1、無限長弦的一般強迫振動定解問題解三維空間的自由振動的波動方程定解問題在球坐標變換 (r=at)無界三維空間自由振動的泊松公式 二維空間的自由振動的波動方程定解問題傅立葉變換 基本性質線性性質 微分性質 若則 拉普拉斯變換 基本性質 三個格林公式高斯公式：設空間區域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數P,Q,R在V上具有一階連續偏導數，則：或第一格林公式：設u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續偏導數，它們在V中有二階偏導，則：第二格林公式：設u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續偏導數，它們在V中有二階偏導，則：第三格林公式設M0，M是V中的點，v(M)=1/r

2、MM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式條件，則有： 定理1：泊松方程洛平問題 的解為： 推論1：拉氏方程洛平問題 的解為： 調和函數1、定義：如果函數u(x,y,z)滿足:(1) 在具有二階連續偏導數；(2) 稱u為V上的調和函數。 2、調和函數的性質。 性質1 設 u(x,y,z) 是區域 V 上的調和函數，則有 推論2：拉氏牛曼問題（牛曼問題解不穩定沒有得到公式解）有解的充分必要條件是：性質2 設u(x,y,z) 是區域V上的調和函數，則有 :性質3 : 設u(x,y,z)是區域V 上的調和函數，則在球心的值等于它在球面上的算術平均值，即: 其中SR是以M0為球心,R為半徑的球面 三維

3、空間中狄氏問題格林函數 泊松方程狄氏問題為：其中：如果G(M,M0)滿足： 則可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解為： 其中G(M,M0)滿足： 推論：拉氏方程狄氏解為：平面中的三個格林公式首先證明一個定理： 設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，且f(x,y)在D上有二階連續偏導數，n為曲線的外法線方向，則：(1) 第一格林公式設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續偏導數，n為曲線的外法線方向。 (2) 第二格林公式(3) 第三格林公式：設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y)在D上有二階連續偏導數，n為曲線的外法線方向，令： 定理：平面泊松

4、方程洛平問題 的解為：推論：平面拉氏方程洛平問題 的解為：定理：平面泊松方程狄氏問題的解為： 推論：平面拉氏方程狄氏解為：平面狄氏格林函數 特殊區域上狄氏問題格林函數1球形域內狄氏問題格林函數 格林函數為： 其中： 球域內狄式問題的解 其中：球域上狄氏問題的解的球坐標表達式所以：2上半空間狄氏問題的Green函數 所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為： 上半空間拉氏方程狄氏問題的解為： 3上半平面狄氏問題的Green函數 ，上半平面上泊松方程狄氏解上半平面上拉氏方程狄氏解4圓域上泊松與拉氏方程狄氏解的GREEN函數 ，圓域上泊松與拉氏方程狄氏解5第一象限上狄氏問題的Green函數三種典型方程的基

5、本解問題1 泊松方程的基本解方程的解稱為泊松方程的基本解。三維空間泊松方程的基本解平面泊松方程基本解為： 特解應該為基本解與函數f的卷積2熱傳導方程柯西問題基本解定解問題：的解，稱為定解問題的基本解。基本解為： 定解為基本解與初始函數的卷積3熱傳導方程混合問題基本解定解問題的解稱為定解問題的基本解定解與基本解的關系為4波動方程柯西問題基本解定解問題的解稱為定解問題的基本解基本解為：定解與基本解的關系為：貝塞爾函數 正、負n階第一類貝塞爾函數 第二類Bessel函數Bessel函數的母函數當x為實數時可得，Bessel函數的積分表達式 當n為整數時：貝塞爾函數的遞推公式 n 階整數階貝塞爾函數有： 貝塞爾函數的正交性 貝塞爾函數系 定義：定積分：稱為貝塞爾函數的模。 2、貝塞爾級數展開定理：設在區間0,R上至多有有限個跳躍間斷點，則f(x)在(0,R)連續點處的貝塞爾級數收斂與該點的函數值，在間斷點處收斂于該點左右極限的平均值 其中 勒讓德方程 考慮球域內拉氏方程定解問題在球坐標系下勒讓德方程 令， 取m=0時得 勒讓德多項式當n為正偶數時當n為正奇數時n次第一類勒讓德多項式 勒讓德多項式的羅得利克公式 勒讓德多項式的積分表達式 勒讓德多項式的母函數 勒讓德多項式的遞推公式(重點) （n