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文檔簡介

1、第2講 兩條直線的位置關系知識梳理1.兩條直線的平行與垂直關系(分斜率存在與不存在兩種情況討論)若兩條不重合的直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行;若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直.已知直線, 若,與相交,則 ; 若,則 ;若/,則且; 若與重合,則且2.幾個公式已知兩點,則 設點,直線點到直線的距離為設直線則與間的距離3.直線系 與直線平行的直線系方程為; 與直線垂直的直線系方程為; 過兩直線的交點的直線系方程為重難點突破重點:掌握兩條直線的平行與垂直的充要條件;掌握兩點之間的距離公式,點到直線的距離公式,會求兩條平行線之間的距離.難點:判斷兩條直線位置關系時的

2、分類討論以及綜合運用平行與垂直的充要條件、距離公式解題重難點:綜合運用平行與垂直的充要條件和三個距離公式,進行合理轉化之后求直線方程(1)在判斷兩條直線的位置關系時的分類討論, 要防止因考慮不周造成的增解與漏解,關鍵是要樹立檢驗的意識.要考慮斜率存在與斜率不存在兩種情形;要考慮兩條直線平行時不能重合;問題1:已知直線,m為何值時,與平行點撥:當m=0時,當時,的斜率為,的斜率為由得或,時與重合,時(2)在分析題意,尋找解題思路時,要充分利用數形結合思想,將問題轉化,化繁為簡,有效降低運算量. 問題2:已知點P(2,1)求過P點與原點距離最大的直線的方程點撥: 過P點與原點距離最大的直線為垂直于

3、直線的直線,直線的斜率為-2, 直線的方程為,即(3)在使用點到直線的距離公式和兩條直線的距離公式時,應先將直線方程化為一般式,使用兩條直線的距離公式,還要使兩直線方程中的的系數對應相等問題2:求直線與的距離點撥:將的方程化為,則兩直線的距離為(4)處理動直線過定點問題的常用的方法: 將直線方程化為點斜式化為過兩條直線的交點的直線系方程特殊入手,先求其中兩條直線的交點,再驗證動直線恒過交點從“恒成立”入手,將動直線方程看作對參數恒成立。問題3:求證:直線恒過某定點,并求該定點的坐標.將直線方程化為若直線過定點,則上式對恒成立,該直線必過定點熱點考點題型探析考點1:兩直線的平行與垂直關系題型:

4、判斷兩條直線平行與垂直例1 已知直線 :3mx+8y+3m-10=0 和 : x+6my-4=0 問 m為何值時 (1)與相交(2)與平行(3)與垂直;解析當時; , 與垂直當時由 ,而無解綜上所述(1)時與相交(2)與平行(3)時與垂直【名師指引】判斷兩條直線的位置關系,一般要分類討論,分類討論要做到不重不漏,平時要培養分類討論的“意識”例2 已知三邊的方程為:,;(1)判斷三角形的形狀;(2)當邊上的高為1時,求的值。【解題思路】(1)三邊所在直線的斜率是定值,三個內角的大小是定值,可從計算斜率入手;(2)邊上的高為1,即點到直線的距離為1,由此可得關于m的方程.解析: (1)直線的斜率為

5、,直線的斜率為, 所以,所以直線與互相垂直, 因此為直角三角形 (2)解方程組,得,即由點到直線的距離公式得 , 當時,即,解得或【名師指引】(1)一般地,若兩條直線的方向(斜率、傾斜角、方向向量)確定,則兩條直線的夾角確定(2)在三角形中求直線方程,經常會結合三角形的高、角平分線、中線【新題導練】1.已知直線,直線,則“”是“直線”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析B2.已知過點A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行,則m的值為( )A0 B-8 C2 D.10解析設所求的直線,則那么m=-8,選 B3. “m=”是“直

6、線(m+2)x+3my+1=0與直線(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的( )A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析當m=或-2時,兩條直線垂直,所以m=是兩條直線垂直的充分不必要條件,選 B點評還要考慮斜率不存在的情形 4. (山東省棗莊市2008屆高三第一次調研考試) 已知直線l的傾斜角為,直線l1經過點垂直,直線l2:2,4,6等于( )A4B2C0D2解析 B ,又考點2 點到直線的距離題型:利用兩個距離公式解決有關問題例3 已知直線及點(1)證明直線過某定點,并求該定點的坐標(2)當點到直線的距離最大時,求直線的方程【解題思路】分離參數求

7、定點坐標;尋找到直線的距離最大時,直線滿足的條件解析:(1)將直線的方程化為:,無論如何變化,該直線系都恒過直線與直線的交點,由得,直線過定點(2)當時點到直線的距離最大,此時直線的斜率為-5,直線的方程為即【名師指引】(1)斜率不定的動直線,都應考慮是否過定點(2)處理解析幾何的最值問題,一般方法有:函數法;幾何法例4 已知三條直線 ,若與的距離是 (1)求a的值 (2)能否找到一點P使得P同時滿足下列三個條件P是第一象限的點;P點到的距離是P點到的距離的P點到的距離與P點到的距離的之比是;若能,求P點坐標;若不能,說明理由。【解題思路】由三個條件可列三個方程或不等式,最終歸結為混合組是否有

8、解的問題解析(1)(2)設同時滿足三個條件由得:設在上則有-(1)由得:-(2)由得 -(3)解由(1)(2)(3)聯立的混合組得 所以 【名師指引】(1)在條件比較多時,思路要理順;(2)解混合組時,一般是先解方程,再驗證不等式成立 【新題導練】6. 點到直線的距離的最小值等于 解析7. 與直線的距離為的直線方程為 解析 或8. 兩平行直線,分別過點P(-1,3),Q(2,-1)它們分別繞P,Q旋轉,但始終保持平行,則之,間的距離的取值范圍是( )A B.(0,5) C. D.解析最大值為P,Q的距離,即5,選C9.求過原點且與兩定點距離相等的直線的方程解析 直線過線段AB的中點或平行于直線

9、AB,故方程為或考點3 直線系題型1:運用直線系求直線方程例5 求過直線和的交點,且與直線垂直的直線方程和平行的直線方程。 【解題思路】可直接求交點,也可用直線系求解解析解法一.設與直線垂直的直線方程為 設與直線平行的直線方程為聯立方程得與的交點(1,-1) 代入求得 m=-5,n=3解法二.設與直線為 由條件分別求得和化簡得和【名師指引】(1)使用直線系方程可以回避解方程組,從而達到減少運算量的目的(2)注意直線系不表示直線,這是一個容易丟解的地方題型2:動直線過定點問題例6 已知圓,直線證明不取何值,直線過定點 證明直線恒與圓C相交解析(1)直線化為:故直線是經過和交點(3,1)的直線系,

10、故過定點(3,1)(2)因為 所以(3,1)為圓內的點。故直線恒與圓C相交【名師指引】在處理動直線過定點問題時,分離參數,轉化為過兩條定直線的交點的直線系是簡單易行的方法【新題導練】10、方程所確定的直線必經過點A(2,2) B.(-2,2) C.(-6,2) D.(3,-6)解析代入驗證,選A11.已知為m實數,直線:(2m+1)x+(1-m)y-(4m+5)=0, P(7,0),求點P到直線的距離d的取值范圍。解析 直線過定點,d的最大值為點P、Q的距離,因點P、Q的距離為,故d的取值范圍是 12.直線經過直線的交點,且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形,求直線的方程解析:設直線方程為,

11、化簡得:直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形,直線的斜率為,解得:或代入并化簡得直線的方程為或搶分頻道基礎鞏固訓練1、若過點和的直線與直線平行,則的值為A6 B C2 D 解析,2、已知三條直線和圍成一個直角三角形,則的值是A 或 B-1或 C0或-1或 D0或或解析 C直線垂直時,但時后兩條直線重合,又時后兩條直線垂直,故選C3、若直線l:ykx與直線2x3y60交點位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是( )A,) B(,) C(,) D,)解析B直線2x3y60與x軸、y軸交于(0,2)、(3,0)將兩點坐標代入可得答案4、點P(x,y)在直線4x + 3y = 0上,且滿足14

12、xy7,則點P到坐標原點距離的取值范圍是( )A. 0,5B. 0,10C. 5,10D. 5,15解:B. 由得,點P到坐標原點距離的取值范圍是0,105、設 ,若僅有兩個元素,則實數的取值范圍是 解析, 數形結合,注意到直線的斜率為1,當時直線與不可能有兩個交點 6、求經過直線和的交點,且與原點距離為的直線方程解析解方程組得交點坐標為(-1,-1),設直線方程為即,解得所求直線方程為綜合提高訓練7、已知直線與軸軸正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則 ,的取值范圍是 解析由題意知直線與坐標軸交于點和,直線與線段(不含端點)相交,畫圖易得的取值范圍是8、已知兩直線,求分別滿足下列條件的、的值 (1

13、)直線過點,并且直線與直線垂直; (2)直線與直線平行,并且坐標原點到、的距離相等解析解:(1) 即 又點在上, 由解得: (2)且的斜率為. 的斜率也存在,即,.故和的方程可分別表示為:原點到和的距離相等. ,解得:或.因此或. 9、(華南師大附中20072008學年度高三綜合測試(三)如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點,|AB|=3米,|AD|=2米. ()要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AM的長應在什么范圍內? ()當AM、AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積. 以AM、AN分別為x

14、、y軸建立直角坐標系,解析 ()以A為原點,AB所在直線為x軸建立坐標系,則由C在直線MN上得 AM的長取值范圍是(3,4)()由()知,即當且僅當即時取等號所以時,矩形AMPN的面積取得最小值2410.已知點A(1,4),B(6,2),試問在直線x-3y+3=0上是否存在點C,使得三角形ABC的面積等于14?若存在,求出C點坐標;若不存在,說明理由。解析AB=,直線AB的方程為,即,假設在直線x-3y+3=0上是否存在點C,使得三角形ABC的面積等于14,設C的坐標為,則一方面有m-3n+3=0,另一方面點C到直線AB的距離為,由于三角形ABC的面積等于14,則,即或.聯立解得,;聯立解得,.綜上,在直線x-3y+3=0上存在點C或,使得三角形ABC的面積等于14.參考例題: 1. 將一塊直角三角板(角)置于直角坐標系中,已知,點是三角板內一點,現因三角板中部分受損壞(),要把損壞的部分鋸掉,可用經過的任意一直線將其鋸成,問如何確定直線的斜率,才能使鋸成的

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