1、1990年普通高等學校招生全國統一考試數學（理工農醫類）一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后括號內 (3)如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是S,那么圓柱的體積等于 (4)方程sin2x=sinx在區間(0,2)內的解的個數是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)(A)-2,4(B)-2,0,4(C)-2,0,2,4(D)-4,-2,0,4 (7)如果直線y=ax2與直線y=3xb關于直線yx對稱,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線(B)(2,3)(C)(2,3)(D)(x,y)

2、y=x+1 (11)如圖,正三棱錐SABC的側棱與底面邊長相等,如果E、F分別為SC、AB的中點,那么異面直線EF與SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.設命題甲為:兩個實數a,b滿足ab<2h;命題乙為:兩個實數a,b滿足a1<h且b-1<h.那么(A)甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件(B)甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件(C)甲是乙的充分條件(D)甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）,那

3、么不同的排法共有(A)24種(B)60種(C)90種(D)120種(14)以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有(A)70個(B)64個(C)58個(D)52個(15)設函數y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個單位所得到的圖象為C.又設圖象C與C關于原點對稱,那么C所對應的函數是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空題:把答案填在題中橫線上. (17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中,x2的系數等于 (18)已知an是公差不為零的等差數列,如果Sn是an

4、的前n項的和,那 (19)函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 (20)如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點,平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2 三、解答題.7(21)有四個數,其中前三個數成等差數列,后三個數成等比數列,并且第一個數與第四個數的和是16,第二個數與第三個數的和是12.求這四個數. (23)如圖,在三棱錐SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數. (24)設a0,在復數集C中解方程z2+2

5、za. n2.()如果f(x)當x(-,1時有意義,求a的取值范圍;()如果a(0,1,證明2f(x)<f(2x)當x0時成立.參考答案一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A (8)D (9)B (10)D(11)C (12)B (13)B(14)C（15)D 二、填空題:本題考查基本知識和基本運算.三、解答題.(21)本小題考查等差數列、等比數列的概念和運用方程（組）解決問題的能力.解法一:由式得d=12-2a.整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入式得d1=4,d2=-6.從而得所求四個數為0,4,

6、8,16或15,9,3,1.解法二:設四個數依次為x,y,12-y,16-x由式得x=3y-12.將式代入式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入式得x1=0,x2=15.從而得所求四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小題考查三角公式以及三角函數式的恒等變形和運算能力.解法一:由已知得解法二:如圖,不妨設02,且點A的坐標是（cos,sin）,點B的坐標是（cos,sin）,則點A,B在單位圓x2+y2=1上.連結連結OC,于是OCAB,若設點D的坐標是（1,0）,再連結OA,OB,則有解法三:由題設得4(sin+

7、sin)=3(cos+cos).將式代入式,可得sin(-)=sin(-).于是(2k+1)-(-)(kZ),或-=2k+(-)(kZ).若-=(2k+1)-(-)(kZ),則(2k+1)(kZ).于是sin=-sin,即sin+sin=0.由此可知-=2k+(-)(kZ),即2+2k(kZ).所以 (23)本小題考查直線和平面,直線和直線的位置關系,二面角等基本知識,以及邏輯推理能力和空間想象能力.解法一:由于SBBC,且E是SC的中點,因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD

8、.而SCSAS,BD面SAC.DE面SAC面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC.EDC是所求的二面角的平面角.SA底面ABC,SAAB,SAAC.設SAa,又因為ABBC,ACS30°.又已知DESC,所以EDC60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SBBC,且E是SC的中點,因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEESC面BDE,SCBD.由于SA底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂線定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC

9、上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根據三垂線定理又得BDDE.DE面BDE,DC面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小題考查復數與解方程等基本知識以及綜合分析能力.解法一:設zx+yi,代入原方程得于是原方程等價于方程組由式得y=0或x=0.由此可見,若原方程有解,則其解或為實數,或為純虛數.下面分別加以討論.情形1.若y=0,即求原方程的實數解z=x.此時,式化為x2+2x=a.()令x>0,方程變為x22x=a.由此可知:當a=0時,方程無正根;()令x<0,方程變為x2-2x=a.由此可知:當a=0時,方程無負

10、根;當a>0時,方程有負根x=1-.()令x=0,方程變為0=a.由此可知:當a=0時,方程有零解x=0;當a>0時,方程無零解.所以,原方程的實數解是:當a=0時,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已討論,現在只需考查y0的情形,即求原方程的純虛數解z=yi(y0).此時,式化為-y2+2y=a.()令y>0,方程變為-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知:當a>1時,方程無實根.當a1時解方程得y=1±,從而,當a=0時,方程有正根y=2;當0<a1時,方程有正根y=1±.()令y<0,方程變為-y2-2y=a

11、,即(y+1)2=1-a.由此可知:當a>1時,方程無實根.當a1時解方程得y=-1±,從而,當a=0時,方程有負根y=-2;當0<a1時,方程有負根y=-1±所以,原方程的純虛數解是:當a=0時,z=±2i;當0<a1時,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而當a>1時,原方程無純虛數解.解法二:設z=x+yi代入原方程得于是原方程等價于方程組由式得y=0或x=0.由此可見,若原方程有解,則其解或為實數,或為純虛數.下面分別加以討論.情形1.若y=0,即求原方程的實數解z=x.此時,式化為x2+2x=a.即| x |2

12、+2x=a.解方程得,所以,原方程的實數解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已討論,現在只需考查y0的情形,即求原方程的純虛數解z=yi(y0).此時,式化為-y2+2y=a.即-y2 +2y=a.當a=0時,因y0,解方程得y=2,即當a=0時,原方程的純虛數解是z=±2i.當0<a1時,解方程得,即當0<a1時,原方程的純虛數解是.而當a>1時,方程無實根,所以這時原方程無純虛數解.解法三:因為z2=-2z+a是實數,所以若原方程有解,則其解或為實數,或為純虛數,即z=x或z=yi(y0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=y

13、i(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:設z=r(cos+isin),其中r0,0<2.代入原方程得r2cos22r+ir2sin2a.于是原方程等價于方程組情形1.若r=0.式變成0=a.由此可知:當a=0時,r=0是方程的解.當a>0時,方程無解.所以,當a=0時,原方程有解z=0;當a>0時,原方程無零解.考查r>0的情形.()當k=0,2時,對應的復數是z=±r.因cos2=1,故式化為r2+2r=a.由此可知:當a=0時,方程無正根;當a>0時,方程有正根.所以,當a>0時,原方程有解.()當k=1,3時,對應的復數是z=&#

14、177;ri.因cos2=-1,故式化為-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:當a>1時,方程無實根,從而無正根;.從而,當a=0時,方程有正根r=2;.所以,當a=0時,原方程有解z=±2i;當0<a1時,原方程有解當a>1時,原方程無純虛數解.(25)本小題考查橢圓的性質,距離公式,最大值知識以及分析問題的能力.解法一:根據題設條件,可取橢圓的參數方程是其中a>b>0待定,0<2.設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,則大值,由題設得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求橢圓的參數方程是.解法二:設所求橢圓的直角坐標方程是其中

15、a>b>0待定.,設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,則其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求橢圓的直角坐標方程是 (26)本題考查對數函數,指數函數,數學歸納法,不等式的知識以及綜合運用有關知識解決問題的能力.()解:f(x)當x(-,1時有意義的條件是1+2x+(n-1)x+nxa>0x(-,1,n2,上都是增函數,在(-,1上也是增函數,從而它在x=1時取得最大值也就是a的取值范圍為()證法一:2f(x)<f(2x)a(0,1,x0.即1+2x+(n-1)x+nxa2<n1+22x+(n-1)2x+n2xaa(0,1,x0.現用數學歸納法證明

16、式.（A）先證明當n=2時式成立.假如0<a<1,x0,則(1+2xa)2=1+2·2xa+22xa22(1+22x)<2(1+22xa).假如a=1,x0,因為12x,所以因而當n=2時式成立.（B）假如當n=k(k2)時式成立,即有1+2x+(k-1)x+kxa2<k1+22x+(k-1)2xa a(0,1,x0,那么,當a(0,1,x0時(1+2x+kx)+(k+1)xa2=(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2<k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2=k(1+22x+k2x)+2·1·(k+1)xa+2·2x(k+1)xa+2kx(k+1)xa+(k+1)2xa2<k(1+22x+k2x)+1+(k+1)2xa2+22x+(k+1)2xa2+k2x+(k+1)2xa2+(k+1)2xa2=(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa2(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa,這就是說,當n=k+1時式也成立