1、第五章 彎曲應力內容提要一、梁的正應力、純彎曲和橫力彎曲純彎曲：梁橫截面上的剪力為零，彎矩為常量，這種彎曲稱為純彎曲。 橫力彎曲：梁橫截面上同時有剪力和彎矩，且彎矩為橫截面位置x的函數，這種彎曲稱為橫力彎曲。、純彎曲梁正應力的分析方法： 1. 觀察表面變形情況，作出平面假設，由此導出變形的幾何方程；2. 在線彈性范圍內，利用胡克定律，得到正應力的分布規律；3. 由靜力學關系得出正應力公式。、中性層和中性軸 中性層：梁變形時，其中間有一層縱向線段的長度不變，這一層稱為中性層。 中性軸：中性層和橫截面的交線稱為中性軸，梁發生彎曲變形時橫截面就是繞中性軸轉動的，在線彈性范圍內，中性軸通過橫截面的形心

2、。中性層的曲率，平面彎曲時中性層的曲率為 (5-1)式中：為變形后中性層的曲率半徑，為彎矩，為梁的彎曲剛度。(5-1)式表示梁彎曲變形的程度。、梁的正應力公式 1. 橫截面上任一點的正應力為 (5-2)正應力的大小與該點到中性軸z的距離y成正比，試中M和y均取其絕對值，可根據梁的變形情況判斷是拉應力或壓應力。 2. 橫截面上的最大正應力，為 (5-3) (5-4)為彎曲截面系數，對于矩形、圓形和彎環截面等，的公式應熟記。 3. 彎曲正應力公式的適用范圍： 1)在線彈性范圍內，在小變形條件下的平面彎曲彎。 2)純彎曲時，平面假設成立，公式為精確公式。橫力彎曲時，平面假設不成立，公式為近似公式，當

3、梁的跨高比時，誤差。、梁的正應力強度條件 拉、壓強度相等的等截面梁 (5-5)式中，為料的許用正應力。當梁內，且材料的時，強度條件應為，、提高梁正應力強度的措施1)設法降低最大彎矩值，而提高橫截面的彎曲截面系數?？墒沽旱淖畲笳龖档?，從而提高梁的承載能力。2)對于的梁，應使橫截面的中性軸偏于受拉一側，最好使，使和同時達到其許用應力。3)采用等強度梁或變截面梁，使每個橫截面上的最大正應力同時達到許用應力或接近許用應力。二、梁的切應力 梁的切應力公式的分析方法是，首先對切應力在橫截面上的分布規律作出部分假設，再根據微段的平衡條件導出切應力公式。橫截面形狀態不同，對切應力在橫截面分布規律的假設不同

4、，必須按不同橫截面形狀分別導出其切應力公式。、矩形截面梁 假設切應力的方向平行于剪力，其大小沿寬度b均勻分布(圖b)，由圖a中帶陰影線部分微段的平衡條件，得 (5-6)式中，為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，為橫截面上距中性軸為y的橫向線以下(或以上)的部分面積對中性軸z的靜面矩，其值為，可見切應力沿橫截面高度h按拋物線規律變化，處，(中性軸處)時，其值為 (5-7)、工字形截面梁1. 腹板上的切應力切應力的分布假設同矩形截面梁，由微段(圖5-2b)的平衡條件，得 (5-8)式中，為橫截面上的剪力，d為腹板的寬度，為整個工字形截面對中性軸的慣性矩，為距中性軸z為y的橫向線以下(或以上)的部分

5、橫截面面對對中性軸z的靜面矩，可見剪應力沿腹板高按拋物規律分布(圖5-2，d)，在腹板和翼緣交界處，在中性軸處，其值為 (5-9)式中，為中性軸以下(或以上)的半個橫截面對中性軸z的靜面矩，計算時，為下(或上)翼緣的面積對中性軸z的靜面矩。型鋼時為型鋼表中的。腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受鉛垂剪力的約95%97%。 2. 翼緣上的切應力翼緣上的水平切應力沿其厚度均勻分布，由圖c所示微段的平衡條件得 (5-10)式中，為翼緣的厚度，和的意義和(5-8)式相同，為距翼緣端部為的部分翼緣面積對中性軸z的靜面矩，可見沿翼緣寬度按線性規律變化(圖5-2，d)。 3. 切應力流 根據剪力的指向確定腹

6、板上切應力的指向，按順流方向確定翼緣上的切應力方向，例如：設的方向向下，上翼緣上的切應力猶如水流一樣由其兩端的兩股水流流向腹板，經由腹板，再分成兩股流入下翼緣兩端。根據切應力流的概念可以判斷開口薄壁桿的切應力方向。、由狹長矩形組合的組合截面梁的切應力對于圖5-3所示的幾種形狀的薄壁截面梁，其腹板和頂板及底板上的切應力公式仍為(5-8)和(5-10)式，切應力的分布規律及切應力流如圖所示。、圓截面梁及薄壁圓環截面梁圖5-4a所示圓截面梁，其最大切應力在中性軸處，其方向與剪力平行，其值為 (5-11)式中，。圖5-4，b所示薄壁圓環截面梁，其最大在中性軸處，其方向與剪力平行，其值為 (5-12)式

7、中，。、切應力強度條件對于等直梁，橫截面的最大切應力發生在最大剪力所在的橫截面上，一般位于該該截面的中性軸處，中性軸處的正應力為零，即所在的點為純剪切應力狀態，剪切強度條件為 (5-13)式中，為中性軸一側的橫截面對中性軸的靜面積；b為橫截面在中性軸處的寬度，為橫截面對中性軸電慣性矩。 梁應同時滿足正應力強度條件和切應力強度條件，通常梁的強度由正應力強度條件起控制，當梁的跨度較小，荷載離支座較近時，切應力強度條件也可能為梁強度的控制條件。三、非對稱截面梁的平面彎曲，開口薄壁截面的彎曲中心、非對稱截面梁平面彎曲的條件梁的橫截面沒有縱向對稱軸時，只要荷載作用在梁的形心主慣性平面xy內(橫向力沿形心

8、主軸)，或荷載作用面和梁的形心主慣性平面平行(橫向力平行于形心主軸)，荷載和梁的撓曲線位于同一平面內(圖5-5a)或荷載的作用面和撓曲面平行(圖5-5b)。梁產生平面彎曲。當荷載的作用面和梁的形心主慣性平面不平行時，梁產生斜彎曲(圖5-5c)。、開口薄壁截面的彎曲中心A1. 彎曲中心：橫力彎曲時，橫截面上由切應力所組成的合力(剪力)的作用點，稱為彎曲中心，簡稱為彎心，用A表示。當橫向力通過彎心時梁只產生彎曲變形，不產生扭轉變形。若橫向力不通過彎心，梁在發生彎曲變形的同時還要產生扭轉變形。2. 幾種常見開口薄壁截面彎曲中心的位置圖5-6a,b中，彎心A和形心C重合；圖5-6c中，彎心A位于對稱軸

9、z上；圖5-6d,e中，彎心A位于兩狹長矩形中心線的交點處。3. 彎曲中心僅與截面的形狀和尺寸有關，是截面的幾何性質，與橫向力的大小及材料的性能無關。例5-1 一鑄鐵梁如圖a所示，已知材料拉伸時的強度極限為，壓縮時的強度極限為。試求梁的安全因數。解：梁的彎矩圖如圖b所示。以橫截面的下底邊為參考軸，形心C的y坐標為橫截面對形軸z的慣性矩為B、C截面上正應力的分布規律如圖 c所示，最大拉應力發生在B的上邊緣或C截面的下邊緣，由于，所以最大拉應發生B截面的上邊緣。由 得 式中，為拉應力達到強度極限時的安全因數。最大壓應力顯然發生在C截面的上邊緣，由 得 式中，為壓應力達到強度極限時的安全因數。 由于

10、>，可見該題的強度由拉應力強度條件控制，梁的安全因數為例5-2 橫截面如圖所示的鑄鐵簡支梁，材料的許用拉應力為st=30MPa，許用壓應力sc=90MPa，試確定截面尺寸d值。解：設形心C距截面下底邊的距離為于是截面對中性軸z的慣性矩為C截面的彎矩為由 得 由 得 由于，所以取 。討論：由以上計算結果可見該題的強度是由拉應力強度條件控制的，即拉應力先達到危險狀態，也可以用以下方法判斷拉應力先達到危險狀態。，可知，選達到危險狀態,只需按拉應力強度條件確定即可。例5-3 一平頂涼臺如圖a所示，其長度，頂面荷載集度，由間距的木次梁AB支持。木梁的許用彎曲正應力，木次梁為b×h的矩形截

11、面，且。試求：(1)在木次梁用料最經濟的情況下，確定主梁位置x值；(2)選擇木次梁的尺寸。解：1. 次梁的計算簡圖如圖b所示，四根次梁中以中間兩根所受的荷載最大，以此為強度計算的依據，中間次梁的荷載集度為2. 求次梁用料最經濟時，主梁位置x用疊加法作出次梁的彎矩圖如c所示，當時，次梁用料最經濟。由 得 3. 選擇b和h當時由 得 討論：上面分析次梁用料最經濟時，利用了，為梁的最大彎矩的近似值，得到主梁位置也是近似的，實際上最大正彎矩應位于剪力等于零的橫截面處，若用實際的最大彎矩等于，得到的主梁位置，可見二者誤差甚小，但用第二種方法計算時，計算工作量較大。例5-4 起重機大梁由兩根25a工字組成

12、如圖a所示，起重機自重，起重機起吊的重量為。梁材料的許用應力，單根25a號工字鋼的，設全部荷載平均分配在兩根梁。試校核梁的正應和切應力強度。解：1. 求起重機的支反力 起重機的受力圖如圖b所示 由 得 由 得 2. 校核梁的正應力梁的受力圖如圖c所示，由于荷載是移動的，必須確定最不利位置，梁在集中力和作用下，其最大彎矩必在C或D截面處，設C輪距支座A的距離為x，梁的支反力為 (kN) ， (kN) (1)C截面的彎矩為由 ，得 即 (2) D截面的彎矩為由 ，得 即 (3)由于，所以最不利位置為，梁的彎矩圖如圖d所示。稍大于，但其誤差<5%，所以梁滿足正應力強度條件。3. 校核切應力 當

13、兩個集中力移動至使緊靠B支座時，為剪力的最不利位置，即時由(1)和(2)式，得，梁的剪力圖如圖e所示。梁滿足切應力強度條件。討論：梁在兩個移動的集中力作用下，最大彎矩部是發生集中力作用點處，最大剪力總是發生在集中力位于支座附近處的情形。例5-5 圖所示吊車梁由36a號工字鋼在其中間區段焊上兩塊的矩形鋼板制成。電葫蘆重，起吊的重物的重量為，材料的許用應力為，。1. 校核梁的正應力強度；2. 求加強板的長度；3. 校核梁的切應力強度。解：由于梁上受移動荷載作用，必須確定荷載的最不利位置，在進行正應力強度校核時，集中力應位于跨度的中間截面處；求加強板長度時，集中力應位于C(或D)截面處；進行切應力強

14、度校核時集中力應在緊靠支座處。1. 校核正應力梁上受到的移動的集中力為設F力位梁的跨度中央截面處，該截面的彎矩為36a號工字鋼的，考慮加強板時整個截面的慣性矩為跨中截面的最大正應力為2. 求加強板長度 設集中力F位于C(或D)截面處，由 ，得 ；36a號工字鋼的，梁在C截面處的許用彎矩為令，即解得 加強板的長度為3. 校核梁的切應力當集中力F緊靠支座時，最大剪力為36a號工字鋼的，梁的最大切應力為梁的正應力和切應力強度條件均滿足，該梁是安全的。例5-6 T形截面外伸梁,受移動荷載F作用,支座A為滾軸支承(活動鉸支座)。支座B為用銷釘連接兩塊支承板(固定鉸支座)，如圖a所示。已知：，T形截面對形

15、心軸z的慣性矩，銷釘的直徑，許用切應力。1. 求梁的最大拉應力和最大壓應力；2. 求梁的最大切應力；3. 校核銷釘的剪切強度。解：1. 求和。F力位于C截面和D截面時， 梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖b、c、d、e所示，位于C截面的下邊緣，由于，所以發生在A截面的下邊緣，2. 求梁的最大切應力。由剪力圖可見，當F力位于D時，最大切應力為，3. 校核銷釘的切應力強度 當F力位于B支座處時，銷釘受力最大，其剪切為。銷釘滿足切應力強度條件。例5-7 箱形截面懸臂梁由四塊木板膠合而成如圖所示。已知橫截面對中性的慣性矩；材料為紅松，其許用彎曲正應力，許用順紋切應力；膠合縫的許用切應力。試校核梁的強度，并畫出

16、危險截面上切應力的分布規律以及切應力流的指向。解：1. 校核梁的正應力強度2. 校核順紋切應力強度。3. 校核膠合縫的切應力強度。上水平板和兩塊豎直板有兩條膠合縫，求其切應力的公式中，為上水平板對中性軸z的靜面矩，因為有兩膠合縫，其寬d為。 下水平板和兩塊豎直板也有兩條膠合縫，下水平板的dx微段的分離體如圖b所示，可見求膠合縫的切應的公式中，為下水平板對中性軸z的靜面矩，因為有兩條膠合縫，其寬度為。 可見，梁滿足正應力、順紋切應力及膠合縫處的切應力強度。4. 橫截面上切應力的分布規律及切應力流的方向如圖c所示，上、下水平板中點處的水平切應力為零，可從分離體的平衡條件或水平切應力是反對稱分布的，

17、可以得到該結論。例5-8 矩形截面懸臂梁，受均布荷載q作用(圖a)，沿梁的中性層截出其下半部分(圖b)，試求：1. 圖b 中頂面上的切應力及其由組合的水平力；2. 研究下半部分梁(圖b)的平衡條件，并導出梁的擠壓應力的公式。解：1. 求圖b中頂面上的及梁的x橫截面上的剪力及切應力分別為 (1) (2)由切應力互等定理，得圖b頂面上的切應力為 (3)切應力形成的合力為 (4)2. 研究下半部分梁(圖b)的平衡條件，并導出的公式。 B截面處的最大壓應力為由B截面處的壓應力組合的合力為 (5)的作用線距中性層的距離為 。由(4)式和(5)式可見，和滿足平衡方程 B截面上的剪力為 下半部分梁(圖b)，

18、僅在、及作用下不能滿足平衡方程 及，要滿足該兩平衡方程，應在圖b的頂面上有作用。因為dx微段(圖c)上有荷載q作用，其左、右兩側的剪力不相同，圖c中帶陰影線部分的立體圖如圖d所示，其左、右兩側面上的剪力分別為 (6) (7)設圖d的頂面上有作用，由， 即 梁的擠壓應力為 (8)當時，；時，；當時，即中性層處的擠壓應力為。中性層上組成的合力為 (9) 下半部分梁上各力如圖e所示，其平衡方程為可見，圖b所示下半部分梁滿足所有平衡方程。*例5-9 矩形截面懸臂梁，其頂、底兩面受大小相等、指向相反的切向均布荷載作用。試導出橫截面上切應力的計算公式，并畫出的指向和沿高度的變化規律。解：用相距dx的兩個橫

19、截面及距中性層為y的縱截面從梁中截取一微段如圖b所示，圖中，式中， ，由 得 當時， 得，時，；時，。切應力指向和沿高度的變化規律如圖c所示。*例5-10 開口薄壁圓弧形截面如圖a所示，已知截面上的剪力鉛垂向下。試求1.截面上的切應力及其方向；2.彎曲中心A的位置。解：1. 截面上的切應力取坐標Oyz 如圖b所示，切應力的方向與截面的中線相切。圖中僅畫出截面上的方向。2. 彎曲中心位置。由 所以 例5-11 試判斷圖示各截面彎曲中心的大致位置。若各截面上的剪力指向向下，試畫出各截面切應力流的方向。解：彎曲中心為截面上的剪應力所構成的合力作用點，各截面的彎曲中心A的位置和切應力流的方向如圖b所示

20、。圖b中y、z為形心主軸。例5-12 兩根20a號工字鋼用螺栓連在一起組成組合梁如圖a所示。螺栓的間距，直徑，。若梁橫截面上的剪力。試校核螺栓的剪切強度(不計工字鋼之間的摩擦力)。解：兩根工字鋼作為整體彎曲時，由于相鄰兩橫截面上的彎矩不相等，使，上、下兩工字鋼有沿接觸面相對錯動的趨勢(圖b)，使螺栓受到剪力(圖c)，由于梁的各橫截面上剪力相等，螺栓間距及直徑分別相同，故每個螺栓受的剪力相等。式中，為單根工字鋼的面積，為對z軸的靜矩。，研究圖c所示各力的平衡條件，由，即得 螺栓的切應力為20a工字鋼的，。故螺栓是滿足切應力強度條件的。*例5-13 矩形截面的鋼、木組合梁，其寬度b=10mm，木材

21、部分地高度h=200mm，鋼板的厚度d=5mm，木材與鋼板之間不能滑動。已知Me=8kN.m，木材的彈性模量E1=10GPa，鋼材的彈性模量E2=210GPa。試求木材與鋼板中得最大彎曲正應力。解：由于木材和鋼板之間不能相對滑動，所以梁的橫截面可以視為整體。試驗表明，平面假設依然成立，設y為對稱軸，z為中性軸(位置待定)如圖(b)所示，縱向線應變沿著橫截面高度呈線性規律變化如圖(c)所示，任一點處地線應變為式中，r為中性層得曲率半徑。由胡克定律得材料1、2兩部分的正應力分別為， (1)正應力沿橫截面高度變化規律如圖(d)所示。靜力學條件為 (2) (3)將(1)式帶入(2)式，可得 (4)式中，Sz,1、Sz,2分別表示材料1、2兩部分面積對中性軸z的靜面積。由(4)式確定中性軸位置。將(1)式帶入(3)式，可得 (5)式中，Iz,1、Iz,2分別表示