1、人教版高中數學必修一各章節知識點與重難點第一章集合與函數概念1.1集合1.1.1集合的含義與表示【知識要點】1、集合的含義一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。2、集合的中元素的三個特性（1）元素的確定性；（2）元素的互異性；（3）元素的無序性2、“屬于”的概念我們通常用大寫的拉丁字母A,B,C,表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,表示元素如：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作aA,如果a不屬于集合A記作aA3、常用數集及其記法非負整數集（即自然數集）記作：N;正整數集記作：N*或N+;整數集記作：Z;有理數集記作：Q;實數集記作：R4、集合的表示法（1）列舉

2、法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法稱為描述法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是xCR|x-3>2或x|x-3>2（3）圖示法（Venn圖）1.1.2集合間的基本關系【知識要點】1”“包含”關系一一子集一般地，對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作AB2、“相等”關系如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,

3、即：A=BAB且BA3、真子集如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）4、空集不含任何元素的集合叫做空集，記為規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.1.1.3集合的基本運算【知識要點】1、交集的定義一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作AAB（讀彳A交B"），即AAB=x|xCA,且xCB.2、并集的定義一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB(讀彳A并B'),即AUB=x|xCA,或xCB.3、交集與并集的性質AAA=A,AA小=也AHB=BAA,AUA=

4、A,AU小=A,AUB=BUA.4、全集與補集(1)全集如果集合U含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。(2)補集設U是一個集合，A是U的一個子集(即AU),由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集(或余集)。記作：CuA，即Csa=x|xU且xA(3)性質Cu(cuA)=a,(cuA)na=,(cuA)ua=u；(cuA)n(cuB)=cu(aub),(cuA)u(cuB)=cu(anB).1.2函數及其表示1.2.1函數的概念【知識要點】1、函數的概念設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x

5、,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x),xA.其中，x叫做自變量，x的取值圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域.【注意】(1)如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；(2)函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.【定義域補充】求函數的定義域時列不等式組的主要依據是(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底數必須大于零且不等于1.(

6、5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域.)2、構成函數的三要素定義域、對應關系和值域【注意】(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)<(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。3、相同函數的判斷方法(1)定義域一致；(2)表達式

7、相同(兩點必須同時具備)【值域補充】(1)函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2)應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。4、區間的概念(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示.1.2.2函數的表示法【知識要點】1、常用的函數表示法及各自的優點(1)函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。(2)函數的表示法解析法：必須注明函數的定義域；圖象法：描點法作圖

8、要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.【注意】解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值2、分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.注意：(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.3、復合函數如果y=f(u),(uM),u=g

9、(x),(xA),則y=fg(x)=F(x),(xCA)稱為f是g的復合函數.4、函數圖象知識歸納(1)定義在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(xCA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x'A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.即記為C=P(x,y)|y=f(x),xCA圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成.(2)畫法A、描點法根據函數解析式和定

10、義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系描出相應的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換(I)對稱變換將y=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=If(x)I的圖象如：書上P21例5x1氧)V=f(x)ffiy=f(-x)的圖象關于y軸對稱。如ya與ya一a丫二f(x)fty=-f(x)的圖象關于x軸對稱。如ylogax與ylogaxlog1xa(U)平移變換由f(x)得到f(xa)左加右減；由f(x)得到f(x)a上加下減(3)作用A、直觀的看出函數的性質；B、利用數形結合的方法分析解題的思路；

11、C、提高解題的速度；發現解題中的錯誤。5、映射定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:AB”給定一個集合A到B的映射，如果aCA,bCBH元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象【說明】函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(1)集合A、B及對應法則f是確定的；(2)對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；(3)對于映射f:A-B來說，則應滿足：(

12、I)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(H)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(田)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6、函數的解析式(1)函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.(2)求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等A、如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；B、已知復合函數fg(x)的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)【重點】函

13、數的三種表示法，分段函數的概念，映射的概念【難點】根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，分段函數的表示及其圖象，映射的概念1.3函數的基本性質1.3.1 函數單調性與最大(小)值【知識要點】1、函數的單調性定義設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I的某個區間D的任意兩個自變量必42,當X1<X2時，都有f(X1)<f(x，那么就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區問；如果對于區間D上的任意兩個自變量的值玄，x2,當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.【注意

14、】(1)函數的單調性是在定義域的某個區間上的性質，是函數的局部性質；(2)必須是對于區間D的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)。2、圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的3、函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法任取x1,x2D,且x1<x2;作差f(x1)-f(x2);變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f(x“f(x2)的正負)；下結論(指出函數f(x

15、)在給定的區間D上的單調性).(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性：復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：同增異減【注意】函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.4、判斷函數的單調性常用的結論函數yf(x)與yf(x)的單調性相反；1當函數y f(x)恒為正或恒有負時,f (x)與函數y f (x)的單調性相反;函數yf(x)與函數yf(x)C(C為常數)的單調性相同；當C>0(C為常數)時，yf(x)與yCgf(x)的單調性相同；當C<0(C為常數)時，yf(x)與y

16、Cgf(x)的單調性相反；函數f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)g(x)仍是增(減)函數；若f(x)0,g(x)0且“幻與的刈都是增(減)函數，則f(x)gg(x)也是增(減)函數；若f(x)0,g(x)0且f(刈與9(刈都是增(減)函數，則f(x)皿x)也是減(增)函數；設f(x)0,若f(x)在定義域上是增函數，則再不、kgf(x)(k0)、fn(x)(n1)者b是增函1數，而f(x)是減函數.5、函數的最大(小)值定義(i) 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足：(1)對于任意的xI,都有f(x)&M;(2)存在xeI,使得f(x。)=M那么，稱

17、M是函數y=f(x)的最大值.(ii) 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足(1)對于任意的xI,都有f(x戶M;(2)存在發力，使得f(x。)=M那么，稱M是函數y=f(x)的最大值.【注意】 函數最大(小)首先應該是某一個函數值，即存在x°CI,使得f(x。)=M; 函數最大(小)應該是所有函數值中最大(小)的，即對于任意的xCI,都有f(x)&M(f(x)>M).6、利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值的方法®利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值利用圖象求函數的最大(小)值利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值如果函數

18、y=f(x)在區間a,b上單調遞增，在區間b,c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a,b上單調遞減，在區間b,c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);1.3.2函數的奇偶性【知識要點】1、偶函數定義一般地，對于函數f(x)的定義域的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.2、奇函數定義一般地，對于函數域定義域的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函數.【注意】函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數又是偶函數。由函數

19、的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域的任意一個x則-x也一定是定義域的一個自變量(即定義域關于原點對稱)3、具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.4、利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數;若f(x)=f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.5、函數奇偶性的性質偶函數在關于原點對F(x)與一個偶函數 f( x)2，奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則

20、其單調性完全相同；稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.若f(x)為偶函數，則f(x)f(x)f(|x|).若奇函數f(x)定義域中含有0,則必有f(0)0.定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數G(x)的和(或差)”.如設f(x)是定義域為R的任一函數，則F(x)工曳G(x)f(x)2f(x).復合函數的奇偶性特點是：“偶則偶，奇同外”.既奇又偶函數有無窮多個(f(x)0,定義域是關于原點對稱的任意一個數集)第二章基本初等函數1.1.1 函數2.1.1 指數與指數幕的運算【知識要點】1、根式的概念：負數沒有偶次方

21、根；0的任何次方根都是0,記作V0=0.【注意】a, a 0a,a 0(1)(na)na當n是奇數時，n/Fa,當n是偶數時，9|a|2、分數指數幕(1)(2)正數的正分數指數幕的意義，規定：m正數的正分數指數幕的意義：a-%m a1F aVam(a 0,m,n N，且n 1)(a 0, m,n N，且n 1)(3)0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義3、實數指數幕的運算性質rsrs,_、(1) aaa(a0,r,sR)rsrs(2) (a)a(a0,r,sR)(3) (ab)rarbr(a0,b0,rR)【注意】1在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如(1/2)221:2而應=/21

22、2.1.2 指數函數及其性質【知識要點】1、指數函數的概念一般地，函數yax叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.a>12、指數函數的圖象和性質0<a<1圖象定義域R，值域(0,+oo性質(1)過定點(0,1),即x=0時,y=1圖象特征函數性質共性向x軸正負方向無限延伸函數的止義域為R函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都過定點(0,1)過定點(0,1)0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數在第一象限的圖象縱坐標都小于1當x>0時,0<y<1;在第二象限的圖象縱坐標都大于1當x<0時

23、,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數在第一象限的圖象縱坐標都大于1當x>0時,y>1;在第二象限的圖象縱坐標都小于1當x<0時,0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較慢，到了某一值后土外長速度極快；在R上是減函數(3)當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1(2)在R上是增函數(3)當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<12.2對數函數1.1.2 對數與對數運算【知識要點】1、對數的概念一般地，如果axN

24、,那么數x叫做以a為底N的對數，記作：xlogaN(a底數，N真數，logaN一對數式)【注意】(1)注意底數的限制，a>0且awl；(2)真數N>0;(3)注意對數的書寫格式.2、兩個重要對數(1)常用對數：以10為底的對數，10g10N記為lgN;(2)自然對數：以無理數e為底的對數的對數，logeN記為lnN.3、對數式與指數式的互化xlogaNaxN對數式指數式對數底數一a一幕底數對數一x一指數真數一N一幕【結論】(1)負數和零沒有對數(2) 1ogaa=1,loga1=0,特別地，1g10=1,1g1=0,1ne=1,1n1=0(3)對數恒等式：a1ogaNN4、如果a&

25、gt;0,a1,M>0,N>0有(1) 1oga(M?N)logaMlogaN兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和logaMNl“aM兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差(3) logaMnnlogaM(nR)一個正數的n次方的對數等于這個正數的對數n倍【說明】(1)簡易語言表達：”積的對數二對數的和”(2)有時可逆向運用公式(3)真數的取值必須是(0,+8)(4)特別注意：logaMNlogaMlogaNlogaMNlogaMlogaN5、換底公式logab1ogcbg-ba0,a1,c0,c1,b0logcalga利用換底公式推導下面的結論 log a blog ba

26、loga bglogb cglogcdloga d logambn loga b m1.1.3 對數函數及其性質【知識要點】1.1.4 對數函數的概念函數ylogax（a>0,且awl）叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0,+00）.【注意】（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：ylogaVXH,ylogax2都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.（2）對數函數對底數的限制：a>0,且awl2、對數函數的圖像與性質在logab中,當a,b同在（0,1）或（1,+°°）時，有logab>0；當a,b不同在（0,1）,或

27、不同在（1,+卻時，有logab<0.【口訣】底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底數，真指真數，大于0指logab的值）3、如圖，底數a對函數ylogax的影響.規律：底大枝頭低，頭低尾巴翹4考點I、logab,當a,b在1的同側時,logab>0；當a,b在1的異側時，logab<0H、對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較對數的大小，同底找對應的對數函數，底數不同真數也不同利用（1）的知識不能解決的插進1(=logaa)進行傳遞.田、求指數型函數的定義域要求真數>0,值域求法用單調性.IV、分辨不同底的對數函數圖象利用

28、1=logaa,用y=1去截圖象得到對應的底數。V、y=ax(a>0且aw1)與y=logax(a>0且a*1)互為反函數，圖象關于y=x對稱。5比較兩個幕的形式的數大小的方法(1)對于底數相同指數不同的兩個幕的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷.(2)對于底數不同指數相同的兩個幕的大小比較，可以利用比商法來判斷.(3)對于底數不同也指數不同的兩個幕的大小比較，則應通過中間值來判斷.常用1和0.6比較大小的方法(1)利用函數單調性(同底數)；(2)利用中間值(如：0,1.);(3)變形后比較；(4)作差比較2.3幕函數【知識要點】1、幕函數定義一般地，形如yx的函數稱為幕函數

29、，其中x是自變量，a為常數.2、幕函數性質歸納(1)所有的幕函數在(0,十°°)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；(2) a>0時，幕函數的圖象通過原點，并且在0,+8)上是增函數.特別地，當a>1時，幕函數的圖象下凸；當0<a<1時，幕函數的圖象上凸；(3) a<0時，幕函數的圖象在(0,+8)上是減函數.在第一象限，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.第三章函數的應用3.1函數與方程3.1 方程的根與函數的零點【知識要點】(1) 數零點的概念對于函數y=f(x)，使f(x)=0的實數x叫做函數的零點.(實質上是函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標)2、函數零點的意義方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數y=f(x)有零點.3、零點定理函數y=f(x)在區間a,b上的圖象是連續不斷的，并且有f(a)f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)至少有一個零點c,使得f(c)=0,此時c也是方程f(x)=0的根.4、函數零點的求法求函數y=f(x)的零點：