1、第3章 系統的時間響應分析在建立系統的數學模型(微分方程或傳遞函數之后,就可以采用不同的方法,通過系統的數學模型來分析系統的特性,時間響應分析是重要的方法之一。第3.1節 時間響應及其組成一、時間響應的概念所謂時間響應指系統在外加激勵作用下,其輸出量隨時間變化的函數關系。或者說 在輸入作用下,系統的輸出(響應在時域的表現形式;在數學上,就是系統的動力學方程在一定初始條件下的解。自變量為時間t ,因變量為輸出(o x t y t二、時間響應的組成 分析:第一、二項是由微分方程的初始條件(即系統的初始狀態引起的自由振動,即自由響應。應該說第三項的自第三項是由作用力引起的自由振動即自由響應,其振動頻

2、率均為n與作用力頻率無關,由響應并不完全自由。因為它的幅值受到F的影響,當然,它的頻率n自由即在此。第四項是由作用力引起的強迫振動即強迫響應,其振動頻率即為作用力頻率。因此系統的時間響應可從兩方面分類:按振動性質可分為自由響應與強迫響應,按振動來源可分為零輸入響應(即由“無輸入時系統的初態”引起的自由響應與零狀態響應(即在“無輸入時的系統初態”為零而僅由輸入引起的響應 Array所以我們的研究對象是:零狀態響應。另外還有兩個需了解的概念:瞬態響應和穩態響應。瞬態響應:系統在外加激勵作用后,從初始狀態到最終狀態的響應過程稱為瞬態響應。反映了系統的快、穩特性。穩態響應:時間趨于無窮大時,系統的輸出

3、狀態為穩態響應。反映系統的準確性。三、系統方程的特征根影響系統自由響應的收斂性和振蕩 第3.2節 典型的輸入信號由于系統的輸入具有多樣性,所以在分析和設計系統時,需要規定一些典型的輸入信號,然后比較各系統對典型信號的時間響應。不同系統或參數不同的同一系統對同一典型信號的時間響應不同,反映出各種系統動態特性的差異,從而可以定出相應的性能指標,對系統的性能予以評定。盡管在實際中,輸入信號很少是典型信號,但由于系統對典型信號的時間響應和對任意信號的時間響應之間存在一定的關系統,所以知道系統對典型信號的響應就可求出對任意輸入的響應。常用的典型信號有: 脈沖響應函數(權函數:當一個系統受到一個單位脈沖激

4、勵時所產生的響應。應指出,單位脈沖函數只是數學上的概念,工程上不可能發生。但是,時間很短的沖擊力、脈沖信號、天線上的陣風擾動都可以看成此類,可用脈沖函數模擬。單位階躍信號:實際工作中如開關的轉換、電源的突然接通、斷開都可看作階躍作用,它可以用方波進行模擬。單位斜坡信號:它是一各等速度函數,如隨動系統中位置做等速移動的指令信號、數控機床加工斜面時的進給指令信號、軋鋼機壓下裝置的移輥信號、大型船閘勻速升降時的信號等,它可用三角波模擬。單位拋物線信號:它是一種等加速度函數,實際中如隨動系統中位置作等加速度移動的指令信號,它可用積分器的串聯來模擬。正弦信號:實際中如電源的波動、機械振動、元件的噪聲干擾

5、、海浪對艦船的擾動力等。選擇以上哪種函數作為典型輸入信號應視不同系統的具體工作條件而定。例如如果控制系統的輸入量通常是隨時間逐漸變化的函數,象雷達天線、火炮、機床、控溫裝置等,以選擇斜坡函數較為合適;如果控制系統的輸入量是沖擊量,象導彈發射,以選擇脈沖函數較為合適;如果控制系統的輸入量隨時間變化的往復運動,象研究拭目機床振支,以選擇正弦函數為好;如果控制系統的輸入量是突然變化的,象突然合電,則以選擇階躍函數為宜。值得注意的是,時域的性能指標往往是選擇階躍函數為輸入來定義的。第3.3節 一階系統可用一階微分方程描述的系統稱為一階系統,其微分主程及傳遞函數分別為:(1(1o o i o i T x

6、 t x t x t X s G s X s Ts +=+T 為一階系統的時間常數,它表示了一階系統本身與外界無關的固有特性,稱為一階系統的特征參數。一、一階系統的單位脈沖響應 (注:11111Ts T s T=+ 21(tTw t e T-=- 即為響應速度。 取不同的t 值得:2222(110110.3860.3861120.1350.01800o o t w t w t T TT TTT T T T T T-由圖可知,一階系統的單位脈沖響應函數是一單調下降的指數曲線。如果將這個指數曲線衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程,則可算得相應的時間為4T 。稱此時間(4T 為過渡過程時間或調

7、整時間,記為s t 。T 越小,s t 越短,其過渡過程的持續時間愈短,這表明系統的慣性愈小,系統對輸入信號反應的快速性能越好。二、一階系統的單位階躍響應(注:111111Ts s s s T=-+1(t Tou x t e T-= 即為響應速度方程。 (1001110ou ou t x t x t TT T T T T T由圖可知,T 越小,響應速度越快,當4t T 時,其響應值達穩態值的98%,故4s t T = 且 (ou w t x t = 三、一階系統的單位斜坡響應 (000.368(o o t x t T T t x t T-=四、不同時間常數下的響應 五、一階系統的性能指標 第3

8、.4節 二階系統一、二階系統的數學模型及特征方程可用二階微分方程描述的系統稱為二階系統。如圖,彈簧-阻尼系統, 微分方程為:.m y c y ky f += L 變換后得傳遞函數為:2(1(Y s G s F s ms cs k=+ 令2n n kkmm=n 為無阻尼自然頻率。 22n c cmmk=為阻尼比。故2221(2n n nG s k s s =+ 1k 為系統增益,當其等于1時得典型二階系統的傳遞函數為 222(2nn nG s s s =+ 式中 n是二階系統的特征參數,表明系統本身與外界作用無關的固有特性。可見當阻尼比取不同值時,特征根也不同。 當0=時(無阻尼兩特征根為共軛純

9、虛根 1.2n s j =± 傳遞函數為2(nn n G s s j s j =+-極點位于虛軸上,如圖3-9(a 所示。 當01<<時(欠阻尼兩特征根為共軛復根21.21n n n d s j j =-±-=-±其中21d n =-為有阻尼自然頻率。 傳遞函數為2(nn d n d G s s j s j =+-極點位于s平面左半平面,如圖(b 所示。 當1=時(臨界阻尼兩特征根為相等的負實根 1.2n s =-傳遞函數為 22(nn G s s =+ 極點位于負實軸上。如圖3-9(c所示。 當1>時(過阻尼特征方程有兩個不等的負實根21.21

10、n n s =-±- 傳遞函數為222(1(1nn n n n G s s s =+-+-極點位于負實軸上,如圖3-9(d所示。 二、二階系統的單位脈沖響應 三、二階系統的單位階躍響應 總: 第3.5節 欠阻尼二階系統的性能指標通常,系統的性能指標是根據系統對單位階躍輸入的響應給出。其原因有二:一、產生階躍輸入比較容易,而且從系統對單位階躍輸入的響應也較容易求得對任何輸入的響應;二、在實際中,許多輸入與階躍輸入相似,而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。因為完全無振蕩的單調過程的過渡時間太長,所以,除了那些不允許產生振蕩的系統外,通常都允許系統有適度的振蕩,其目的是為了獲得較短

11、的過渡過程。所以通常取0.40.8= 。為了說明欠阻尼二階系統的單位階躍響應的過渡過程的特性,通常采用下列性能指標: 1.上升時間r t 2.峰值時間p t 3.最大超調量p M 4.調整時間s t 5.振蕩次數N 一、上升時間r t響應曲線從原工作狀態出發,第一次達到輸出穩態值所需的時間定義為上升時間。(對于過阻尼系統,一般將響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間稱為上升時間。 令 21a r c t a n -= 得,2,3,.d r t =-因為上升時間r t 是(o x t 第一次達到輸出穩態值的時間,故取d r t =-,即r dt -=因21d n =-,所以當一定時,n

12、增大,r t 就減小;當n 一定時,增大,r t 就增大。p 響應曲線達到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間。將下式對時間t 求導,并令其為零,便可求得峰值時間p t ( sin 00,2,.p o t t d p d p d p p ddx t dt t t t t =可見峰值時間是有阻尼振蕩周期2d的一半。因21d n =-,所以當一定時,n 增大,p t 就減小;當n 一定時,增大,p t 就增大。 三、最大超調量p M s在過渡過程中(x t與穩態值之差進入允許的誤差范圍所需的時間。為穩態值的2%o或5%。 五 . 振蕩次數 N在過渡過程時間 0s t t 內, ( o x t 穿越其

13、穩態值的次數的一半定義為振蕩次數。即:2/sdt N =因此,當 00.7, 0.02<<=時,由 4 , s nt =d =N = 當 00.7, 0.05<<=時,由 3 , s nt =d =N = 可以看出, 振蕩次數 N 隨著 的增大而減小,它的大小直接反映了系統的阻尼特性。通過以上討論,可得如下 結論 :n 提高 n ,可以提高二階系統的響應速度,減少上升時間 r t 、 峰值時間 pt 和調整時間 s t ;增大 , 可以減弱系統的振蕩性能, 即降低超調量pM , 減少振蕩次數 N , 但增大上升時間和峰值時間。一般情況下,系統在欠阻尼狀態下工作,若 過小

14、,則系統的振動性能不符合要 求,瞬態特性差。因此,通常要根據允許的超調量來選擇阻尼比 。(2系統的響應速度與振蕩性能之間往往是存在矛盾的。 比如 m c k -系統,要想增加n 就要通過提高 k 來實現,但要增大 就希望減小 k 。因此,既要減弱系統的振蕩性能,又要系統具有一定的響應速度,就只有選取合適的 和 n 值來實現。五、二階系統計算舉例 第 3.6節 高階系統實際上,大量的系統,特別是機械系統,幾乎都可用高階微分方程來描述。這種用高階 微分方和描述的系統叫做高階系統。對高階系統的研究和分析,一般是比較復雜的,在分析 時必須抓住主要矛盾,忽略次要因素,使問簡化。 第 3.7節 系統誤差分

15、析與計算準確是對控制系統提出的一個重要的性能要求,對于實際控制系統來說,輸出量常常不 能絕對精確地達到所期望的數值, 期望數值與實際輸出值的差就是所謂的誤差 。自動控制系統通常是穩定的,那么在某一典型外因作用下,系統的運動大致保分為兩階 段:第一階段是過渡過程或瞬態;第二階段是達到某種新的平衡狀態或穩態。系統的輸出量 則由瞬態分量和穩態分量所組成。可而系統的誤差也由瞬態誤差和穩態誤差兩部分組成。 在過渡過程中瞬態誤差是誤差的主要部分,但它隨時間而逐漸衰減,穩態誤差逐漸成為 誤差的主要部分。一、系統的誤差 (e t 與偏差 ( t 二、系統的穩態誤差與穩態偏差系統的穩態誤差是指系統進入穩態后的誤

16、差,因此不論動態過程中的情況,只有穩定系 統存在穩態誤差 如果系統的穩態誤差涉及到期望值與實際輸出值,不便于測量和分析時,一般先求出系 統的穩態偏差,必要時可把偏差轉化為誤差,然后求其穩態值。 三、與輸入有關的穩態偏差閉環控制系統的偏差:( ( ( ( ( ( ( ( 1( (1( (i o i i E s X s H s X s X s H s E s G s E s X s G s H s =-=-=+由終值定理得 穩態偏差為 :01lim ( lim ( lim ( 1( (ss i t s s t sE s sX s G s H s =+可知,穩態偏差不僅與系統的特性(結構、參數有關,

17、而且與輸入信號特性有關。設1221211(1(1(1.(1( ( ( (1(1.(1(1 (1m K n mi i nj j K T s T s T s T s G s G s H s s T s T s T s K T s s T s =+=+=+為開環系統串聯積分環節的個數, K 為開環增益。若記 101(1( (1mii nj j T s G s T s =+=+ 則顯然 00lim ( 1s G s =0( K KG s G s s=工程上般規定 0.1.2.3=時分別稱為 0型、型、型、型系統。 越高,穩態精度越高,但穩定性越差,因而一般不起過型。機械工程控制基礎講稿（初）第三章 系

18、統的時間響應分析 故 ss = lim s X i (s s +1 X ( s = lim i s 0 KG0 ( s s 0 s + K 1+ s 可見穩態誤差與系統的型次、開環增益、輸入信 型次、開環增益、 型次 號特性有關。 號特性 K p = lim G ( s H ( s = lim s 0 s 0 K K G0 ( s = lim s 0 s s K =K s0 對于 0 型系統：K p = lim s 0 ss = 1 K +1 為有差系統， 穩態偏差隨開環增益的增大 而減小。 對于型、型系統 K p = lim s 0 K = s ss = 1 =0 為位置無偏系統。 所以，當

19、系統開環傳遞函數中有積分環節時，系統階躍響應的穩態值是無差的。 所以，當系統開環傳遞函數中有積分環節時，系統階躍響應的穩態值是無差的。而無積 分環節時，穩態是有差的。為了減少偏差，可適當提高放大倍數，但過大的 K 值將影響系統 分環節時，穩態是有差的。為了減少偏差，可適當提高放大倍數， 的穩定性。 的穩定性。 K v = lim sG ( s H ( s = lim s 0 s 0 sK K G0 ( s = lim 1 s 0 s s ss = ss = 1 = Kv 1 =K Kv 對于 0 型系統： K v = lim sK = 0 s 0 表示系統不能跟隨斜坡輸入。 對于型系統： K

20、v = lim K = K s 0 表示系統能跟隨斜坡輸入，但有偏差。 26 機械工程控制基礎講稿（初）第三章 系統的時間響應分析 對于型系統： K v = lim s 0 K = s ss = 1 =0 Kv 表示系統為無差系統。 K a = lim s 2G ( s H ( s = lim s 0 s 0 s2 K K G0 ( s = lim 2 s 0 s s K s 2 對于 0 型、 型系統：K a = lim s 0 =0 ss = 1 = Ka 表示系統不能跟隨拋物線輸入。 對于型系統： K a = lim s 0 K =K s0 ss = 1 1 = Ka K 表示系統能跟隨拋物線輸入，但有偏 差。 根據以上的討論，可歸納出如下幾點： （1）關于以上定義的無偏系數的物理意義：穩態偏與輸入信號的形式有關，在隨動系統中一 穩態偏與輸入信號的形式有關， 穩態偏與輸入信號的形式有關 般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。 般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入“某種” 加速度信號 信號而引起的穩態偏差用一個系數來表示，就叫“某種”無偏系數，如輸入階躍信號而引起 的無偏系數稱位置無偏系數,它表示了穩態的精度。 某種”無偏系數愈大，精度愈高；