1、第四節(jié) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)理論的應(yīng)用一、 旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（一）運(yùn)動(dòng)方程及其解在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來(lái)源之一。一個(gè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的力學(xué)模性：設(shè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為，偏心距為，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。選靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)表示機(jī)器離開(kāi)靜平衡位置的垂直位移，而偏心質(zhì)量的位移為根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程整理后，得 （3-18）上式的形式與方程（3-1）相似，只是由代替了，故前面所有的分析都可適用。設(shè) ，   ， 則方程（3-18）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為式中振幅為顯然，相位差為可見(jiàn)，偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與不平衡質(zhì)量成正比。

2、為了減小振動(dòng)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子通常要作平衡試驗(yàn)，使質(zhì)量分布盡可能均勻。（二）幅頻特性放大因子定義為 （3-19）以放大因子為縱坐標(biāo)，頻率比為橫坐標(biāo)，阻尼比為參數(shù)，畫(huà)出幅頻特性曲線(xiàn)。由曲線(xiàn)可見(jiàn)：1. 當(dāng)時(shí)，即振幅接近于零。2. 當(dāng)時(shí)，即振幅趨近于常數(shù)，即而與激勵(lì)頻率及阻尼比基本上無(wú)關(guān)。3. 共振發(fā)生在 即 時(shí)，位于的右邊，共振振幅為當(dāng)阻尼很小時(shí)（），可以認(rèn)為當(dāng) 即 發(fā)生共振，共振振幅為例題：一臺(tái)慣性式激振器安放在機(jī)器正上方，以測(cè)定機(jī)器的振動(dòng)特性。激振器有一對(duì)帶有偏心質(zhì)量、等速反向旋轉(zhuǎn)的齒輪組成。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度為時(shí)，偏心質(zhì)量的離心慣性力在水平方向合力為零，在垂直方向合成激振力me2sint，其中m為總

3、的偏心質(zhì)量，e為偏心距。通過(guò)改變轉(zhuǎn)速，測(cè)得共振時(shí)的垂直振幅為1.07cm，而超過(guò)共振很遠(yuǎn)時(shí)，垂直振幅趨于定值0.32 cm。若偏心質(zhì)量為12.7kg，偏心距為15 cm，支承彈簧剛度為k=976.7N/cm。計(jì)算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）轉(zhuǎn)速為N=300r/min時(shí)機(jī)器的垂直振幅。解：設(shè)機(jī)器和激振器的總質(zhì)量為M。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為（1） 共振時(shí)（r =1） 的振幅為而r 1（超過(guò)共振很遠(yuǎn)時(shí)）時(shí)有所以阻尼比（2） 當(dāng)轉(zhuǎn)速為N=300r/min時(shí)，激勵(lì)頻率為 （rad/s）由 和 ，得 （rad/s）頻率比 則機(jī)器的振幅為例3-2：橋式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)采用高速空心軸傳動(dòng)，軸的兩端由調(diào)位軸承支

4、承，軸上無(wú)別的零件。空心軸的內(nèi)徑d1為，外徑為d2，兩支承間距離為，求軸的臨界轉(zhuǎn)速（r/min）。軸的臨界轉(zhuǎn)速ncr為: 。故只要知道梁的固有頻率即可求出軸的臨界轉(zhuǎn)速ncr。求連續(xù)梁第一階固有頻率時(shí)，其模型可按如下簡(jiǎn)化（離散化）：將梁離散為三點(diǎn)：兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)中點(diǎn)，其中梁的兩端端點(diǎn)的質(zhì)量各為總質(zhì)量的四分之一，即，中點(diǎn)的質(zhì)量為總質(zhì)量的二分之一，即。如圖所示。這樣處理后，可以把梁看作是抗彎剛度為EI、無(wú)質(zhì)量的彈性梁。由靜變形法，知 式中是梁中點(diǎn)的靜變形，由材力知二、 基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)在許多情況下，系統(tǒng)受到的激勵(lì)來(lái)自于支承的運(yùn)動(dòng)，例如固定在機(jī)器上的儀表，汽車(chē)在不平的路面行駛時(shí)的振動(dòng)等等，都是支

5、承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。（一） 運(yùn)動(dòng)方程及其解如圖所示是受基礎(chǔ)激勵(lì)的振動(dòng)力學(xué)模型。以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系： - 質(zhì)量塊的位移 - 基礎(chǔ)的位移 設(shè)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得 （3-20）即 （a）或也可寫(xiě)成： 利用復(fù)指數(shù)法求解上式。用代換，所以 ， 代入式（a），得 （b）假定方程（b）的解為 （c）式中 - 復(fù)振幅則 帶入方程（b），得 （d）則實(shí)振幅為 （e）相位差 （3-27）故方程（b）的解為 （f）由于方程（3-20）中的激勵(lì)力是正弦函數(shù)，所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虛部，故方程（3-20）的解為 （g）（二） 幅頻特性令振幅放大因子為 （3-28）以放

6、大因子為縱坐標(biāo)，頻率比為橫坐標(biāo)，阻尼比為參數(shù)，畫(huà)出幅頻特性曲線(xiàn)。由此可見(jiàn)，它與簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的響應(yīng)曲線(xiàn)基本相同。 所不同的是：1. 當(dāng)時(shí)，振幅等于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)振幅，與阻尼無(wú)關(guān)。2. 當(dāng)時(shí)，振幅小于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)振幅，增加阻尼反而使振幅增大。例題：試求圖示系統(tǒng)在上端有基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。已知和激勵(lì)頻率 。解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為即固有頻率為頻率比為 思考問(wèn)題：（1）此題是用3.2中的式（3-4）還是用3.4.2基礎(chǔ)激勵(lì)中的公式（h）來(lái)求解該題的響應(yīng)？（2）此題相位差為多少？振幅為相位差為 則系統(tǒng)的響應(yīng)為例題3-3： 如圖為汽車(chē)的拖車(chē)在波形道路上行駛，引起垂直方向振動(dòng)的簡(jiǎn)化模型。已知，車(chē)速。滿(mǎn)載時(shí)拖車(chē)質(zhì)量

7、 ，。空載時(shí)拖車(chē)質(zhì)量 。路面成正弦波形，可表示成，其中。求：滿(mǎn)載和空載時(shí)車(chē)輛的振幅比。解：（1）基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率（2）空載時(shí)的阻尼比 阻尼系數(shù) （3） 滿(mǎn)載和空載時(shí)的頻率比滿(mǎn)載時(shí)系統(tǒng)的固有頻率滿(mǎn)載時(shí)頻率比 空載時(shí)系統(tǒng)的固有頻率空載時(shí)頻率比 （4）滿(mǎn)載和空載時(shí)車(chē)輛的振幅比滿(mǎn)載時(shí) 空載時(shí) 三、 隔振機(jī)器超過(guò)允許范圍的振動(dòng)影響著本身的正常運(yùn)行及壽命，而且還造成環(huán)境污染，影響周?chē)O(shè)備的正常工作和人體健康，有效地隔振是相當(dāng)重要的問(wèn)題。隔振就是在振源和振體之間設(shè)置隔振系統(tǒng)或隔振裝置，以減少或隔離振動(dòng)的傳遞。隔振分為兩類(lèi)：主動(dòng)隔振 - 隔離機(jī)械設(shè)備通過(guò)支座傳遞至地基的振動(dòng)，以減少動(dòng)力的傳遞。被動(dòng)隔振 - 防止

8、地基的振動(dòng)通過(guò)支座傳遞至需保護(hù)的精密設(shè)備或儀器儀表，以減少運(yùn)動(dòng)的傳遞。隔振裝置通常由合適的彈性材料及阻尼材料組成，例如鋼彈簧、橡膠、軟木、氈類(lèi)等。1. 主動(dòng)隔振振源是機(jī)器本身。主動(dòng)隔振的目的是減少傳遞到地基上的力。其隔振效果用力傳遞率（系數(shù)）表示，它定義為隔振后機(jī)器的強(qiáng)迫振動(dòng)為 ， 故機(jī)器通過(guò)彈簧傳遞到地基上的力為 機(jī)器通過(guò)阻尼器傳遞到地基上的力為 其合力為式中 （3-3）所以力傳遞率為 （3-29）2. 被動(dòng)隔振被動(dòng)隔振振源來(lái)自地基運(yùn)動(dòng)。被動(dòng)隔振的目的是減小傳遞到機(jī)器的運(yùn)動(dòng)，其隔振效果用位移傳遞率（系數(shù)）來(lái)表示，它定義為顯然有 （3-28）比較主動(dòng)隔振式（3-29）和被動(dòng)隔振式（3-28）可知，主動(dòng)隔振式和被動(dòng)隔振的原理是相似的。故此，力傳遞率（系數(shù)）和位移傳遞率（系數(shù)）統(tǒng)稱(chēng)為傳遞率（系數(shù)），用符號(hào)表示。所以有傳遞率有如下特點(diǎn)：（1）不論阻尼大小，只有當(dāng)頻率比（即）時(shí)，才有傳遞率，即隔振才起作用。（2）當(dāng)頻率比后，隨著的增加，傳遞率逐漸減小； 當(dāng)頻率比之后，傳遞率的減小趨于平緩。故隔振效果提高是有限度的。通常頻率比取值范圍在2.55內(nèi)。（3）當(dāng)頻率比后，增加阻尼反而使隔振效果變壞，即例題