1、導 數一.知識梳理1導數的概念及幾何意義. 2求導的基本方法定義法：=公式法：（c 為常數）; = (nN) ; = 3導數的應用求曲線切線的斜率及方程；研究函數的單調性、極值、最值；研究函數的圖象形態、性狀；導數在不等式、方程根的分布（個數）、解析幾何等問題中的綜合應用二基礎訓練1.(04湖北高考)函數有極值的充要條件是 ( )A. B. C.a<0 D.2（04江蘇高考）函數在閉區間上的最大值、最小值分別是 （ ）A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-193.(05南通示范高中聯考)a>3,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0個根 B 1個根

2、C 2個根 D 3個根4. (05南通四縣市聯考)設函數y=f(x)在其定義域上可導,若的圖象如圖所示,下列判斷:f(x)在(-2,0)上是減函數; x=-1時, f(x)取得極小值;x=1時, f(x)取得極小值;f(x)在(-1,1)上是減函數,在(1,2)上是增函數. 其中正確的是 A B C D 5.(05宿遷三模) 函數f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-,1上是單調減函數,則a的最大值是A -3 B-1 C1 D36（05湘.19）設t0，點P(t，0)是函數f(x)=x3+ax與y=bx2+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線(I)用t表示a，b，c；()

3、若函數y=f(x)-g(x)在(-l，3)上單調遞減，求 t的取值范圍三典型例題例1. （05全國. 21）設a為實數，函數f(x)=x3-x2-x+a（I）求f(x)的極值；（）當a在什么范圍內取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點例2(05蘇州一模)已知f(x)=x3+ax+b定義在區間-1，1上，且f(0) =f(1)，設xl，x2-1，1，且x1x21)求證：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)若0<xl<x21，求證：|f(x1)-f(x2)|<1 例3 （03天津高考）已知拋物線和，如果直線L同時是和的切線，稱L是和的公切線，公切線上兩個

4、切點之間的線段，稱為公切線段。a取什么值時，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。若和有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。導數鞏固練習1.(05蘇,錫，常,鎮一模)已知函數f(x) =2x3-x2+m (m為常數)圖象上點A處的切線與直線x-y+3=0的夾角為450,則點A的橫坐標為 ( )A .0 B .1 C .0或 D. 1或2.(05南通一模)已知函數f(x) =x3+bx2+cx+d在區間-1,2上是單調減函數,那么 ( )A. 有最大值 B. 有最大值- C. 有最小值 D.有最小值-3（04蘇州一模）若函數在區間上的最大值，最小值分別為M，N，則M-N的值為 ( )

5、A.2 B.4 C.18 D.204(04徐州一模)拋物線y=x2+x+2與圓x2+y2=r2(r>0)的一個交點為P，且它們在交點P處的切線互相垂直，則r的一個值是 ( ) (A) (B) (C)2 (D) 5.(05重慶高考)曲線y=x3在點(a,a3)(a0)處的切線與x軸,直線x=a所圍成的三角形的面積為,則a= 6.（05江西卷(7)）已知函數y=x圖象如圖所示(其中是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中， y=f(x)的圖象大致是 ( ) A B C D7(05閩.20)已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點P(0，2)，且在點M(-l, f(-1)處的切線方程

6、為6x-y+7=0 (I)求函數y=f(x)的解析式； ()求函數y=f(x)的單調區間8已知函數f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c為常數).(I) 若f(x)在x=1和x=3處取的極值,試求b、c的值；(II) 若f(x)在x(-,x1)、(x2,+)上單調遞增且在x(x1,x2)上單調遞減,又滿足x2-x11,求證：b22(b+2c)；(III)在(2)的條件下,若tx1，試比較t2+bt+c與x1的大小,并加以證明.參考答案基礎訓練:1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.解: (I)因為函數f(x),g(x)的圖象都過點(t,0),所以f(t)=0， g(t)=0。f(t

7、)=0，即t3+at=0。因為t0,所以a=-t2 ;g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab又因為f(x),g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以 =而=3x2+a, =2bx，所以3t2+a=2bt將a=-t2，代入上式得b=t， ,因此c=ab=-t3,故a=-t2，b=t，c=-t3。 ()y= f(x)-g(x)=x3- tx2- t2x +t3 =3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t) 當= (3x+t)(x-t)<0時，函數y= f(x)-g(x)單調遞減由<0，若t>0，則-<x<t；若t<0，則t<x<-.由題意，

8、函數y= f(x)-g(x)在(-l，3)上單調遞減，則(-l，3)( -，t)或 (-l，3) (t，-)所以t3或-3即t-9或t3.又當-9<t<3時，函數y= f(x)-g(x)在(-l，3)上不單調遞減所以t的取值范圍為（-，-93，+）典型例題：例1分析：歷經多年的高考命題實踐，對“導數”的考查已從“導數”的簡單應用，如求曲線切線的斜率、研究函數的單調性、極值、最值，拓展到利用導數研究不等式、函數圖象的性態、方程根的分布與個數等問題，問題()即是利用導數研究函數圖象性態的問題， ()也可等價變形為一個方程根的分布（個數）問題：“當a在什么范圍內取值時，方程f(x)=0有

9、且僅有一個根”。解：(I) =3x2-2x-1若=0，則x=-或1，當x變化時，f(x)變化情況如下表：x(-，-)-(-,1)1(1，+)+0-0+f(x)增極大值減極小值增所以f(x)的極大值是f(-)=+a, 極小值是f(1)=a-1()函數f (x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知x取足夠大的正數時，有f (x)>0，x取足夠小的負數時有f(x)<0所以曲線，y=f(x)與x軸至少有一個交點結合f(x)的單調性可知：當f(x)的極大值寺+a<0，即a(-，-)時，它的極小值也小于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在(1，+)上

10、；當f(x)的極小值a-1>0，即a(1，+)時，它的極大值也大于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在(-，-)上 所以當a(-，-)時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點例2分析：對于一些代數不等式，人們習慣運用基本不等式和不等式的基本性質進行證明，但有時技巧性很強，增加了問題解決的難度如果能憑借導數這個先進工具，將不等式的證明轉化為求函數的最值或值域問題，那么不等式的證明就會變得簡單明了證:1)略;2)由f(O)=f(1)知a=-1，所以f(x)=x3-x+b設g(x)=x3-x，則=3x2-1由>0得x<-或x>， 所以g(x)在(0，)上遞減，在,1

11、上遞增當x(0,1)時,g(x)min=g()=-，且g(0)=g(1)=0， -g(x)0 當0<xl<x21時，有|f(x1)-f(x2)|=|g(x1)-g(x2)|g(x1)|+|g(x2)|< 2=<1例3分析：傳統的解析幾何中涉及切線的問題，常規的處理辦法是用“”法來解決的，但有時計算量較大，容易出錯如果能靈活運用導數的幾何意義去解決，則問題的解決往往變得簡單，清楚解： 的導數為曲線在點的切線方程是即 的導數曲線在點的切線方程是即 如果直線L是過P和Q的公切線，則都是L的方程，所以，消得若 即時，解得此時點P與Q重合，即當時，和有且僅有一條公切線為。證明：由

12、可知，當時，和有兩條公切線，設一條公切線上切點為，其中P在上，Q在上，則有 ， ，所以線段PQ的中點為 ，同理，另一條公切線的中點也是，所以公切線段PQ和互相平分。鞏固練習1.C 2.B 3.C 4C 5.±1 6.c 7解：(I)由f(x)的圖象經過P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，=3x2+2bx+c由在M(-l,f(-1)處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=l，=6 解得b=c=-3故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2()=3x2-6x-3，令=O，解得x1=1-，x2=l+當x<1-，或x>

13、;l+時，>0；當1-<x<l+時，<0.故f(x)=x3-3x2-3x+2在(一，1-)內是增函數，在(1-，l+)內是減函數，在(1+，+)內是增函數8 (I) f/(x)=x2+(b-1)x+c , 據題意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根, 1-b=1+3=4, c=1×3=3,即b=-3, c=3 (II) 由題意知,當x(-,x1)、(x2,+)時, f/(x)0；當x(x1,x2)時, f/(x)0. 所以x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根,則x1+x2=1-b, x1x2=c.b2-2(b+2c)= b2-2b-4c=1-(x1+x2)2-21-(x1+x2)-4x1x2=(x1+x2)2-1x