1、數學分析選講第一章 極限理論§1 極限初論一、 基本內容1. 預備知識(1)函數的定義，構成函數的要素：定義域、對應法則，函數的值域，反函數，函數的四則運算與復合運算.(2)函數的幾何特性有界性 有界與無界的定義.單調性 單調遞增與遞減的概念.奇偶性 奇偶函數的定義及其圖象的對稱性，奇偶函數的四則運算性質.周期性 周期函數的定義及其函數圖象特征，基本周期.(3)初等函數 初等函數在其定義區間上連續.(4)幾個重要的非初等函數符號函數，顯然有.取整函數和尾數函數為的最大整數部分，為的非負小數部分，顯然有且Dirichlet函數:.Riemann函數：.2.數列與函數極限的定義(1) .

2、(2) 在的任一領域之外僅含數列中的有限項.(3). (4) 有界數列與子列的概念.(5) .(6) ，和的定義，上述一系列定義中的極限為或的情形.(7)無窮大、小量，高階、同階及等價無窮小量的概念.3.收斂數列與函數極限的性質收斂數列有有界性、唯一性、保號性、保不等式性、迫斂性、子列等方面的性質.函數極限的性質有局部有界性、唯一性、局部保號性、局部保不等式性、迫斂性、歸結原則等方面的性質.無窮小量的運算性質和等價無窮小量在四則運算方面的性質.4.數列與函數極限的存在性 數列極限的單調有界定理和柯西收斂準則. 函數極限的單調有界定理和柯西收斂準則、歸結原則.二、難點解析與重要結果1一個數集無上

3、界就是沒有上界，也即任何實數都不是它的上界2在關于原點對稱區間上有定義的函數必可表示成一個奇函數與一個偶函數的和.3兩個周期函數周期之比為有理數時，則它們的和、差、積、商還是周期函數.4是以任一有理數為周期的周期函數，且無最小正周期.5僅在處連續，在其它點處都不連續.類似的僅在處連續，在其它點處都不連續.6在中的任一無理數點處連續，任一有理數點處不連續.7在上可積，且其積分值為.8為上在任一點的任一鄰域內無界的函數.9定義（1）中的具有雙重屬性，任意性用來保證與之間的距離可任意小，相對穩定性用來尋找，相應于產生，但不是的函數.在定義中添加條件,則定義沒有發生變化，此時唯一決定于，即為的函數，只

4、不過在按照定義證明問題時的難度變大了.10. 定義（1）和（2）分別從定量和定性兩個方面刻畫了數列以為極限的事實,在證明極限時多使用定義（1），但有時使用定義（2） 來證明會更簡捷.例如，證明：若，則.11. 以或為極限的數列是一類特殊數列，要注意它與發散數列和無界數列之間的區別與聯系. 一般地，趨于無窮的數列必無界，無界數列未必趨于無窮，但無界數列必有趨于無窮的子列，無界且非無窮大數列必既有收斂子列又有趨于無窮的子列.函數的無窮大量與數列有類似的性質.12. 定義（5）中的與定義（1）中的的性質類似.13. 的定義將反過來,在的定義中,對所有的都能找到一個，使得當時有成立,將上面的陳述反過來

5、即為,有這樣的一個,找不到滿足要求的,即所有的均不滿足要求,也即對所有的都能找到,這個依賴于,滿足,但有. 一般地，由可得，數列的 一個子列，使得.14. 的定義為，使得，但有.一般地，由可得，存在數列使得，但有.15. 有界數列不一定收斂，但有界數列至少有兩個收斂于不同極限的子列；任何數列必有單調子列. 16. 由保號性的證明知若；進一步地有.17. 迫斂性與定義之間的聯系，極限的定義中在尋找時由于不一定要求最小（大 ）的 可以對不等式進行適當的放大，且一般是雙側同時放大，而迫斂性告訴我們在放大時也可以兩側分別放大. 18. 單調數列收斂的充分必要條件是它有一收斂子列.19. 歸結原則的條件

6、可減弱為：存在的充分必要是任一嚴格遞增趨于的數列，其對應的函數值組成的數列均收斂.20. 由柯西收斂準則的逆否命題知,若數列發散,則,存在的兩個子列和使得.若不存在,則,存在,但21. 若，則.22. 若，且，則.23. 設均為正實數，則.24. Stolz公式設嚴格遞增，為任一數列，且，若 ，則 .設嚴格遞減，且，若 ，則 .25.，.26. 等價無窮小量的來源主要為taylor公式和函數的冪級數展開式.三、基本題型與方法1用極限的定義證明極限（1）直接解不等式（），得最小（大）的.（2） 有時直接解不等式較困難，由于定義中沒要求求最小的，故可將進行適當的放大，如，然后解不等式得，一般地不是

7、最小的，但最小的是存在的。（3）分步放大；有時直接放大有一定的困難，特別在已知一極限的基礎上再證明另一極限的問題中，常需進行多次地放大。注 在證明極限的過程中常用到的幾個著名的不等式：(1) Bernoulli不等式：當時，,有.(2) Cauchy-Schwarz不等式：,總有.(3) 平均值不等式：，總有.(4) .例1用極限的定義證明下列極限(1) .(2) .(3) .證明 (1) 由于，若，即，且，即，所以，當時，我們有.所以，當時，有.所以，.(2)令所以，當時，即時，有，所以，當時，有.所以，.(3) 由于.限制，則，故.所以，取，當時,有.故,.注 上述例題中的（1）給出了用定

8、義證明有理數列極限的一般方法，其具體做法是將分子的各項系數取絕對值后相加所得和再乘以分子的最高次冪，統計分母中與最高次相符號不同的項數，將其首項分成份，通過限制的范圍，將分母縮小為首項的.(2) 給出了速度相差指數倍的兩數列之比的極限證明的一般放大方法.(3)給出了一般地函數極限的證明方法.其做法是在表達式中分離出的成分,通過限制的范圍,求出剩余部分的一個有限上界將不等式放大.例2 (1)已知.證明.(2)設函數定義在上,在每一個有限區間內有界,并滿足.證明.分析 由于已知條件中僅知道，而要證明的是已知數列經過運算后所得的表達式的極限問題，一般常用還原法來解決.即令，則，故將還原為,從而可看出

9、后面的表達式中各成分為待證極限的所作的貢獻.證明 (1)由，故.考察.由于，故.取，當時，有.所以.(2) 由,故當時,有.又在上有界,設在上有,且,使得,而.故當時有.又,所以,使得當時,有.所以,取,當時有.所以,.注 (1)用Stolz公式一步即得.2.證明極限的存在性一般地,要證明極限是多少時常使用極限的定義來證明,但當不知道極限是多少時,主要使用單調有界定理和柯西收斂準則.例3 證明數列收斂.證明 由于,所以數列單調遞減.又.所以數列單調遞減有下界,故收斂.注一般地，在證明單調性時，常考察的符號，或者將與1進行比較，在此過程中經常用到導數方面的知識.另此數列的極限為歐拉常數，故有，其

10、中為無窮小量.例4 (1)證明數列收斂. (2)證明不存在.分析一般地,在遇到考察數列或函數的極限的存在性時,首先考察該數列或函數的單調性,若單調則多用單調有界定理來解決,否則再考慮使用柯西收斂準則.顯然本題中的數列和函數均不單調,故選用柯西收斂準則來處理.證明 (1) ,由于, 所以可取,當時,對任意的自然數,總有,由柯西收斂準則知數列收斂. (2) 取,取充分大,使得,則,顯然有,但是,.所以不存在.注在使用柯西收斂準則證題的第一步必是放大,在數列中通過適當地放大去掉,在函數中通過適當地放大去掉一個點.3.求極限（1）利用極限的性質求極限；（2）利用初等變形求極限；例5 求下列極限（1）；

11、（2）已知，且，求.解 （1）令，則，所以.所以.（2）由于，又，故；由例2知，所以.注（1）中使用錯位相減法求出表達式的縮寫式，求縮寫式的方法還有利用部分分式定理來拆項，利用求和公式來求和等方法.（2）中使用的是用初等變形轉化為已知極限來求的，使用此方法的前提是熟練掌握一些極限表達式的極限.；由，故若，且，則等.(3)利用羅必達法則和泰勒公式求極限;例6 求.解 由于,故由歸結原則知.注一般地,大多數關于數列的不定式極限,均可通過此方法來解決.(4) 利用定積分的定義求極限;例7 求.解 由于而所以.注此類題目的特征是項之和與一與同階的無窮小量之積,要特別注意定積分定義中點的取法與區間的分發

12、的靈活性所導致的題目的復雜性,由于無窮乘積可通過去對數轉化為無窮求和,所以有時無窮乘積的極限也可用此法來解決.例如求.(5) 利用迫斂性例6 證明證明 由于，故有即有所以， 當時，有.所以，.例7 (1)設為個大于的實數,求. (2)設在區間上連續,試證 .解 (1)設,則.而,所以=.(2)設，在區間上連續,故存在使得，且，使得當時有所以，而，所以，當時有，即有所以四、綜合舉例例8 設時，證明.分析 若令,則,故將還原為來處理.證明 由于,故,當時,有.又,故對上述當時有.所以當時,且有,即.所以.故.注此題的解法又稱為“擬合法”.再例如例9 設在上連續,證明:. 分析 首先要找出的來源，易

13、見，故將還原為來考察.證明 由于在上連續,故,當時有.又由于,所以,當時有.所以,當時,有,所以,. 例10 設，且.證明 .(東北師大)分析令,則,故可將寫成來考察.證明 由于 .由,知,當時,有,且,使得有.又,故,當時,有.所以,取,當時有.所以,.注以上三題均通過改寫中的,使之與具有相類似的形式,故這種方法又稱為擬合法.例11 設實數列滿足,證明.證明 (法一)由,故,當時,有.令,則,所以又由于,故,當時有.取,當時有,所以.(法二) 令,則嚴格遞增趨于,且,故.例12 已知數列滿足,證明.證明 由,故,當時,有.即當時,有,.相加得.兩邊同除得,即.又,故,當時有.取,當時有.所以

14、.注 上面兩個例題的方法具有很強的典型性,已知某定距離上的函數值之差,而要考察函數值自身的性質,常使用到該方法.即據已知寫出一系列不等式,將這些不等式相加得距離變大的點處的函數值之差.stolz公式的證明就使用的是該方法.也適用于函數極限的問題中，如例13 設函數,滿足,且,證明.證明 由,故,當時有.即當時有,.相加得.由,在上式中令得,即,所以,即.例14 設，其中為正整數，求.解 (法一)令,則嚴格遞增趨于,且.據stolz公式知.(法二).例15 設證明.(北師大)分析 本題要想從已知條件中找出很困難,此類題目一般都是通過stolz公式消去.證明 顯然即數列單調遞減有下界,故收斂,且極

15、限為0.所以數列嚴格遞增趨于,據stolz公式有例16 設證明 .證明 易見數列嚴格遞減趨于,所以數列嚴格遞增趨于,據stolz公式有注上面兩例的共同特征是給出的是一個無窮小量,而要考察的是該無窮小量的某一無窮大倍的極限問題,其一般方法是通過stolz公式,消去倍數,還原為已知的來考察.例17 求下列極限(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10).解(1) 由于,故有,所以,即.同理,所以.(2) 當時,顯然有.當時,由于,所以.(3)由于所以.(4),可將看成是函數在上關于分割: ,取所作的積分和,由于在上可積,所以.(5)由于,其中,所以.(6),其中

16、.(7).(8).(9) 由于，所以.(10) 考察級數,由于所以由比式判別法知級數收斂,所以.2極限續論一基本內容。1基本概念（1）上確界：設S為一實數集，為一實數，如果 （i），有. (ii) ,使得.則稱為數集S的上確界,記為.（2）下確界:設S為一實數集, 為一實數,如果 （i） ，有. (ii) ,使得+. 則稱為數集S的下確界,記為.（3）聚點：設S為一實數集, 為一實數,如果在的任一領域中均含有中的無窮多個點，則稱為的一個聚點.（4）數列的聚點：設為一數列為一實數，如果的任一領域也均含的無窮多項；則稱為的一個聚點.數列的最大（小）聚點稱為的上（下）極限.2.基本結論（1）確界原理

17、有上界的非空數集有上確界存在，有下界的非空數集有下確界存在.（2）單調有界原理單調有界數列有極限存在.（3）柯西收斂準則數列收斂的充要條件是,，當時，有|<.（4）閉區間套定理若閉區間列滿足：（i），有;(ii) .則存在唯一的實數，使得（n=1,2,.）.（5）聚點定理有界無窮點集有聚點存在.（6）致密性定理有界數列必有收斂子列.（7）有限覆蓋定理設H是閉區間的一個開覆蓋，則必可從H中選出有限個開區間它們也能覆蓋.二.難點解析于有用結果1、關于確界的定義（1）設為一非零實數集，為的一個上界，則的充要條件是存在，使.（2）設為一非零實數集，為的一個下界，則的充要條件是存在，使.2、確界的

18、性質（1）設、兩非空數集，定義，則.特別的 ，其中、為兩個實數.（2）設、兩非空有界數集，且，則.（3）設、兩非空有界數集，則；.（4）設與均為上有定義的有界函數，且，有，則.（5）設為上的有界函數， ，設；則.（6）數集有最大（小）數的充要條件是.、關于聚點的定義（）設為一數集, 為一實數, 則為的聚點的充要條件是在的任一領域中均含有中的一個異于的點.（）設為一數集, 為一實數, 則為的聚點的充要條件是在中的互異點列，使得.（）若，則為的一個聚點.、關于單調數列的極限（）單調遞增數列的極限是它的上確界；（）單調遞減數列的極限是它的下確界；（）單調數列收斂的充要條件是它的一個子列收斂.、關于區

19、間套定理（）將閉區間套改成開區間套結論不真，但若改成嚴格開區間套，則結論仍然正確；（）若為區間套定理套出來的公共點，則,，當時，有;（）將區間套定理中的條件（）去掉，僅破壞了結論中的唯一性.、有限覆蓋定理中的開覆蓋不能改，如改成閉覆蓋，則結論不成立.例如：是的一個閉覆蓋.、壓縮映像原理（）設是一個數列，如果滿足，使得有，則數列收斂.（）設將換成，則滿足，使得有則使得.、關于上、下極限（）,，當時，有;（）,數列中有無窮多項大于.設，則存在的子列，使得;關于下極限有類似的結論.三、基本題型與方法1、利用定義證明問題此類問題的解決主要依賴于對一些基本概念的深刻理解.例1 設且，則必可以從S中選出一

20、個嚴格單調遞增數列，使.證明：由于且，故 （i），有； （ii）使.取，則，使；取，則，使即且；取，則，使即且；如此下去，則得數列使得嚴格遞增，且.例2 設為單調數列，證明，若存在聚點，則必是唯一的且為的確界.證明：不妨設單調遞增，若無上界，則，于是，當時，有，所以的領域中至多含有中的前項，因此不是的聚點，由的任意性可知，沒有聚點存在矛盾，故數列有上界，所以數列收斂，且收斂于的上確界。即，即為的聚點。設是的聚點，即為的某一子列的極限，而由海涅定理知的任一子列均收斂于，所以有唯一聚點.例 3 證明證明：設假設A+B>C，由下極限的定義，對有無窮多個，使.取，則有無窮多個，使.又因此對上述，

21、只有至多有限個，使也只有至多有限個，使，因而只有至多有限個使得矛盾.2、遞推形式的極限此類問題的處理一般是首先通過單調有界定理成壓縮映像原理證明極限存在，然后對遞推公式的兩邊求極限，最后解方程得到極限值.若遞推公式的生成函數是一次函數一般是利用遞推公式直接求此表達式后求極限.例4 設試確定的斂散性解：由于；， 所以. 所以時，發散；時，收斂，且.當時，收斂，時，發散.當時，收斂，時，發散.若遞推公式是由有理函數給出此類問題一般是先通過考察遞推形式來確定的范圍，然后，再由的范圍來確定函數的單調性，或通過求其發生函數的導數的界，用壓縮映像原理來解決.例5 設，證明收斂.證明：由于，知， 所以，即有

22、， 又由所以，.所以數列單調遞增有上界，故收斂.例6 設，證明數列收斂.證明：顯然故，即， 令，則 所以， 所以， 故由壓縮映像原理知數列收斂.若遞推公式是由一些簡單的無理函數給出此類問題一般是通過觀察來猜測數列的單調性和有界性，然后用數學歸納法來證明你的結論。例7 （1）設求. （2）設證明存在并求其值.解：（1）由于，假設時，有，則當時，有.由數列歸納法知，數列嚴格遞增，又顯然，假設，則.即數列有上界，故由單調有界原理知：數列收斂，設，則有，解得.（2）由于假設當n=k+1時，有；則當n=k+1時，有，且.即數列為單調遞增上有界數列，故收斂，且易得.若遞增公式由抽象函數給出此類問題多使用壓

23、縮映像原理解決例8 假設連續函數，滿足（1）（2），使構造數列：，證明 收斂，其極限滿足.證明：顯然有界，且，由于，故，由壓縮映像原理知數例收斂，.由的連續性及遞推關系式易得.3.閉區間套定理的常見使用方法閉區間定理的使用時尋找具有一定的性質的點。一般需要尋找具有一定特征的點時可考慮使用閉區間套定理，其關鍵是構造區間套，常用的區間套的構造方法是使每個閉區間的端點具有不同的屬性，或者是去想個小區間上具有某種性質.例9 設在上無界，證明在至少存在一點，使在該點的鄰域無界.證明：由于在上無界，將等分得兩個區間則至少在其中一個區間上無界，記其為，再將等分，則至少在其中一個閉區間上無界，記其為，如此下去

24、，則得一閉區間到滿足：（1）（2）（3）在上無界則由（1），（2）及閉區間套定理，存在唯一的，且在的任一個鄰域內無界.假設在的某鄰域內有界，則，當時，有.由的選取知，在上無界，所以，在內無界矛盾.例10 用閉區間套定理 證明確是原理.證明：設為一非空有上界的無窮點集，為的一個上界，取，若為的最大數，則即為的上確界，結論成立。否則記為，則點不是的上界，是的一個上界，考察的中點,若不是的上界，則記=，若是的上界，則記=，對上仿上討論，如此下去，則得一閉區間到滿足：（1） ，（2）=，（）（3）,不是的上屆，為的上界.由（1）（2）及閉區間套定理，！.下證即為S的上確界，若，使，則由（），知，當時，

25、有，這與為的上界矛盾，所以，為的一個上界，由于，及，故,當時，有，而不是的上界，故，使，故有，即不是的上界，由確界的定義知，為的上確界.4.有限覆蓋定理的常見使用方法有限覆蓋定理它實現了無限的飛躍，而有限集具有最大，最小及排序等一系列的性質。使用有限覆蓋定理的關鍵是構造開覆蓋，使得每個小區間上具有某種屬性，如函數在每個區間上有界，或每個小區間上符號相同，或每個小區間上僅含有限個某種特性的點等。例11 用有限覆蓋定理證明確界原理.、證明：設為一非空有上屆數集，為的一個上界，取，若為的上界，則為的最大數，也為上確界，結論成立，否則記，假設中的每個數均不是的上確界，若不是的上界，即，使，所以，使中的

26、每個數均不是的上界，若是的上界，但不是上確界，故，使也是的上界，所以，可取，使中的每個數均是的上界。令=，則覆蓋，由有限覆蓋定理從中可選出有限個，設為，且,它們也能覆蓋，設,由于不是的上界，的選取知中的每個數均不是上界，又，不妨設，則.而中的每個點均不是上界，故中的每個點也均不是上界，如此下去，次以后，設,中的每個點均不是的上界，這與為的上界，且屬于某個矛盾.所以，在中有一個數為的上確界.例12證明：若一組開區間，覆蓋，則，當且時，使.證明：由有限覆蓋定理，從中可選有有限個區間，不妨設為，它們也能覆蓋，將這些端點從小到大排成一列。相同的總是取其一，不妨設為，其中，令>0，則當且時，必，使

27、.四 綜合舉例例13 令，且 證明收斂.解： 易見>0，且即為有界數列，又所以數列單調，由于，則遞增，兩邊取權限得： ，解得 .例14設，滿足：；證明：（1）若有界，則有界； （2）若收斂，則收斂.證明：由遞推公式得：(1)若有界，則得，,于是 , 即有界.(2)若收斂，設 由于有界 所以有界， 設, .=.由于，故當時，有，從而當時，有.所以 =.例15 設，為常數。證明 數列收斂，并求.證明： 由于，且，故>0； 令，故， 故當時，有.故.由壓縮映像原理知，數列收斂，設。=,對=，兩邊求權限得： 即,所以.例16 證正項級數收斂，數列：，證明：是遞增收斂數列.證明： 由得 即為遞增收斂數列由數列歸納法易得，又由遞推公式：有； 兩邊平方得: 從而而數列收斂，所以有界，數列收斂.例17設在上有定義，且是上每一點的極限均存在且為0，證明 ：在上可積，且.證明： 由于=0，故，當時有令，則覆蓋，由有限覆蓋定理，其中存在有限個區間，它們也能覆蓋，由的性質知，在上除幾個點外，有令以