1、Nonlinear time series Introduction 門限自回歸模型(ThresholdAR) 平滑轉換自回歸模型(SmoothingTransitionAR) 非線性模型的設定與檢驗1Introduction 考慮如下情形：（1）假設利率制定規則為：R=alpha0+alpah1*defla+alph2*gdp+u。如果在通脹率處于不同狀態下，央行發展（GDP增長率）的反應是不同的。（利率）對通貨膨脹率和（2）假設兩個市場的價格差按照AR(1)運行，即:dp(t)=alpha0+alpha1*dp(t-1)+u(t)由于成本，只有dp超過一定幅度時，偏離才會作出。（3）市場價

2、格率按照AR(1)運行，即:dp(t)=alpha0+alpha1*dp(t-1)+u(t)如果dp對正向沖擊與負向沖擊的反應不同（非對稱），（4）消費模型： consume(t)=alpha0+alpha1*income(t)+u(t)如果D.income>0,D.consume>0。 D.income<0,D.consume=0。設定？設定？2Introduction Happyfamiliesareisallalike,everyunhappyway.familyunhappyinitsown Linearmsareisallalike,everynonlinearmn

3、onlinearinitsownway. 非線性的形式千變萬化，在參數估計、統計推斷上復雜很多。因此，非線性模型的設定檢驗是必 要的。3門限回歸 在不同狀態下y與x表現為不同的規律，這種狀態取決于另外一個變量是否超過某個們限值。if z £ gì y = x1 + u,í y = x + u,if z > gî2 對于門限值的檢驗：beta1=beta2。但是，在備擇假設下多了一個未知參數gamma（稱作冗余參數，nuisance parameter)。這種情況下傳統的檢驗統計量不再有效。這種情況下的模型也一直沒有得到很用，直至Andrews（19

4、83）等給出統計量的分布。應 對gamma的估計可以采用Grid search。 注：如果gamma為已知常數，則模型的估計與檢驗（相同。)與傳統4門限回歸H0 : Beta1 = Beta2æ s% 2- s 2ö= n çnn ÷ Nonstandard distributionFns2nè1øå( y)ni=12s- x a=%2n%(OLS estimator)ttnsmin s (g )2n2ng ÎGæ s% 2- s 2 (g ) öF = sup F (g ),g ) = nnF

5、 (nç÷s (g )nnn2èøg ÎGn5門限回歸人均期望與人均GNP.use lifeexp, clearGen const=1threg lexp, rx(const gnppc) thrvar(gnppc) iters(50)利率對通脹率的響應Use stab_1,clear Gen const=1.threg rat2,rx(constinf)thrvar(inf) iters(50)6門限自回歸 門限回歸在AR模型中的應用即門限自回歸模型。ì yt = a0+ a1 yt -1+L+ ak yt -k£ g&g

6、t; g+ ut ,ififyt -dt -dí y= b+ b y+L+ b+ u ,yyî1t -1kt -kt0td : delay parameterg : thold Simulate a TAR(1) process with alpha1=-1.5,gamma=0beta1=0.5,d=1,ì yt = -1.5yt -1 + ut ,£ 0ififyt -1í y= 0.5y+ u ,> 0yît -1t -1tt7門限自回歸（TAR）.matrix a=(-10.5)matrix b=1tar_sim y, n

7、(1000) coef(a) gen ly=l.yTsline ythresh(b)thregy,rx(ly)thrvar(ly)iters(100)8門限自回歸（TAR） (1)雖然|alpha1|>1，但y是一個平穩過程。(2)雖然模型中沒有常數項，但過程不是0均值。（3）y取正數的比例遠高于y取負數的比例。 Y為幾何遍歷過程的充要條件（geometrically ergodic）: alpha1<1, beta1<1, alpha1*beta1<1。 過程的均值是兩種體制均值的加權，權數則是y處于兩種狀態的概率。9門限自回歸（TAR） 門限參數設定落在門限變量的某

8、個區間,比如0.15,0.85分位數。 延遲參數d可以與門限參數一起估計。由于d只能取正整數，其ols估計量具有超一致性。10TAR mTAR m: (data: usunem.dta).use usunem, clearkeep if tin(1959m1,1996m7) Gen dy=d.yForvalues i=1/12 genGen Gendyi=li.dy.q=dy1-dy12const=1threg dy, rx(const dy1-dy12)thrvar(q) iters(20)11TAR m 練習：（1）模擬tar數據，并進行回歸；（2）回歸TAR模型.UseGenGenvec

9、,clearly=l.dlnftapl2y=l2.dlnftapthregdlnftap,rx(lyl2y)thrvar(ly)iters(20)12SETAR(Self-exciting TAR)ìaï+ a+L+ a£ g+ u ,if - ¥ < y(1)(1) y(1) yt -1t - pt -d01pt1ïa+ a+L+ aif g£ g+ u ,< y(2)(2) y(2) yt -1t - pt -dy = í01pt12tïLïa+ a+L + aif g+ u ,<

10、y< +¥(k )(k ) y(k ) yît -1t - pk -1t -d01pt= zt , open-loop TAR mNote : ifyt -d13SETAR設定檢驗 H0:H1:linear mSETAR m;with k thresholds.LnL0 = LnL(a0 ,.,a p ,s )LnL = LnL(a(i=1,.,k ) ,.,a (i=1,.,k ) ,s (i=1,.,k ) ,g,.,g)k -110p1LR = 2(LnL1 - LnL0 ) 由于冗余參數gamma,LR從卡方分布。可以利用Andrews(1983)，Andre

11、ws and Ploberger(1994)的計算Sup(LR(t), Ave(LR(t)或Exp(LR(t)，并計算其臨界值和p值。14平滑轉換自回歸設定 門限回歸中，變量在不同狀態下進行轉換。這種轉換是在某一期實現完全的轉換，即直接從一種狀態跳躍到另外一種狀態，稱之為突變。 平滑轉換自回歸模型中，變量逐漸地從一種狀態過渡到另外一種狀態，稱之為漸變。其是引入平滑轉換函數。yt = b1f (L) yt + (b2f (L) yt ) f (g , c) + ut ,g > 0f (g , c) = éë1+ exp(-g ( yt -d - c)ù

12、1;-1Logistic STAR :Exponential STAR : f (g , c) = 1- exp(-g ( y- c)2 )t -d0 < f (g , c) <1ìg ® 0 Þ Linear AR míg ®µÞ Threshold AR mî15平滑轉換自回歸轉換函數觀察Logistic轉換函數與Exponential轉換函數的形狀。c=1;gamma=2,10,50,100,200,300,400.twoway(functionLogis=1/(1+exp(-10*(x-1),r

13、ange(02).twoway range(0(function 2)Exp=1-exp(-10*(x-1)2),16平滑轉換自回歸線性設定檢驗 Terasvirta(1994) LMstatistics:, ® etStep1: Regress AR(p) mStep2:(residual)åååååååpi=1pj =1pj =1pj =1j ydddLSTAR: e =+y+ vy2y3yyy1it -it - jt -d2 jt - jt -d3 jt - jt -dt1 jtppj =1pj =1j yd

14、dESTAR : e =y+ vy2yy1it -i1 jt - jt -d2 jt - jt -dtti=1Step3: H0 :dij = 0, "i, jìïc 2 (3 p) (LSTAR)LM = NR2 íïîc 2 (2 p) (ESTAR)Note:Delay parameter d can be determained by sequential LM testfrom the least p-value17平滑轉換自回歸模型選擇 LSTAR與ESTAR的選擇（Terasvirta(1994)）:å

15、9;ååpi=1pj =1pj =1pj =1j y+dddStep1: e =y+ vy2y3yyyt -i1 jt - jt -d2 jt - jt -d3 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d3 j , j = 1, ., p. ® Prob3åååpi=1pj =1pj =1j y+ddStep2: e =y+ vy2yyt -i1 jt - jt -d2 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d2 j = 0, j = 1, ., p. ® Prob2ååpi=1pj =1j y+dStep3: e =y+ vyt -i1 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d1 j = 0, j = 1, ., p. ® Prob1ìIf (Prob2 < Prob3 & Prob2 <Prob1 ), ESTARRule:íElse, LSTARî18平滑轉換自回歸操作步驟（1） 直接設定延遲參數d，并進行線性檢驗。或者在d=1,max依次進