1、三角恒等變換的常用方法 肖新勇解答三角函數問題，幾乎都要通過恒等變換將復雜問題簡單化，將隱性問題明朗化。三角恒等變換的公式很多，主要有“同角三角函數的基本關系”、“誘導公式”、“和、差、倍、半角公式”等，這些公式間一般都存在三種差異，如角的差異、函數名的差異和運算種類的差異，只有靈活有序地整合使用這些公式，消除差異、化異為同，才能得心應手地解決問題，這是三角問題的特點，也是三角問題“難得高分”的根本所在。本文從六個方面解讀三角恒等變換的常用技巧。一、 角變換角變換的基本思想是，觀察發現問題中出現的角之間的數量關系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后運用相應的公式求解。例1

2、 已知，求的值。【分析】考慮到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接運用相關公式求出和。【解析】因為，所以，又因為，所以，從而，. 原式=.【點評】（1）若先計算出，則在計算時，要注意符號的選?。唬?）本題的另一種自然的思路是，從已知出發，用和角公式展開，結合“平方關系”通過解二元二次方程組求出和. 但很繁瑣，易出現計算錯誤。二、名變換名變換是為了減少函數名稱或統一函數而實施的變換，需要進行名變換的問題常常有明顯的特征，如已知條件中弦、切交互呈現時，最常見的做法是“切弦互化”，但實際上，誘導公式、倍角公式和萬能置換公式，平方關系也能進行名變換。例2 已知向量，求的定義域和值域；【分析】

3、易知，這是一個“切弦共存”且“單、倍角共在”的式子，因此既要通過“切化弦”減少函數名稱，又要用倍角公式來統一角，使函數式更簡明。【解析】 由得， 所以，.的定義域是，值域是.【點評】本題也可以利用萬能置換公式先進行“弦化切”，變形后再進行“切化弦”求解.三、常數變換在三角恒等變形過程中，有時需將問題中的常數寫成某個三角函數值或式，以利于完善式子結構，運用相關公式求解，如 ，等.例3 （1）求證: ；（2）化簡：.【分析】第（1）小題運用和把分子、分母都變成齊次式后進行轉化；第（2）小題實際上是把同一個角的正弦、余弦的代數和化為熟悉的的形式，有利于系統研究函數的圖象與性質. 【解析】（1）左邊=

4、.（2）原式=【點評】“1”的變換應用是很多的，如萬能置換公式的推導，實際上是利用了把整式化成分式后進行的，又如例4中，也是利用了，把分式變成了整式.四、 邊角互化解三角形時，邊角交互呈現，用正、余弦定理把復雜的邊角關系或統一成邊，運用代數運算方法求解，或統一成角，運用三角變換求解.例4 在中，分別為角的對邊，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，（1）求角的大小；（2）若，證明是等腰三角形.【分析】本題的條件集三角形的六元素于一身，看似復雜，但等式是關于三邊長和三個角的正弦的齊次式，所以可用正弦定理把“角”化為邊或把邊化為“角”來求解?！窘馕觥浚?）（角化

5、邊）由正弦定理得， ，整理得，所以，因為，所以.（2）解法一 （邊化角）由已知和正弦定理得， 即，從而， 又，所以.所以，是等腰三角形.解法二 由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【點評】第（1）小題“化角為邊”后，把已知條件轉化為邊的二次齊次式，符合余弦定理的結構，第（2）小題的解法一之所以“化邊為角”，是因為不易把條件化為邊的關系，而把條件轉化為邊的關系卻很容易；解法二的基本思路是消元后統一角，再利用“化一公式”簡化方程.五、 升降冪變換當所給條件出現根式時，常用升冪公式去根號，當所給條件出現正、余弦的平方時，常用“降冪”技巧，常見的公式有：，可以看出，從左至右是“冪升角變半”，

6、而從右至左則是“冪降角變倍”.例5 化簡：【分析】含有根號，需“升冪”去根號.【解析】原式= =因為，所以，所以，原式.【點評】“升降冪技巧”僅僅是解題過程中的一個關鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例7中用到了常數“變換技巧”。六、公式變用幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如，等，實際上，“常數變換”技巧與“升降冪”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧. 例6 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小題中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式；第（2）小題中兩角差為，而是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關。【解析】（1）原式。（2）原式?！军c評】第（1）小題的一般性結論是： .最后還要指出，這里介紹的所謂技巧只是解決問題時關鍵步驟的一種特定的做法，每一個問題的解決常常伴隨著幾種技巧的綜合運用，