1、2.9邊界層運動微分方程邊界層運動微分方程 本節將以本節將以平壁層流平壁層流為例，建立為例，建立邊界層運動微分方程邊界層運動微分方程，并根據，并根據布拉修斯布拉修斯相似原理相似原理討論其分析解。討論其分析解。2.9.1邊界方程的推導邊界方程的推導 普朗特充分運用了普朗特充分運用了邊界層很薄邊界層很薄這一特性，通過分析這一特性，通過分析N-SN-S方程方程中各項數量級，并中各項數量級，并忽略高階小量忽略高階小量，大大簡化了，大大簡化了N-SN-S方程，導出了方程，導出了邊界層微分方程，成功地解決了邊界層的定量計算。邊界層微分方程，成功地解決了邊界層的定量計算。 下面先讓我們以下面先讓我們以x x

2、方向方向N-SN-S方程方程為例，回憶一下為例，回憶一下N-SN-S方程都有方程都有哪些項。哪些項。222222zuyuxuxpXDDuxxxx慣性力慣性力體積力體積力壓力壓力黏性力黏性力量級比較量級比較 方程中的變量方程中的變量y y限制在邊界層之內，滿足不等式限制在邊界層之內，滿足不等式0 0yy。也就是說，。也就是說，y與與為為同一量級同一量級，記為：，記為：y。與與x 方向的距離相比要小很多，即方向的距離相比要小很多，即 是是小小量量。符號。符號表示數量級相同。表示數量級相同。 下面估算（下面估算（2-186）中各項的量級。）中各項的量級。 在壁面上，在壁面上，ux=0；在邊界層的外緣

3、；在邊界層的外緣ux具有具有u0的量級，此處的量級，此處u0是主流速度是主流速度（來流速度）。當（來流速度）。當y由由0變到變到時，時，ux由由0變到變到u0，所以有：，所以有：x2-187a0uyuyuxx20222uyuyuxx2-187b量級比較量級比較l1 1、假定流體沿、假定流體沿x x方向的直線邊界流動并形成邊界層，其厚度為方向的直線邊界流動并形成邊界層，其厚度為。l2 2、假定平板無限寬，流速在、假定平板無限寬，流速在z z方向無變化方向無變化。l3 3、在邊界層流動中，重力的影響可忽略不計，即、在邊界層流動中，重力的影響可忽略不計，即忽略體積力忽略體積力。 則則N-SN-S方程

4、可以簡化為如下形式方程可以簡化為如下形式： 22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186a2-186b量級比較量級比較同理，沿同理，沿x x方向有：方向有：由二維連續性方程由二維連續性方程 ，可得：，可得：xuxux02022xuxux2-188a0yyuxuxyuxuxy2-1892-188b量級比較量級比較比較（比較（2-187a2-187a）、（）、（2-188a2-188a）和（）和（2-1892-189）可得：）可得： 即：即：在壁面上在壁面上u uy y=0,=0,并根據邊界層內并根據邊界層內u uy y的量級，從而

5、得一下（的量級，從而得一下（2-1912-191）式：式：xuxuyuyuxxyyxuyxuuxy02-190302y2xuxu20 xuxuyxuyuy0222-191c2-191b2-191a量級比較量級比較比較式（比較式（2-186a2-186a）中各項的量級，有：）中各項的量級，有：顯然，方程中的顯然，方程中的 與與 相比可以忽略，故式（相比可以忽略，故式（2-186a2-186a）簡）簡化為：化為：22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx2-186axu20 xu2020 xu20u22xux22yux量級比較量級比較在邊界層內，在邊界層內，黏性力與慣性力應有相同量級黏性力

6、與慣性力應有相同量級，故兩者之比應近，故兩者之比應近似為似為1 1，即：，即：由此可以得出：由此可以得出：221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20 xu2020u慣性力慣性力黏性力黏性力壓力壓力1Re220202020 xxxuxuuxu：2-193Re1x2-194量級比較量級比較式（式（2-1942-194）表明，層流邊界層厚度的量級大小等于）表明，層流邊界層厚度的量級大小等于 或或再分析式（再分析式（2-186b2-186b）, ,其各項的量級如下：其各項的量級如下：至此，（至此，（2-1862-186）格式的量級已經寫出，讓我們對比來看看：）格式的量級已經寫出，讓我們

7、對比來看看：Rex0ux22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220 xu220 xu30 xuxu0221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20 xu2020u22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220 xu220 xu30 xuxu0簡化簡化后的后的N-S方程方程量級量級比較比較慣性力慣性力壓力壓力黏性力黏性力量級比較量級比較 慣性項慣性項 和和 為同一量級，但不同于為同一量級，但不同于 及及 的量級，兩者相差的量級，兩者相差 倍，是一個小量；至于倍，是一個小量；至于 ，一般可以認為具有，一般可以認為具有慣性項的量級，即慣性項

8、的量級，即 。于是，式（。于是，式（2-186b2-186b）左端三項均系小量，）左端三項均系小量，可以忽略。另一方面，可以忽略。另一方面， 與與 相比也可以忽略，故式（相比也可以忽略，故式（2-186b2-186b）就簡化為：就簡化為：xuuyxyuuyyxuuxxyuuxyxyu220 xuuy22yuy22yux0yp2-195量級比較量級比較 式（式（2-1952-195）表明，）表明，壓力與壓力與y y無關，只是無關，只是x x的函數的函數。因此在。因此在y y方向上，方向上，邊界層內壓力不變，等于邊界層外緣處的壓力邊界層內壓力不變，等于邊界層外緣處的壓力。事實。事實上，通過勢流理論

9、計算得到的邊界層外緣處壓力，與實驗測得上，通過勢流理論計算得到的邊界層外緣處壓力，與實驗測得的物體表面的壓力吻合，也可證明（的物體表面的壓力吻合，也可證明（2-1952-195）式的正確性。此式）式的正確性。此式頗為重要，據此可直接根據歐拉方程計算邊界層外緣處壓力，頗為重要，據此可直接根據歐拉方程計算邊界層外緣處壓力，獲得邊界層中的壓力。獲得邊界層中的壓力。邊界層方程邊界層方程 經量級比較，式（經量級比較，式（2-1862-186）的兩個方程只留下一個，其中有）的兩個方程只留下一個，其中有兩個未知數兩個未知數u ux x和和u uy y，假定壓力已經預先確定，再加上二維連續，假定壓力已經預先確

10、定，再加上二維連續性方程性方程 對于穩態流動，對于穩態流動， ， 寫成寫成方程式（方程式（2-1862-186）簡化為：）簡化為： 式（式（2-1962-196）為）為普朗特邊界層運動微分方程，普朗特邊界層運動微分方程，適用于平壁穩態不可壓縮流體流動。不適用與平壁前緣。適用于平壁穩態不可壓縮流體流動。不適用與平壁前緣。0yyuxux0 xuxpdxdp221yudxdpyuuxuuxxyxx2-196邊界層條件邊界層條件 邊界層方程的邊界條件是：邊界層方程的邊界條件是： 根據布拉修斯原理可以求解邊界層方程，得出根據布拉修斯原理可以求解邊界層方程，得出u ux x(x,y),u(x,y),uy

11、y(x,y)(x,y)和和p(x,y),p(x,y),再按牛頓黏性定律，就可以得出邊壁上的剪應力和摩擦阻再按牛頓黏性定律，就可以得出邊壁上的剪應力和摩擦阻力。力。0y0yxuuy0uux2-198b2-198a邊界邊界條件條件2.9.2邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理 圖2-33為平壁邊界層流動示意圖，邊界層外主體流速為u0，圖中示出了相距x的兩截面的速度分布曲線，前已訴及，邊界層中的壓力p與y無關，故p1=p2,p3=p4。因點2和4均處于邊界層以外，故p2和p4的關系符合伯努利方程：42422222pupu2-199邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解式

12、中，式中，u u2 2和和u u4 4分別為點分別為點2 2和點和點4 4處的速度，顯然有：處的速度，顯然有：將式（將式（2-2002-200）帶入式（）帶入式（2-1992-199）得：）得：由此可得：由此可得：2-200042uuu42pp 2-201a2-201b31pp 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解式（式（2-2012-201）表明，在邊界層內，壓力不隨）表明，在邊界層內，壓力不隨x x而變，即：而變，即：故故普朗特邊界層方程最終可以簡化普朗特邊界層方程最終可以簡化為：為：0dxdp2-20222yuyuuxuuxxyxx2-203邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 由于由于

13、隨隨x x而逐漸變大，而逐漸變大，每一個每一個x x處處都存在相應的都存在相應的速度分布速度分布曲線曲線，且具有共同特征：壁面速度為零，邊界層外緣速度為，且具有共同特征：壁面速度為零，邊界層外緣速度為u u0 0。也就是說也就是說它們是相似的它們是相似的。 布拉修斯首先觀察到這一特征，并假設在距平壁前緣不同布拉修斯首先觀察到這一特征，并假設在距平壁前緣不同的的x x距離處，距離處，速度分布的形狀是相似的速度分布的形狀是相似的，即：即：該式即為該式即為布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理的數學式。的數學式。0uuxy2-204邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解將式（將式（2-1942-194）代入

14、（）代入（2-2042-204）可得：）可得：式（式（2-2052-205）右側的量為）右側的量為x x和和y y的函數，可用的函數，可用(x,y)表示，即：表示，即：由上訴兩式可知，由上訴兩式可知， 和和(x,y)相似，即存在某種函數關系：相似，即存在某種函數關系：0uuxxuy02-205xuyyx0),(2-2060uux邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解故可得：故可得： 或或 由此可見，通過引進量綱為一的變量由此可見，通過引進量綱為一的變量，已使兩個獨立自，已使兩個獨立自變變量量x,y合二為一。考慮到流函數合二為一。考慮到流函數與兩個因變量與兩個因變量ux與與uy有關，但有關，但是有

15、量綱的，故還需尋找一個量綱為一的流函數將是有量綱的，故還需尋找一個量綱為一的流函數將ux和和uy統統一起來。一起來。 前已知，前已知，流函數的定義式流函數的定義式為：為：)(0uux)(0uux2-207rur1ru2-109a2-109b邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解將流函數定義式代入式（將流函數定義式代入式（2-2072-207）可得：）可得：積分式（積分式（2-2082-208）得：）得：將式（將式（2-2062-206）對）對y y求導，得：求導，得：2-208)(0uydyu)(02-209duxdy02-210邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解將式（將式（2-2102-21

16、0）代入式（）代入式（2-2092-209），經整理得：），經整理得： 雖然無法獲知式中積分項的具體函數形式，但可以推知它雖然無法獲知式中積分項的具體函數形式，但可以推知它必為必為的函數，故可令：的函數，故可令： 即即將式（將式（2-211）代入式（）代入式（2-212）得：）得： 量綱為一的流函數量綱為一的流函數2-211dxudyu)()(002-212df)()()()( f0)(xuf2-213邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解由此可得速度分量由此可得速度分量ux和和uy分別是：分別是：2-214a)(0fuyyux2-214b）（ffxufxuxfxuxuy00021)(21)(邊

17、界層方程的精確解邊界層方程的精確解ux和和uy的一階導數和二階導數分別為：的一階導數和二階導數分別為：2-215afxuxux 021fxuuyux 00fxuyux 20222-215b2-215c2-215邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解將上式各式代入將上式各式代入(2-203) (2-203) 得：得：經簡化后，得關于經簡化后，得關于f(f() )的微分方程為：的微分方程為：2-21622yuyuuxuuxxyxxfxufffxuf fxu 202020)(2202 ff f2-217邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解相應的邊界條件變為：相應的邊界條件變為： 由此可知，經過上述相似

18、變換，普朗特邊界層方程已由二由此可知，經過上述相似變換，普朗特邊界層方程已由二階非線性偏微分方程轉換成三階非線性常微分方程。結合式階非線性偏微分方程轉換成三階非線性常微分方程。結合式（2-2182-218）所示的三個邊界條件，可獲得）所示的三個邊界條件，可獲得f(f() )的精確解。的精確解。2-218b00 ff1 f邊界邊界條件條件2-218a邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 因方程（因方程（2-2172-217）是非線性的，難以直接獲得精確解。布拉修斯）是非線性的，難以直接獲得精確解。布拉修斯用冪級數將其解表達為：用冪級數將其解表達為：式中，式中，a a0 0,a,a1 1,a,a2

19、 2.為待定系數，根據邊界條件加以確定。為待定系數，根據邊界條件加以確定。將式（將式（2-2192-219）依次對）依次對求一階導數、二階導數和三階導數，得：求一階導數、二階導數和三階導數，得：2-219.! 4! 3! 2)(44332210aaaaaf.! 3! 2)(342321aaaaf.! 3! 2)(352432 aaaaf.! 3! 2)(362543aaaaf2-220a2-220b2-220c邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將邊界條件將邊界條件f(0)=0f(0)=0代入式（代入式（2-2192-219），得），得a a0 0=0=0。將邊界條件。將邊界條件f(0)=0

20、f(0)=0代代入式（入式（2-220a2-220a），得），得a a1 1=0=0。在此基礎上，將式（。在此基礎上，將式（2-2192-219）、（）、（2-220b2-220b）、）、（2-220c2-220c）代入（）代入（2-2172-217），合并同類項，得：），合并同類項，得： 式（式（2-2212-221）是一恒等式，因其右側為零，故左側多項式中各項的系）是一恒等式，因其右側為零，故左側多項式中各項的系數均為零，得：數均為零，得：由此可得：由此可得：2-2210.2! 222522243）（aaaa.02020252243，aaaa2-222.20022543，aaaa2-223

21、邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 式（式（2-2232-223）表明，除了為零得系數以外，所有非零項系數均可表達）表明，除了為零得系數以外，所有非零項系數均可表達為為a a2 2的函數。將各系數代入式（的函數。將各系數代入式（2-2192-219），得：），得：式中系數式中系數a a2 2可根據邊界條件可根據邊界條件f(f()=1,)=1,采用數值計算法確定，結果為采用數值計算法確定，結果為將將a a2 2值代入式值代入式(2-224),(2-224),可得可得f(f() )的表達式為：的表達式為：該式即為該式即為普朗特邊界層方程精確解普朗特邊界層方程精確解，又稱，又稱布拉修斯精確解布拉修

22、斯精確解。2-224.!118375! 8411! 521! 2)(114283252222aaaaf33206. 02a2-225.0000024972. 000045943. 016603. 0)(852f2-226邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 至此，我們已求出邊界層方程精確解，它適用于平板壁面上不可至此，我們已求出邊界層方程精確解，它適用于平板壁面上不可壓縮流體的層流流動。再加上推導時的簡化過程，我們可以得出此方壓縮流體的層流流動。再加上推導時的簡化過程，我們可以得出此方程的幾個適用條件：程的幾個適用條件： 1 1、平板壁面、平板壁面 2 2、不可壓縮流體、不可壓縮流體 3 3、

23、穩態流動、穩態流動 4 4、層流流動、層流流動 由于式（由于式（2-2262-226）為無窮級數之代數和，為方便起見，研究者們）為無窮級數之代數和，為方便起見，研究者們已將式（已將式（2-2262-226）列成表格，參加附錄）列成表格，參加附錄2 2。邊界層方程精確解邊界層方程精確解適用條件適用條件邊界層內速度分布函數邊界層內速度分布函數 在壁面附近（在壁面附近（1 1），由式（），由式（2-2142-214） 可得壁面附近速度的近似表達式：可得壁面附近速度的近似表達式：2-214)(0fuux）（ffxuuy021yuux0320yuuy速度近似表達式速度近似表達式2-227a2-227b邊

24、界層厚度邊界層厚度 在在y=y=時，時，u ux x=0.99u0=0.99u0。由。由u ux x=u=u0 0f(f() )，可知，可知f(f()=0.99,)=0.99,查表可得所對查表可得所對應的應的=5.0，于是有：，于是有：式（式（2-228）又可變形為：）又可變形為：根據牛頓黏性定律可得壁面上的剪應力為：其中，根據牛頓黏性定律可得壁面上的剪應力為：其中，f(0)=0.332。2-22800 . 5ux21Re0 . 5xx2-22921 -Re332. 0)0(20000 xyxwxufxuuyu 2-230摩擦阻力、摩擦因數或曳力因素摩擦阻力、摩擦因數或曳力因素對于長為對于長為

25、L L，寬為，寬為b b的平板，其一側的摩擦阻力為：的平板，其一側的摩擦阻力為：根據平壁摩擦因素或曳力因素定義，有：根據平壁摩擦因素或曳力因素定義，有： 上述分析和計算，對平板前緣附近，即上述分析和計算，對平板前緣附近，即L L很小時是不適用的。這是很小時是不適用的。這是由于此時不能滿足建立邊界層方程所作的假定由于此時不能滿足建立邊界層方程所作的假定 。2-231LLwdsLubuxdxuabudxbF000000664. 021Re328. 1328. 1222020LLubLuFCdsD2-23222yux22xux2.9.3位移厚度與動量厚度位移厚度與動量厚度 圖圖2-342-34(a)

26、(a)是邊界層中的速度分布，邊界層以外是勢流，速度均一，是邊界層中的速度分布，邊界層以外是勢流，速度均一，直至邊界。比較圖直至邊界。比較圖2-34(a),(b)2-34(a),(b)兩種情況可見，由于邊界層內速度減慢，兩種情況可見，由于邊界層內速度減慢，與不存在邊界層的情況相比，通過同樣區域的質量流量減少。這種減少與不存在邊界層的情況相比，通過同樣區域的質量流量減少。這種減少（或稱（或稱“虧損虧損”），相當于將勢流流線向外推移了一段距離（圖），相當于將勢流流線向外推移了一段距離（圖2-34c2-34c）稱為稱為位移厚度位移厚度* *，又稱，又稱排擠厚度排擠厚度。使流過。使流過* *的流量與因邊

27、界層所造成的流量與因邊界層所造成的的流量虧損量相等，由此可決定流量虧損量相等，由此可決定* *，即令圖中，即令圖中陰影面積相等陰影面積相等。2.9.3位移厚度與動量厚度位移厚度與動量厚度 或或將式（將式（2-226）代入式（）代入式（2-233）可得）可得平板壁面邊界層位移厚度平板壁面邊界層位移厚度：2-233dyuuux00*0)(dyuux00*)1 (00000*73. 1)1 ()1 (uxdfuxdyuux2-2352.9.3位移厚度與動量厚度位移厚度與動量厚度 類似的可以得到動量厚度類似的可以得到動量厚度?的定義。由于邊界層內速度減慢，相應的定義。由于邊界層內速度減慢，相應地使動量

28、減少。設想厚度為地使動量減少。設想厚度為?，運動速度為，運動速度為u0的流體，其動量等于邊界的流體，其動量等于邊界層中損失的動量。邊界層中的動量損失是層中損失的動量。邊界層中的動量損失是 ，于是有：，于是有： 或：或：dyuuuuxx0020)(dyuuuuxx000)1 (2-234dyuuuxx00)(2.9.3位移厚度與動量厚度位移厚度與動量厚度將式（將式（2-226）代入式（）代入式（2-234）可得）可得平板壁面邊界層動量厚度平板壁面邊界層動量厚度： 由此可見，對于平板上的層流邊界層，位移厚度約為邊界層厚度的由此可見，對于平板上的層流邊界層，位移厚度約為邊界層厚度的三分之一，動量厚度

29、約為邊界層厚度的三分之一，動量厚度約為邊界層厚度的13%13%。2-236000000664. 0) 1 ( )1 (uxdffuxdyuuuuxx2.9.4圓管進口段的流動圓管進口段的流動 圓管進口段內發展著的流動和繞流時壁面附近的流動具有相似之處，圓管進口段內發展著的流動和繞流時壁面附近的流動具有相似之處，因而分析進口段流動的特點和計算進口段的長度可以借助邊界層理論。因而分析進口段流動的特點和計算進口段的長度可以借助邊界層理論。 進口段流動的發展：進口段流動的發展： 進口處邊界層厚度為零，沿管長厚進口處邊界層厚度為零，沿管長厚度逐漸增加，離開圓管進口不同距離處度逐漸增加，離開圓管進口不同距

30、離處的速度分布如圖所示。的速度分布如圖所示。沿流動方向壓力沿流動方向壓力降低，推動中心部分加速，存在著軸向降低，推動中心部分加速，存在著軸向速度梯度速度梯度 。zuz2.9.3位移厚度與動量厚度位移厚度與動量厚度 至壓降與剪應力平衡，速度分布不再變化，邊界層充滿了整個流動至壓降與剪應力平衡，速度分布不再變化，邊界層充滿了整個流動截面，建立所謂充分發展了的流動。截面，建立所謂充分發展了的流動。從管道進口到充分發展這一段距離從管道進口到充分發展這一段距離稱為稱為進口段長度進口段長度L Le e，此后的速度分布呈，此后的速度分布呈拋物線形拋物線形充分發展形充分發展形，有：有：2-2060),(zzru1 2)(2ibrruruu進口段的流動狀態進口段的流動狀態 當當流率較小流率較小，充分發展后的流動是，充分發展后的流動是層流層流時，管道進口的形狀，對于時，管道進口的形狀，對于以后流動的以后流動的影響不大影響不大。這時，不論進口處的流動是層流還是湍流，邊界。這時，不論進口處的流動是層流還是湍流，邊界層中的流動通常是層流。層中的流動通常是層流。 當管道內充分發展后的流動是當管道內充分發展后的流動是湍流湍流時，進口形狀對下游的流動將產時，進口形狀對下游的流動將產生生重要影響重要影響。進口段長度進口段長度 分析進口段流動時，有兩