1、北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明講義無(wú)答案第一章：三角形的證明【根底知識(shí)】1、全等三角形1定義：能夠完全的三角形是全等三角形。2性質(zhì)：全等三角形的、相等。3判定：“ SAS、。2、等腰三角形1定義：有兩條的三角形是等腰三角形。2性質(zhì)：等腰三角形的相等。“等邊對(duì)等角等腰三角形的頂角平分線、互相重合。 ()等腰三角形是圖形。3判定：定義“4等邊三角形定義：的三角形是等邊三角形。性質(zhì)：三角都等于具有等腰三角形的一切性質(zhì)。 判定：定義有一個(gè)角是等邊三角形。3、直角三角形1定義：有一個(gè)角是的三角形是直角三角形。2性質(zhì)：“勾股定理。直角三角形兩銳角。直角三角形斜邊上的中線等于。在直角三角形中，30&#

2、176;角所對(duì)直角邊等于。3判定：定義兩銳角的三角形是直角三角形“勾股定理逆定理。三角形三邊的垂直平分線，且到相等。3判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。4線段的垂直平分線的作法：6、命題：判斷一件事的句子叫命題。命題有與兩局部。互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的是另一個(gè)命題的，那么這兩個(gè)命題成為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的。7、逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題是真命題，那么這個(gè)逆命題就叫原定理的逆定理【典例講解】一、選擇題1、到 ABC 的三條邊距離相等的點(diǎn)是ABC 的2、如圖，從等腰ABC 底邊 BC 上任意一點(diǎn)分別作兩腰的平行線DE、DF ，分別交 AC 、

3、AB于點(diǎn) E、F，那么 AFDE 的周長(zhǎng)等于這個(gè)等腰三角形的()A. 周長(zhǎng)B.周長(zhǎng)的一半C. 一條腰長(zhǎng)的2 倍D. 一條腰長(zhǎng)3、如圖， ABC 中， AD BC 于 D， BE AC 于 E， AD 與 BE 相交于 F，假設(shè) BF=AC ，那么 ABC 的大小是°°°°4、如圖，在 ，90°， 15°，的中垂線交于，為垂足，假設(shè) 10，那么等于 10 8 5 255、如圖，在 中，30°，3，那么AC 的長(zhǎng)等于- 6 -/ 124、角平分線1定義：。2性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)相等。三角形的三條角平分線，且到相等。3判定：到角的

4、兩邊的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。4角平分線的作法： 22AFE 23 32 33 5、線段的垂直平分線1定義：一條線段的叫線段的垂直平分線。2性質(zhì)：線段垂直平分線上一點(diǎn)相等。BDC2 題3 題4 題5 題6、 ABC 中， A B C=1 2 3，最小邊 BC=4 cm，最長(zhǎng)邊AB 的長(zhǎng)是A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm 7、以下定理中逆定理不存在的是B. 在一個(gè)三角形中，如果兩邊相等，那么它們所對(duì)的角也相等C.同位角相等，兩直線平行8、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是C. 每個(gè)命題都有逆命題D.假命題的逆命題是假命題二、填空題1、命題：“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是 。這條逆命題是 命題

5、填“真或“假2、，如圖， O 是 ABC 的 ABC 、ACB 的角平分線的交點(diǎn)，OD AB 交 BC 于 D，OEAC交 BC 于 E，假設(shè) BC = 10 cm ，那么 ODE 的周長(zhǎng).3、如圖， AOP= BOP=15 °， PCOA， PD OA ，假設(shè) PC=4，那么 PD 的長(zhǎng)為.6、如圖九，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2cm，一只螞蟻欲從A 點(diǎn)處沿正方體側(cè)面到B 點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是.7、如圖十的 (1) 中， ABCD 是一張正方形紙片，E，F(xiàn) 分別為 AB ，CD 的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的折 痕將A角翻折 ， 使得點(diǎn)A落在 2 中EF 上， 折 痕交AE于 點(diǎn)

6、G， 那么 ADG=.BA三、解答題1某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD ，如圖，現(xiàn)方案在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量 A 90°， AB 3m，BC12m，CD13m， DA 4m，假設(shè)每平方米草皮需要200 元，問(wèn)需要多少投入？CD00AB2、如圖，A60，AB=AD=8 ，D150，四邊形的周長(zhǎng)為32，求 BC 和 CD 的長(zhǎng)。CD4、如下圖的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，那么正方形A 、B、C、D 的面積的和是AB2cm5、在聯(lián)歡晚會(huì)上，有A、B、C 三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕嬉粋€(gè)游戲，要求在他們中

7、間放一個(gè)木凳，使他們搶坐到凳子的時(shí)機(jī)相等，試想想凳子應(yīng)放在ABC的三條線的交點(diǎn)最適當(dāng)3、作圖題保存作圖的痕跡，寫(xiě)出作法共 6 分如圖十一，在 AOB內(nèi)，求作點(diǎn) P，使 P 點(diǎn)到 OA，OB的 距離相等， 并且 P 點(diǎn)到 M，N 的距離也相等 .4 如圖， ABC 中， AM ，CM 分別是角平分線，過(guò)M 作 DE AC，求證： AD+CE=DE4、如圖十五， ABC中， AD是 BAC的平分線， DEAB于 E，DFAC于 F.求證：1AD EF ；2當(dāng)有一點(diǎn)G從點(diǎn) D向 A 運(yùn)動(dòng)時(shí)， DEAB于 E， DF AC于 F，此時(shí)上面結(jié)論是否成立？5、如圖 2 所示，：在 ABC 中， AD 為

8、ABC 的中線， F 為 AC 上一點(diǎn)，且AF= BF 交 AD 于 E，假設(shè) EF=5cm. 求 BE 的長(zhǎng)。AEBDC1AC ，連結(jié)3F5、如圖十六， ABC、 DEC均為等邊三角形，點(diǎn)M為線段 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn)N 為線段 BE的中點(diǎn)，求證：CNM為等邊三角形 .6、：如圖， D 是等腰 ABC底邊 BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF。當(dāng) D 點(diǎn)在什么位置時(shí)， DE=DF？并加以證明 .（ 3）在 ABC中，如果A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D 、 E 分別在AB 、 AC 上，且7、：菱形 ABCD中如圖， A 72°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將菱形ABC

9、D分割成四個(gè)三角形，使得每個(gè)三角形都是等腰三角形畫(huà)圖工具不限，要求畫(huà)出分割線段；標(biāo)出能夠說(shuō)明分法所得三角形內(nèi)角的度數(shù)，沒(méi)有標(biāo)出能夠說(shuō)明分法所得三角形內(nèi)角度數(shù)不給分；不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法分法一：分法二：分法三：1 DCB= EBC=2你的結(jié)論 . A ，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明AEDOBC9、巳知：如圖，在ABC 中 AB AC， 延長(zhǎng) AB 到 D 使 BD AB ，E 為 AB 的中點(diǎn)， 求證： CD 2CEAEBC8、我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類(lèi)似地，我們定義：至少有一組對(duì)

10、邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.D1請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱(chēng)；2如圖，在 ABC 中，點(diǎn) D、E 分別在 AB 、AC 上，設(shè) CD 、BE 相交于 O，假設(shè) A=60°，1 DCB= EBC=對(duì)邊四邊形；A ，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與A 相等的角，并猜測(cè)圖中哪個(gè)四邊形是等2【穩(wěn)固練習(xí)】°，那么其余兩角分別為 .2. 一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為5 和 8，那么此三角形的周長(zhǎng)為 .3. 如下左圖， ABC 中， C=90°， AM 平分 CAB， CM=20 cm，那么點(diǎn) M 到 AB 的距離是90nA.2nB. 0 2C. n°

11、n°2a、b、c 組成的三角形，不是直角三角形的是A. a=3， b=4， c=5B.a=1 ，b=4 ， c= 533C.a=9 ，b=12， c=15D.a=3 ， b=2， c=54. 如上右圖，等邊ABC 中， F 是 AB 中點(diǎn)， EF AC 于 E，假設(shè) ABC 的邊長(zhǎng)為10，那么AE= ， AE EC= .5. 如下左圖， ABC 中，DE 垂直平分 BC，垂足為 E，交 AB 于 D，假設(shè) AB=10 cm，AC=6 cm，那么 ACD 的周長(zhǎng)為 .6.如上右圖， C=90°，ABC=75°，CDB =30°， 假設(shè) BC=3 cm，那么

12、 AD = cm.7.如下左圖， B 在 AC 上， D 在 CE 上， AD=BD= BC， ACE=25°， ADE= .15. 直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，那么它的面積為B.7.516. ABC 中， A B C=1 2 3，最小邊 BC=4 cm，最長(zhǎng)邊 AB 的長(zhǎng)是A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm17. 如右圖， ABC 中， AB= AC，BC= BD， AD=DE= EB，那么 A 的度數(shù)為°°°° ABC 中， AC=2BC，周長(zhǎng)為 60，那么 BC 的長(zhǎng)為19.直角三角形兩直角邊分別是5 cm、12 cm，其

13、斜邊上的高是8. 等腰直角三角形一條邊長(zhǎng)是1 cm，那么它斜邊上的高是 cm.17 題30A.13 cmB.1360cmC.13cmD.9 cm9. 如上右圖，在AOB 的兩邊 OA、OB 上分別取 OQ=OP，OT =OS，PT 和 QS 相交于點(diǎn) C，那么圖中共有 對(duì)全等三角形 .a，頂角是底角的4 倍，那么腰上的高是10. 等腰三角形兩腰上的高相等，這個(gè)命題的逆命題是 ，這個(gè)逆命題是 命題.3A. aB.23aC.331aD.a62a、b、c，且 a2 bc=a(b c)，那么這個(gè)三角形按邊分類(lèi)一定是3 ，那么它的邊長(zhǎng)為n°，那么它的一腰上的高與底邊的夾角等于 三角形 .22.

14、假設(shè)一個(gè)三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么此三角形一定是ABC 中， A=120°， BC 中點(diǎn)為 D，過(guò) D 作 DE AB 于 E，AE=4 cm，那么 AD 等于A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明講義無(wú)答案證： CD = 12DB.25.如右圖，ABCD ，ABD 、 BCE 都是等腰三角形， 如果 CD =8，BE=3，那么 AC 長(zhǎng)為A.8B.5C.3D.34n2+ n，n+1 和 n2+n+21( n0) ，求證：這個(gè)三角形是直角三角形.2°的直角三角形拼成下右圖，

15、其中兩條長(zhǎng)直角邊在同一直線上，那么圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是A.4B.3C.2D.127.以下定理中逆定理不存在的是B. 在一個(gè)三角形中，如果兩邊相等，那么它們所對(duì)的角也相等*28. 一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是4+26 ，斜邊上中線長(zhǎng)為2，那么這個(gè)三角形的面積為532.如圖， ABC 中， AB=AC， 1= 2，求證： AD 平分 BAC.A.5B.2C.429. ：如圖， AB =AC， DE AC，求證： DBE 是等腰三角形 .30. ：如圖，在RtABC 中， C=90°，BAC，過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB， DE 恰好是 ADB 的平分線，求1 BAD=233.如圖，以等腰直角三角

16、形ABC 的斜邊 AB 與邊面內(nèi)作等邊ABD，連結(jié) DC ，以 DC 當(dāng)邊作- 6 -/ 122等邊 DCE ，B、E 在 C、D 的同側(cè)，假設(shè)AB=，求 BE 的長(zhǎng).*34. 在 ABC 中， AB=AC，AB 的垂直平分線交AC 于 N，交 BC 的延長(zhǎng)線于M， A=30°，求 NMB 的大小 .如果將中的A 的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求NMB 的大小 .你感到存在什么樣的規(guī)律性？試證明.請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)圖將中的 A 改為鈍角，對(duì)這個(gè)問(wèn)題規(guī)律性的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改？- 9 -/ 12【連接中考】1. 2021 山東濟(jì)寧， 9， 3 分如圖， ABC的周長(zhǎng)為 30

17、cm，把 ABC的邊 AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C 和點(diǎn) A 重合，折痕交BC邊于點(diǎn) D，交 AC邊于點(diǎn) E，連接 AD，假設(shè) AE=4cm，那么 ABD的周長(zhǎng)是A22cmB 20 cmC 18cmD15cmA.1 00 °B 110 °C.120 °D.130 °BAADCyFBECBHAMEACGFECDDEOAB x CDB6. 2021 浙江金華， 15， 4 分如圖，在 ABCD中， AB 3， AD4， ABC60°，過(guò) BC的中點(diǎn) E 作 EFAB，垂足為點(diǎn)F，與 DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，那么 DEF的面積是7. 2021 四川南充市， 1

18、0，3 分如圖， ABC和 CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D 在一BC2. 2021 湖北黃岡， 14，3 分如圖，把 Rt ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中CAB=90°，BC=5，點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別為 1，0、4，0，將 ABC沿 x 軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C 落在直線 y=2x 6 上時(shí)，線段BC掃過(guò)的面積為A4B 8C 16D 823. 2021 安徽， 6，4 分如圖， D是 ABC內(nèi)一點(diǎn)， BDCD，AD=6，BD=4， CD=3，E、F、G、 H分別是 AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，那么四邊形EFGH的周長(zhǎng)是A 7B 9C 10D11條直線上，點(diǎn)M是 AE的中點(diǎn)，以下結(jié)

19、論：tan AEC=; S ABC+S CDE S ACE ; BMDM;CDBM=DM正. 確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)8. 2021 浙江義烏， 10，3 分如圖， ABC和 ADE都是等腰直角三角形， BAC=DAE=90°，四邊形 ACDE是平行四邊形， 連結(jié) CE交 AD于點(diǎn) F，連結(jié) BD交 CE于點(diǎn) G，連結(jié) BE.以下結(jié)論中：CE=BD； ADC是等腰直角三角形；ADB= AEB； CD·AE=EF· CG；一定正確的結(jié)論有A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D 4 個(gè)4.2021 山東威海， 3， 3 分在 ABCD中，點(diǎn) E為 AD的中點(diǎn)

20、，連接BE，交 AC于點(diǎn) F，那9.2021 四川涼山州， 8，4 分如圖，在ABC 中，ABAC13， BC10 ，點(diǎn)么 AF：CFD 為 BC 的中點(diǎn)， DE DEAB，垂足為點(diǎn)E ，那么 DE 等于A1： 2B1： 3C 2：3D2： 55.2021 浙江省， 8，3 分如圖，在五邊形ABCDE中， BAE=120°,B=E=90°，AB=BC， AE=DE，在 BC， DE上分別找一點(diǎn)M,N，使得 AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，那么AMN+ANM的度數(shù)為A 1013B 1513C 6013D 7513CEFGABD北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明講義無(wú)答案10. 2021

21、 浙江杭州， 16，4在等腰 Rt ABC中， C=90°， AC 1，過(guò)點(diǎn) C 作直線 l AB， F 是 l 上的一點(diǎn)，且AB AF，那么點(diǎn) F 到直線 BC的距離為11. 2021 浙江臺(tái)州， 14,5 分等邊 ABC中，點(diǎn) D,E 分別在邊 AB,BC 上，把 BDE沿直線18.2021 河北， 9，3 分如圖 3，在 ABC中， C=90°， BC=6,D,E 分別在 AB,AC上，將 ABC沿 DE折疊，使點(diǎn) A 落在點(diǎn) A處，假設(shè)A為 CE的中點(diǎn)，那么折痕DE的長(zhǎng)為1A DE 翻折，使點(diǎn)B 落在點(diǎn) B處， DB,EB分別交邊AC于點(diǎn) F，G，假設(shè) ADF=80

22、o ，那么2EGC的度數(shù)為12. 2021 山東濟(jì)寧， 15，3 分如圖，等邊三角形ABC中， D、E 分別為 AB、BC邊上的兩個(gè)BB2C3D 4CAFG動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE， AE與 CD交于點(diǎn) F， AG CD于點(diǎn) G，那么AFDFECCF30° B13. 2021 貴州貴陽(yáng)， 15，4 分如圖，等腰Rt ABC的直角邊長(zhǎng)為1，以 Rt ABC的斜邊 AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰Rt ACD，再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰RtA'EAA圖3DBE45° DADE，依此類(lèi)推直到第五個(gè)等腰Rt AFG，那么由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積

23、為 14. 2021 廣東茂名， 14， 3 分如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E 在同一直線上且 CGCD，DFDE，那么 E度MP19. 2021 江蘇無(wú)錫， 16，2 分如圖，在Rt ABC中， ACB= 90 °， D、E、F 分別是 AB、BC、CA的中點(diǎn)，假設(shè)CD= 5cm ，那么 EF= cm 220. 2021 山東棗莊， 15，4 分將一副三角尺如下圖疊放在一起，假設(shè)AB =14cm，那么陰影局部的面積是 cm.21. 2021 山東泰安， 19 ，3 分如圖，點(diǎn)O是矩形 ABCD的中心， E是 AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn) B 恰好與點(diǎn) O重合，假設(shè)BC

24、=3，那么折痕CE的長(zhǎng)為QOAN3B.332C.3D.615. 2021安徽蕪湖， 6，4分如圖， ABC 中，ABC45 ，F(xiàn) 是高 AD 和 BE 的22. 2021 四川重慶， 10，4 分如圖，正方形 ABCD中，AB 6，點(diǎn) E在邊 CD上，且 CD 3DE將 ADE沿 AE對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng) EF交邊 BC于點(diǎn) G，連結(jié) AG、CF以下結(jié)論：ABG AFG； BGGC； AG CF； S FGC3其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A 1B 2C3D4交點(diǎn)， CD4 ，那么線段DF 的長(zhǎng)度為. A 22 B 4C 32 D 4223. 2021 重慶江津，10 ，4 分如圖 , 四邊形

25、ABCD中,AC=a,BD=b, 且 AC BD,順次連接四. 2021浙江衢州，1,3 分如圖，OP 平分MON, PAON 于點(diǎn) A ，點(diǎn) Q 是射線 OM邊形ABCD各邊中點(diǎn) , 得到四邊形A1B1C1D1 , 再順次連接四邊形A1 B1C1D1 各邊中點(diǎn) , 得到四邊形2222nnnn16AB CD, 如此進(jìn)展下去 , 得到四邊形AB CD. 以下結(jié)論正確的有()上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)PA2 ，那么 PQ 的最小值為A.1B.2C.3D.4四邊形 A2 B2 C2D2 是矩形 ;四邊形 A4 B4C4D4 是菱形； 四邊形 A5B5C5D5 的周長(zhǎng)ab ;四邊417.2021 貴州貴陽(yáng)，

26、7， 3 分如圖， ABC中， C=90°， AC=3， B=30°，點(diǎn) P是 BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么AP長(zhǎng)不可能是A3.5B4.2C5.8D7形 An BnCnDn 的面積是ab 2 n 1A.B.C.D.AA 1- 10 - / 12A 2BD2D 1D3C3C2DA 3B 3B 1B2C1- 12 - / 1224. 2021 山東臨沂， 11，3 分如圖， ABC中， AC的垂直平分線分別交AC、AB 于點(diǎn) D、F， BEDF交 DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，A30°， BC2，AFBF, 那么四邊形 BCDE的面積是A 23B33C 4D 4325. 2021 湖北

27、武漢市， 12，3 分如圖，在菱形ABCD中， AB=BD，點(diǎn) E， F 分 別在 AB， AD上，且 AE=DF連接 BF與 DE相交于點(diǎn) G，連接 CG與 BD相交于點(diǎn) H以下結(jié)論：AED29. 2021 四川涼山州， 17，4 分菱形 ABCD的邊長(zhǎng)是 8，點(diǎn) E在直線 AD上，假設(shè) DE=3，連MC接 BE與對(duì)角線 AC相交于點(diǎn) M，那么的值是。AM30. 2021 山東日照， 16，4 分正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，M、N分別是 BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN當(dāng) BM=時(shí)，四邊形ABCN的面積最大；=3；假設(shè)=2，那么=6其中正確的結(jié)論31. 2021 山東煙臺(tái)， 24,10 分：如圖，在四邊形ABCD中， ABC90°， CDAD，ADCDDFBS四邊形BCDGCG4AFDFBG GF2222 2ABA只有B只有 C只有DDCED FHAGFHAEBBGC26. 2021 四川內(nèi)江， 16，5 分如圖，點(diǎn)E、F、G、H 分別是任意四邊形ABCD中 AD、BD、BC