1、第4章 頻域分析前面三章中，我們已介紹了信號處理技術的理論基礎。從本章開始，我們將具體介紹信號分析的方法。信號分析和處理的目的是要提取或利用信號的某些特征。而信號既可以從時域描述，也可以從頻域描述，因此，按分析域的不同，信號分析方法可分為時域分析法和頻域分析法。在多數情況下，信號的頻域表示比起其時域表示更加簡單明了，容易解釋和表征。因此，我們首先介紹信號的頻域分析法。4.1 概述一、 頻域分析法1. 定義 所謂信號的頻域分析，就是根據信號的頻域描述（如DFT、FFT等）對信號的組成及特征量進行分析和估計。2. 頻域分析的目的（1） 確定信號中含有的頻率組成成份（幅值、能量、相位）和頻率分布范圍

2、；（2） 分析各信號之間的相互關系；（3） 通過系統的輸入與輸出頻譜，求得系統的傳遞函數，識別系統的動力學參數；（4） 通過頻譜分析，尋找系統的振動噪聲源和進行故障診斷；二、 頻譜1. 定義 所謂頻譜，也就是信號的頻域描述。2. 分類對于不同的信號和分析參數，我們可以用不同類型的頻譜來表示。（1） 周期信號：離散的幅值譜、相位譜或功率譜（2） 非周期信號：連續的幅值譜密度、相位譜密度或功率譜密度（3） 隨機信號：具有統計特征的功率譜密度3. 功率譜（1） 自功率譜：一個信號的能量（功率）沿頻率軸的分布；（2） 互功率譜：分析兩個信號的互相關情況；注意：由于互譜是從互相關的角度來描述信號的，所以

3、互譜本身并不含有信號功率的意義。4. 倒頻譜 所謂倒頻譜，是指對功率譜再作一次“譜分析”以研究功率譜中的周期現象（如諧波引起的周期性功率譜峰值）。5. 相干分析 所謂相干分析，是指通過求解兩個頻譜的相干函數來研究它們之間的相關程度（如系統輸出頻譜與輸入頻譜的相關程度）。三、 譜估計1. 定義由于我們所研究的實際信號通常是含有確定性信號的隨機信號，且信號的測試只能在有限時間內進行，因此，我們不可能按定義從無限區間求得真實的頻譜，而只能在有限域中進行計算（比如，由有限長的離散采樣序列來求得頻譜）。這種頻譜實際上只是真實頻譜的一種估計值，故稱為譜估計。2. 分類目前，譜估計方法大致可以分為：（1）

4、經典法（線性估計法）用傳統的傅里葉變換分析方法求譜。它又包括：間接法（相關估計法）由數據的自相關序列求功率譜；直接法（周期圖法）由數據直接用離散傅里葉變換求功率譜；（2） 現代法（非線性估計法）用參量信號模型來估計譜。它又包括：自回歸信號（AR）模型滑動平均（MA）模型自回歸滑動平均（ARMA）模型注意：這里我們重點介紹經典法。4.2 功率譜分析及應用一、 功率譜分析的目的進行功率譜分析的目的在于：研究信號的能量（或功率）的頻率分布，并突出信號頻譜中的主頻率。注意：這里我們著重介紹自功率譜的分析，以下都簡稱為功率譜。二、 功率的概念一般來說，信號的功率與其幅度的平方成正比，相應的譜稱為功率譜。

5、在時域內，任何實信號x(t)的平均功率定義為式中，|x(t)|2為信號x(t)的瞬時功率。若積分收斂，則表示信號x(t)的總能量。三、 帕塞瓦（Parseval）定理下面我們將推導信號x(t)的功率與其頻譜之間的關系，即帕塞瓦定理。1. 數學推導設實信號x1(t)、x2(t)的頻譜分別為X1(j)、X2(j)，即則由傅里葉變換（FT）的反、正變換定義式，可得 上式表示功率定理。若實信號x1(t)=x2(t)= x(t)，即X1(j)=X2(j)= X(j)，則由上式結論，得 （4.2.1）上述關系式表明了信號x(t)的功率與其頻譜之間的關系，我們通常將稱為帕塞瓦定理。2. 說明（1） （4.2

6、.1）式中的實函數|X(j)|2離散時，稱為功率譜（或能量譜）；若為連續時，則稱為功率譜密度（或能量譜密度）；（2） （4.2.1）式中含有幅度譜絕對值的平方|X(j)|2，但未給出其相位信息，這表明：若僅給定信號的功率，則無法恢復信號；對于幅度譜相同，相位譜不同的信號而言，其功率譜相同；（3） 由FT的時移定理和尺度變換定理，我們不難導出信號的時移和時域展縮對其功率譜的影響：當信號發生時移時，即ttt0，則功率譜不變；當信號作時域展縮時，即tkt，則功率譜將降低為原來的1/k倍。（4） 注意：上述討論中假定：信號x(t)的總能量和平均功率都是有限的。這是（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理成立的

7、前提。若信號x(t)的總能量無限，但其平均功率有限（如海浪波動）時，則我們只考慮其在T內的有限部分，于是我們可用下式來代替（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理，即式中，|X(j)|2/T稱為功率譜密度。四、 功率譜的計算1. 相關估計法所謂相關估計法，就是利用DFT的快速算法來計算信號的相關函數，進而求得隨機序列的功率譜估計值的方法。因此，要用相關估計法來求解功率譜，我們應首先弄清兩個問題：相關函數與功率譜之間有何關系？如何利用DFT的快速算法來計算信號的相關函數？（1） 維納-欣欽定理維納-欣欽定理：實平穩隨機序列的功率譜密度P(ej)與序列的自相關函數rxx(m)是一對傅里葉變換，即它們滿足序

8、列的傅里葉變換公式 （4.2.2）由此可見，維納-欣欽定理就是我們要找的解決問題的理論依據。這樣，利用該定理，我們就能由信號的自相關函數來求得其功率譜密度。注意：上述定理要求序列的長度為無限長，但在實際中只能通過計算有限長序列譜，來作為無限長序列譜的估計值。（2） 相關的概念所謂相關（又稱互相關）是指兩個確定信號或兩個隨機信號之間的關系。對于隨機信號來說，信號一般是不確定的，但是通過對其規律進行統計，其相關函數往往是確定的，因而在隨機信號的數字處理中，我們可以用相關函數來描述一個平穩隨機信號的統計特性。在討論有限長序列的離散傅里葉變換時，與卷積（包括線性卷積和循環卷積）運算相似，相關運算同樣存

9、在線性相關和循環相關兩種類型。I. 線性相關1） 定義 設兩個長度分別為N、M的有限長實序列x(n)和y(n)，其線性相關就定義為 （4.2.3） 式中，rxy(m)又稱為互相關函數。2） 說明 線性相關與線性卷積的比較設兩個長度分別為N、M的有限長序列x(n)和y(n)比較線性卷積線性相關定義式（變量為m）（變量為n）運算結果N+M-1N+M-1實現翻褶、平移、相乘、相加平移、相乘、相加交換律滿足（原因參見式a）不滿足（原因參見式b）式a：式b：一般，由于x(n)和y(n+m)的相似程度與x(n)和y(n-m)的相似程度是不同的，則rxy(-m)rxy(m)，故ryx(m)rxy(m)。 自

10、相關函數 當信號x(n)與其自身相關時，即令（4.2.3）式中x(n)= y(n)，則可得信號x(n)的自相關函數II. 循環相關1） 定義 長度均為N的有限長序列x(n)和y(n)的循環相關定義為 可見，循環相關是在主值區間0nN-1內進行的，其結果仍為長度N。2） 利用循環相關計算線性相關上一章中，我們介紹了利用循環卷積實現線性卷積的方法，同理，這里我們同樣可以利用循環相關來計算線性相關，其條件是： 設兩個有限長序列x(n)、y(n)的長度分別為N和M，則循環相關的長度L必須不小于線性相關的長度N+M-1，即LN+M-1所以，利用循環相關計算線性自相關的條件為：L2N-1。（3） 相關估計

11、法的具體步驟正如我們借助于DFT利用循環卷積實現線性卷積一樣，這里我們也可以借助于DFT利用循環相關計算線性自相關，其具體過程如下：將原序列按長度L=2N-1補零得序列x(k)；求x(k)的DFT，得X(m)和它的共軛X*(m)；計算DFT乘積，并除以N，得X(m) X*(m)/N；注意：功率譜密度的估值（其推導參見教材P108式4.2.15）， 且由維納-欣欽定理，可知PN(ej)=DFTRN(k)求IDFT，得信號x(n)的自相關函數RN(k)= IDFTX(m) X*(m)/N ；可見，利用FFT求得信號x(n)的自相關函數RN(k)后，再利用一次FFT就可計算得到功率譜密度的估值（參見

12、教材P107式4.2.12）2. 周期圖法可以證明（具體推導參見教材P108式4.2.15）：有限長實隨機序列的功率譜估計值就等于其傅里葉變換的模平方除以N，即由此可知，除了上面介紹的相關估計法，我們還可以利用FFT直接計算功率譜的估計值，這種方法稱為“周期圖法”。（1） 周期圖法的具體步驟假設對序列xn進行N（其中N=2m）點采樣；使用適當的窗函數，截取原始序列中的一段xk（k=0,1, , N-1）進行分析；注意：隨著分析研究的目的不同，所選用的窗函數也就不同，例如，若需要求取頻域中的主頻率，則選用矩形窗；若需要修正某頻率分量的幅值，減小泄漏，則選用哈明窗。用FFT計算序列xk（k=0,1

13、, , N-1）的離散傅立葉變換；計算功率譜P(fk)（其中主頻率fk = kfs）；對功率譜P(fk)進行修正。修正的原因：由于對原始數據進行了加窗處理，因此需要再用比例因子（又稱為歸一化系數）修正功率譜值。（2） 說明與相關估計法相比，周期圖法是一種運算量少、簡便、快速的方法，但是這種方法會帶來一定的估計誤差。因此，在實際信號處理時，往往采取某些措施對周期圖法進行改進，以盡量減少估計誤差，其具體措施如下：采取窗處理減少功率泄漏；由于在對隨機序列進行截取而獲得有限長序列時，必然會出現吉布斯效應，使原來集中于小范圍的信號功率擴散到較大的頻帶內，從而造成功率泄漏。為了減少功率泄漏，我們可以通過在

14、時域加窗，使功率譜在頻域內收斂得更快，這相當于對功率譜進行平滑濾波。采取平均化處理減小統計變異性；一般，在分段處理時，結合2:1覆蓋分段和平均的方法，這樣既可以保持一定的分辨率，又有利于減小估計偏差。去均值；即：將所有頻率分量相加后，再除以其點數，以消除其中的直流分量。修正比例因子；實際應用中，應對儀器的絕對比例因子進行標定。不同儀器的比例因子可能不同，但這并不妨礙分析。五、 功率譜的應用1. 從含有噪聲的信號中確定主頻率2. 不解體的故障判斷 過去對于許多大型設備，為了防止其出現故障，我們常常需要將其拆開進行定期檢修，這樣既麻煩，又不能完全避免事故的發生。現在，我們可以利用信號處理技術，將測

15、得的設備振動信號經過數字信號處理系統處理后，得到相應的頻譜圖，并根據頻譜圖來分析設備有無故障。例如，由汽車發動機振動的頻譜圖（參見P111圖4.2.1）可見，當排氣閥門間隙過大時，其高頻成分明顯增加，我們由此即可確定排氣閥門不正常。3. 利用實測的荷載譜控制振動臺來模擬隨機環境六、 互譜分析前面我們已研究了信號的自功率譜。那么，對于兩個信號之間的功率譜關系，我們可以用互功率譜密度（簡稱互譜）來描述。與自功率譜相似，互譜和互相關函數也是一對傅里葉變換對。1. 定義對于連續信號x(t)和y(t)，其互相關為Rxy(t)，則其互譜定義為對于長度為N且采樣間隔為T的有限長離散序列x(n)和y(m)，其

16、頻譜可寫成2. 互譜的應用確定系統的頻率響應函數；識別動力學系統的特性；確定響應對激勵的滯后時間；4.3 倒頻譜的分析及應用一、 目的 倒頻譜可以分析復雜頻譜圖上的周期成分，分離和提取在密集泛頻信號中的成分。二、 概念倒頻譜實際上是頻域信號取對數的傅立葉變換再處理，或稱為“頻域信號的傅立葉再變換”。注意：這里對功率譜密度函數取對數的目的是：信號再變換后，使信號的能量更加集中。三、 應用1. 語音信號的分析2. 對齒輪和軸承等動態分析和故障診斷4.4 譜分析中的幾個重要問題 在對信號進行譜分析時，我們需要考慮以下幾方面的實際問題。一、 預處理由于各種客觀因素的影響，在所測得的信號中通常混有噪聲，

17、再加上A/D轉換時所引入的量化噪聲，從而影響了對原信號的性能分析。因此，在對信號做數字處理（包括對其估值、識別、提取特征量等）之前，我們有必要對所測得的信號進行某些預處理（如信號的放大、濾波、去除均值、去除趨勢項等），以便盡可能地消除噪聲，提高信號的信噪比。1. 濾波 當需要平滑或抑制信號中的某些頻率分量時，可采用濾波的方法來實現，例如，利用低通濾波器來抑制高頻噪聲。這種濾波的方法不僅可以抑制噪聲，而且還能抵消漂移，并減少加窗截取信號所造成的功率泄漏。2. 去除均值原因信號的均值相當于一個直流分量，而直流信號的傅里葉變換是在=0處的沖激函數，若不設法去除此均值，則在估計該信號的功率譜時，將在=

18、0處出現一個很大的峰值，并會影響=0左右兩側的頻譜曲線，使之產生較大的誤差，因此，我們必須去除信號的均值。 實現對于序列x(n)，我們首先應估計出其平均值然后再從原序列x(n)中去掉此均值，即這樣就可以獲得去均值后的信號序列(n)。3. 去除趨勢項原因在所測得的信號中，有時會存在一個隨時間變化的總趨勢，這種趨勢可能是隨時間作線性增長，也可能是按平方關系增長的，例如，在做心電圖時，由于身體的移動常會引起基線漂移現象，使記錄到的信號跑出紙外，由圖可見，該信號是由真正的心電圖信號和一個慢變趨勢項疊加而成的，因此，為了正確解釋和處理該信號，我們就必須設法去除趨勢項。實現去除趨勢項的方法有多種，一般對于

19、線性或近似線性增長的趨勢項（如上圖），可用多項式擬合的方法來去除；對于其它類型的趨勢項可用濾波的方法來去除。二、 頻譜泄漏與窗函數在進行譜分析時，通常需要用矩形窗將長序列信號截取成若干段有限長序列信號，這種過程相當于原序列與矩形窗函數相乘，而時域相乘則對應于頻域中的原序列頻譜與矩形窗函數頻譜的卷積過程，從而造成卷積后的頻譜拓寬，即：在頻譜圖中的主瓣以外，又出現了多個旁瓣，這種失真現象就稱為“頻譜泄漏”現象。為了減少泄漏帶來的影響，截取信號時應根據具體情況，選擇合適的窗函數，如哈明窗或漢寧窗等。那么，窗函數的選擇依據如下：1. 窗函數的評價指標（參見P117圖4.4.2）（1） 最大旁瓣用最大旁

20、瓣值與主瓣峰值之比的對數來表示，即20lg(A旁max/A峰)；（2） 旁瓣衰減率以10個相鄰旁瓣峰值的衰減比的對數來表示，即20lg(A旁10/A旁1)；（3） 主瓣峰值可能最大誤差；（4） 主瓣寬 主瓣的寬窄對頻率分辨率有影響，若主瓣寬越窄，則分辨率越高。2. 窗函數的長度 窗的長度越長，其分辨率越高。3. 窗函數的位置 對于周期信號盡量保證整周期采樣。三、 頻譜分析步驟為了保證信號處理的精度和可靠性，在實際譜分析中應采用下列步驟：1. 將待分析的信號進行預處理（包括濾波、去除均值、去除趨勢項等）；2. 估計信號的頻率范圍和頻率上限fm；3. 根據分析精度的要求，設定譜分析中的頻率分辨率4

21、. 選定采樣間隔Ts，使采樣頻率fs2fm；5. 確定采樣點數N，使譜分析的頻帶寬Fmax = NF0/2 等于fm，則注意：N應為2的整數次冪，否則可通過補零的方法來實現，以便利用FFT算法。4.5 頻率響應函數分析及應用 前面介紹的譜分析法的應用前提是：進行對比試驗的條件和工況必須完全相同，否則無法對比。這對于分析試驗工況復雜的情況造成了一定的困難，比如，由于必須考慮各種工況的影響而使處理數據的工作量很大、可能不能全面反映問題等。而頻率響應函數的分析一般只需要選擇一種工況進行對比試驗，這樣就較好地解決了上述問題，且試驗的可比性較好。正是由于這一優點，從而使頻響函數分析法在實際工程應用中得到

22、了迅速發展。一、 頻率響應函數1. 定義對于一個物理可實現的常系數線性穩定系統，則我們可以用頻率響應函數H(f)來描述。而頻率響應函數實際上是傳遞函數的一個特例。注意：與傳遞函數不同的是，這里是取信號的傅氏變換，而不是拉氏變換。仿照傳遞函數的定義，若系統的輸入、輸出信號x(t)、y(t)的傅里葉變換分別為X(f)、Y(f)，則其頻率響應函數H(f)的定義為式中，Pxy(f)為互功率譜，Px(f)為輸入信號的（自）功率譜；H(f)是一個復數，可以用模（幅頻特性）和相角（相頻特性）來表示，即2. 基本特性（1） 脈沖響應函數與頻響函數互為傅立葉變換對，即（2） |H(f)|0，即幅頻特性為正值函數

23、；（3） 頻響函數的相頻特性與互譜的相位特性完全相同，即式中，|X(f)|2為實數；（4） 若系統為不含明顯的噪聲輸入的單輸入系統，且頻響函數是確定的，那么只有知道系統的輸入功率譜，就可以計算出系統的輸出功率譜或互譜，即二、 相干函數由于在實際應用時輸入、輸出信號中往往混有噪聲干擾，因而，為了表明輸出信號y(t)中有多少來自于輸入信號x(t)，這里我們引入相干函數的概念。1. 定義相干函數是用來判斷頻率響應函數的可信性的一種手段。一般來說，當xy20.8時，頻響函數才是可信的。2. 說明（1） 相干函數必須在多段平均時使用；如果所研究的輸入、輸出信號只有一段信號，則相干函數xy2 (f)1。證

24、：由于處理一段信號時則注意：在處理一段信號時，即使輸入、輸出信號毫無關系，其相干函數也恒等于1，此時相干函數已完全失去意義，因此，不能將相干函數用于處理同一段信號。（2） 在多段平均時，若相干函數等于1，則表明輸出y(t)完全來源于輸入x(t)，并無噪聲混入，那么，得到的頻響函數完全正確地表達了系統的動態特性，是完全可信的；（3） 相干函數小于1的情況包括：測量中存在外部噪聲；譜分析中含有估計誤差；系統是非線性的；除了x(t)外，另有輸入信號源；3. 分析含有噪聲的實測系統對于一個混有測量噪聲的單輸入單輸出系統，如圖所示（參見P126圖4.5.1）（理想）（理想）（1） 情況一：若n(t)0，

25、m(t)=0，即只有輸出噪聲，則故輸入功率譜輸出功率譜由于輸入譜Px(f)= |X(f)|2為實數，且由頻響函數和相干函數的定義，可知理想的輸出譜而噪聲譜則由上式，得可見，若無噪聲，即Pn(f)=0，則相干函數xy2 (f)=1；當輸出噪聲譜Pn(f)增加時，則相干函數xy2 (f)減小；若輸出信號y(t)全是噪聲，即Py(f)= Pn(f)時，則相干函數xy2 (f)=0。（2） 情況二：若m(t)0，n(t)=0，即只有輸入噪聲，則故輸入功率譜由頻響函數的定義、性質和相干函數的定義，可知理想的輸入譜則由上式，得可見，當輸入噪聲譜Pm(f)增加時，則相干函數xy2 (f)減小。（3） 情況三：若m(t)0，n(t)0，即輸入、輸出均有噪聲，且噪