.11.如圖，AP與L O切于點A，交弦DB的延長線于點P，過點B作圓O的切線交AP于點C. .若.ACB =90，BC =3,CP =4，則弦DB的長為_ . .1 1 , ,12.12.在LABC中，右a = 4,b = 2, cos A，貝 V V c c = =_,sinC=_42* _ax蘭013.13.已知函數f (x) = 0_n14.14.已知函數f (x)二sin x，任取L R，定義集合：2A二y |

5、 y rf(X)，點P(t, f(t),Q(x, f (x)滿足| PQ , 2. .設Mt,mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值，記h(t)=Mt-mt. .則(1)_函數h(t)的最大值是 ;(2)_函數h(t)的單調遞增區間為. .三、解答題：本大題共 6 小題,共 80 分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15.15.(本小題滿分 1313 分)已知函數f (x) = 2(. 3sin x -cosx)2. .(I)求f (n)的值和f (x)的最小正周期；4 D.D. O-4、,-JT IT(n)求函數f(x)在區間,上的最大值和最小值6 316.16.(本小題滿分 13

6、13 分)在某大學自主招生考試中，所有選報IIII 類志向的考生全部參加了“數學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,EA,B,C,D,E 五個等級. .某考場考生兩科的考試成績的數據統計如下圖所示，其中“數學與邏輯”科目的成績為B B 的考生有 1010 人. .(I I )求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績為A A 的人數；(IIII )若等級 A,A, B,B, C,C, D D E E 分別對應 5 5 分，4 4 分，3 3 分，2 2 分，1 1 分. .(i i )求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分；(ii)(ii)若該考場共有 1010 人得分

7、大于 7 7 分，其中有 2 2 人 1010 分，2 2 人 9 9 分，6 6 人 8 8 分. .從這 1010人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數學期望17.17.(本小題滿分 1414 分)在四棱錐P -ABCD中，PA_平面ABCD，ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點， 又PA = AB =4，- CDA =120：點N在線段PB上，且PN二2.(I)求證：BD _PC;D5(H)求證：MN /平面PDC; ;(川)求二面角A PC -B的余弦值.18.18.(本小題滿分 1313 分)已知函數f(x) =1 n x ax2 bx( (其中a,b為常數且a廠

8、0) )在x=1處取得極值. .(I)(I)當a =1時，求f(x)的單調區間；(II)(II) 若f (x)在0,e 1上的最大值為1，求a的值. .19.19.(本小題滿分 1414 分)2 2已知圓M:(x-、.2)2 y2=r2(r 0).若橢圓C:篤爲=1(a b 0)的右頂點為圓Ma b的圓心，離心率為 . .2(I I)求橢圓C的方程；(IIII )若存在直線I:y =kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且AG = BH，求圓M半徑r的取值范圍. .20.20.(本小題滿分 1313 分)設為平面直角坐標系上的兩點，其中XA,y

9、A,XB,yB，Z. .令x =冷-XA，y二yB-yA，若x + y=3,且|.汶|勺產0，則稱點B為點A的“相關點”，記作:B=(A).已知Po(x, y) (Xo,yEZ)為平面上一個定點，平面上點列R滿足：P，且點P的坐標為(X” yj，其中i =1,2,3,n. .-6(I)請問：點Po的“相關點”有幾個？判斷這些“相關點”是否在同一個圓上，若在同一個圓上,寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；(n)求證：若F0與Pn重合，n定為偶數;n(川)若F0(1,0)，且yn=100，記T八x，求T的最大值. .i _0海淀區高三年級第二學期期中練習數 學(理)參考答案及評分標準2019

10、.4說明：合理答案均可酌情給分，但不得超過原題分數. .、選擇題(本大題共 8 8 小題, ,每小題 5 5 分, ,共 4040 分)題號1 12 23 34 45 56 67 78 8答案B BC CC CD DA AD DB BB B二、填空題(本大題共 6 6 小題，每小題 5 5 分，有兩空的小題，第一空 3 3 分，第二空 2 2 分,共 3030 分)8080 分) )1515.(本小題滿分 1313 分)9 9. 0 01010 . 141411112451212.3,3 15161313 .4： ：a乞11414 .2, (2k -1,2k),k Z三、解答題( (本大題共

11、6 6小題， 共7解：(I I)因為f (x) =2 -(3sinx-cosx)2-8=2 - (3sin2x cos2x - 2.3sin x cosx) =2-(1 2sin2x -一3sin2 x).2 2 分=1 -2sin2x . 3sin2 x= cos2x . 3sin2 x.4分仁嚴泅24”如牛、3QQ所以f（x）的周期為丁十寸nn2 n n - n5n時，如匕虧，(2x+n)引 wk所以當x-二時，函數取得最小值.1111 分6 6當X二才時，函數取得最大值f （才）=2.1313 分16.16.解：（I）因為“數學與邏輯”科目中成績等級為B B 的考生有 1010 人，所以

12、該考場有10 “0.25 =40人. 1 1 分所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A A 的人數為40 （1一0.375-0.375-0.15-0.025） = 40 0.075 = 3.3分（IIII） 求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分為1匯（40乂0.2）+2江 （40乂0.1）+3工（400.375） +4匯 （40乂0.25） + 5乂（400.075）292.9 40.7 7 分（川）設兩人成績之和為，則的值可以為 1616, 1717, 1818, 1919, 2020. 8 8 分n=2sin(2xn)6 6 分所以（iiii）當x -扌,n-9所以的分布列為X

13、1617181920P1512134145454545451111 分17.17.證明：（I I）因為=ABC是正三角形，M是AC中點，所以BM _ AC, ,即BD _ AC.1 1 分又因為PA _平面 ABCD,BD平面ABCD,PA _ BD .2 2 分又PAp|AC二A，所以BD_平面PAC .3 3 分又PC平面PAC，所以BD _ PC .4 4 分（n）在正三角形ABC中,BM =2.3.5分 在ACD中，因為M為AC中點，DM _ AC，所以AD =CDCDA =120；，所以DM= ，所以BM : MD二3:1 .6 6 分3在等腰直角三角形PAB中，PA二AB =4,P

14、B=4-.2,所以BN : NP =3:1,BN : NP =BM : MD，所以MN /PD.8 8 分又MN二平面PDC,PD平面PDC，所以MN /平面PDC .9 9 分P( =16) =6-C101545，P( 7)Cio1245p(=18)= C6C2C2CiTC1o1345，P( 9)誓C1045P( =20)=C22C120丄4515121341所以E 詁 1617181920 -4545454545865所以的數學期望為86.51313 分 10 (川)因為.BAD =/BAC . CAD =90；,所以AB _ AD，分別以AB, AD, AP為x軸,y軸，z軸建立如圖的空

15、間直角坐標系, 所以B(4,0,0), C(2,2 J3,0), D(0,4,0),P(0,0,4)3由（n）可知,PC = (2,2 ,3, M)，PB=(4,0, Y)設平面PBC的一個法向量為n =（x,y,z）, ,118.18.解：(I I)因為f (x) = In x ax2bx,所以f (x) 2ax b.2 2 分x因為函數f (x) = In x ax2bx在x =1處取得極值f (1) =1 2a b =0.3 3 分2x2_3x+1當a =1時，b = -3,f (x)二一3J,xf (x), f (x)隨x的變化情況如下表：DB =（4-空3 0）為平面PAC的法向量3

16、1010 分n PC則n PB =0=0，即2x 2、3y -4x -4z = 0令z =3,則平面PBC的一個法向量為設二面角A - PC - B的大小為二，n =(3,J3,3).-I Tntn DB則cos日=4 |l =1212 分所以二面角A -PC -B余弦值為 丄771414 分zy-11x1(0吵121(1 七)f (x)+0 00 0+f(x)極大值極小值5 5 分1所以f(x)的單調遞增區間為(0,丄)，(1,+：)單調遞減區間為(丄,1).6 6 分2(II)(II)因為f (x)/ax2一2(a 1)x 1=(2ax-1)(x-1)xx1令Jx2=2a.7分1因為f(x

17、)在x =1處取得極值，所以x2x1=12a1當0時，f (x)在(0,1)上單調遞增，在(1,e上單調遞減2a所以f(x)在區間0,e上的最大值為f(1)，令f(1)=1，解得a = -2. 9分當a 0,x2=丄022a1 1 1當1時，f (x)在(0,)上單調遞增，(一,1)上單調遞減，(1,e)上單調遞增2a2a2a所以最大值 1 1 可能在x二丄或x二e處取得2ad d111111111而忑円臨)2(2a吃小肓篇亠0-1221所以f (e)二lne+ ae2- (2a 1)e = 1，解得a.1111 分e-2111當1e時，f(x)在區間(0,1)上單調遞增，(1,)上單調遞減，

18、(,e)上單調遞增2a2a2a所以最大值 1 1 可能在x = 1或x二e處取得而f(1) = ln1 a -(2a 1)：0所以f (e)二Ine+ae2_(2a 1)e = 1，11解得a，與1：x2e矛盾.1212 分e-22a1當X2e時，f (x)在區間(0,1)上單調遞增，在(1,e)單調遞減，2a所以最大值 1 1 可能在x=1處取得，而f=In1 - a- (2a 1)：0,矛盾綜上所述，a或a =2. . 1313 分e21 1 9 . .(本小題滿分 1414 分)解：(I I)設橢圓的焦距為2c,因為a=爲2,-2，所以c = 1，所以b =1. .a 22所以橢圓C:7

19、 y2=1.4分(II(II )設A(% ,y1),B( (X2,y2) )y = kx由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則2角2-2丸 所以(12k2)x2-2 =0，則X2=0,X1X22 .1 2k2.-13所以|AB J(1+k2)亠迂豆. 7 7 分1+2k2Y 1 +2k2LV2k點M(J2,0)到直線I的距離d L2k22(1 k2) 2(3k43k21)k4、.1 k21 2k2一 2k43k21 一(2k43k21)當k =0時,綜上, 20.20.解：（I）因為LX+ =y=3（=x, = y為非零整數）故x =1,卜 y=2或x =2, .x =1，所以點P0的相關點有 8

20、 8 個. 2 2 分又因為（：x）2（ ：y）2=5，即（為一冷）2（屮-y）2 =5所以這些可能值對應的點在以F0為圓心，5為半徑的圓上. 4 4 分(n)依題意Fn(xn,yn)與P(x0,y0)重合則Xn=(Xn-XnJ(X.-1-人)(X?- Xj(人-x0)X。= X。,顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y = kx就是y軸，矛盾,所以要使AG = BH，只要AB = GH8(1 k2)22k2、所以/ =4(r2)1 2k1 k1212 分當k = 0時,又顯然1dc )c2(1 + _)=31324222k4k212(1)2所以2：T 3r2=2(111414 分

21、則2k1 k2HGA1111 分-i14yn=仏 -丄）（-i-yn.-yi）（% - y。）y。二y。即（Xn-人丄）+區-1-Xn/） + . + （X2-花）+ （為-X）=0,（yn-yn）+（yn-i-yn+（y2-yj+（yi-y）=o兩式相加得（人-yn）+（ Xn-XnJ +M-i-ynJ+.+（Xi-Xo）+（% -） =0（ * *）因為Xi, yZ,|XX+|yi y=3（i =i,2,3,n）故Xx+（yiyiJ（i=i,2,3,.n）為奇數，于是（* *）的左邊就是n個奇數的和，因為奇數個奇數的和還是奇數，所以n定為偶數. 8 8 分（出）令X=Xi-為，y- y（i =i,2,3,n）,依題意（yn-yn）（yn-yn （%*0）=i。,n因為T八Xj =X。 x2V人i =i （i =X）（i二X2）