1、語音的小波分析2v引言引言把復雜函數分解成一系列簡單函數的表示是調和把復雜函數分解成一系列簡單函數的表示是調和分析的中心課題。分析的中心課題。傅里葉分析是最早的調和分析工具，它是將函數傅里葉分析是最早的調和分析工具，它是將函數在正交三角函數系下展開把復雜函數分解為一系在正交三角函數系下展開把復雜函數分解為一系列基函數的線性疊加形式。列基函數的線性疊加形式。短時傅里葉變換是一種單一分辨率的信號分析方短時傅里葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，其基本思想是假定非平穩信號在分析窗口法，其基本思想是假定非平穩信號在分析窗口g(t)的一個短時間內是平穩的，移動窗函數，使得的一個短時間內是平穩的，移動窗

2、函數，使得f(t)g(t-b)在不同有限時間也平穩，從而算出非平在不同有限時間也平穩，從而算出非平穩信號在不同時刻的功率譜。穩信號在不同時刻的功率譜。小波變換是采用一種面積不變但形狀不斷變化的小波變換是采用一種面積不變但形狀不斷變化的分析窗口來對非平穩信號進行變換。分析窗口來對非平穩信號進行變換。3引言引言傅里葉分析實現的是一種全局變換，要么完全時傅里葉分析實現的是一種全局變換，要么完全時域要么完全頻域，無法表述信號的時頻局部性質，域要么完全頻域，無法表述信號的時頻局部性質，而這種性質是非平穩信號最根本最關鍵的性質。而這種性質是非平穩信號最根本最關鍵的性質。短時傅里葉變換不能根據信號高低頻率的

3、變化，短時傅里葉變換不能根據信號高低頻率的變化，自適應調整分析窗口的寬度因而在時頻局部化的自適應調整分析窗口的寬度因而在時頻局部化的精細方面和靈活性方面不好。精細方面和靈活性方面不好。小波分析是在傅里葉分析基礎上發展起來的，具小波分析是在傅里葉分析基礎上發展起來的，具有多分辨分析的特點，在時頻域都具有表征信號有多分辨分析的特點，在時頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種時間窗和頻率窗都可以局部特征的能力，是一種時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。改變的時頻局部化分析方法。42 傅里葉變換傅里葉變換v傳統傅里葉變換公式如下：傳統傅里葉變換公式如下：dttjtfF)exp(*)()(d

4、)exp(*)(21)(tjFtf53 3 短時傅里葉變換短時傅里葉變換dxjxbxgxfbWfg)exp()()()(，dbdjxbhbWfxfg )exp()()(，64 小波變換小波變換v1910年年Harr提出的第一個小波規范正交基提出的第一個小波規范正交基;v1984年法國地質學家年法國地質學家Morlet和理論物理學家和理論物理學家Grossman提提出了連續小波變換的概念、出了連續小波變換的概念、1986年法國數學家年法國數學家Meyer創造創造性地構造出了具有一定衰減性的光滑化函數性地構造出了具有一定衰減性的光滑化函數正交小波函正交小波函數數,標志著小波熱潮的開始。標志著小波熱

5、潮的開始。v1987年年,法國人法國人Mallat提出了多分辨分析的概念提出了多分辨分析的概念,為統一地構為統一地構造小波函數奠定了基礎造小波函數奠定了基礎,同時給出了以他的名字命名的小波同時給出了以他的名字命名的小波分解與重構算法。分解與重構算法。v1988年年,Daubechies構造了具有有限支集的正交小波基構造了具有有限支集的正交小波基,至至此小波分析的系統理論初步得到建立。此小波分析的系統理論初步得到建立。v1990年年,崔錦泰和王建中構造了基于樣條的半正交小波函數崔錦泰和王建中構造了基于樣條的半正交小波函數,使得小波分析的系統理論得到完善使得小波分析的系統理論得到完善小波簡史小波簡

6、史74 小波變換小波變換)(2RL)(2RL)(2RL小波定義小波定義84 小波變換小波變換小波變換定義小波變換定義 稱稱 為小波系數為小波系數對小波變換的研究，實質上是對小波系數的研究。對小波變換的研究，實質上是對小波系數的研究。若滿足若滿足 存在逆變換存在逆變換)2,21(,jjfkjkWc2,)(),(1)(adadbtbaWCtfbafdC2)(94 小波變換小波變換例：小波分解與重構例：小波分解與重構104 4 小波變換小波變換11連續小波運算的基本步驟連續小波運算的基本步驟1.選擇一個小波函數，將其與要分析的信號起點選擇一個小波函數，將其與要分析的信號起點對齊；對齊；2.計算在這一

7、時刻要分析的信號與小波函數的逼計算在這一時刻要分析的信號與小波函數的逼近程度，即計算小波變換系數近程度，即計算小波變換系數C。C越大，說明越大，說明此刻信號與所選小波函數波形越相近此刻信號與所選小波函數波形越相近;（如圖（如圖1）3.將小波函數沿著時間軸向右移動一個單位時間，將小波函數沿著時間軸向右移動一個單位時間，然后重復然后重復1、2步驟，求出此時的小波變換系數步驟，求出此時的小波變換系數C，直到覆蓋完信號的時間長度直到覆蓋完信號的時間長度;（如圖（如圖2）4. 將所選擇的小波函數尺度伸縮一個單位，然將所選擇的小波函數尺度伸縮一個單位，然后重復后重復1、2、3步驟（如圖步驟（如圖3）5.對

8、所有的小波函數尺度重復對所有的小波函數尺度重復1、2、3、4步驟。步驟。最后，將得到使用不同尺度評估信號在不同時最后，將得到使用不同尺度評估信號在不同時間段的系數，這些系數就表征了原始信號在這間段的系數，這些系數就表征了原始信號在這些小波函數的投影大小。些小波函數的投影大小。12離散小波變換（離散小波變換（ Dispersed Wavelet Transform DWT)4 小波變換小波變換m0aa v連續小波變換的伸縮因子和平移因子都是連續變化的實數，連續小波變換的伸縮因子和平移因子都是連續變化的實數，在應用中需要計算連續積分，在處理數學信號時很不方便，在應用中需要計算連續積分，在處理數學信

9、號時很不方便，主要用于理論分析與論證。因此在實際中用離散小波變換主要用于理論分析與論證。因此在實際中用離散小波變換（DWT）。）。DWT可以通過離散化連續變換中的伸縮因子可以通過離散化連續變換中的伸縮因子a和平移因子和平移因子b得到。得到。 通常取：通常取： m0nbab Znm， 0m02/-m0nmnb-taat，帶入基小波函數可以得到帶入基小波函數可以得到13 kn,jm,k , jn ,mkjnmdt) t (t，dtnb-ta) t (fafbaf0m02/-m0ba，W這時小波函數就是離散小波，相應的小波變換為這時小波函數就是離散小波，相應的小波變換為 n- t22tm2/-mnm

10、，Znm，特殊的，取特殊的，取 可得到二進小波可得到二進小波 1, 2a00b實際應用中，為了使小波變換的計算更加有效，通常構實際應用中，為了使小波變換的計算更加有效，通常構造的小波函數都具有正交性。即：造的小波函數都具有正交性。即：4 小波變換小波變換144 小波變換小波變換多分辨分析多分辨分析v單調性單調性v逼近性逼近性v伸縮性伸縮性v平移不變性平移不變性vRiesz基存在性：存在基存在性：存在 ，使得，使得構成構成 的的Riesz基基空間空間 的多分辨分析是指構造該空間內一個子空間列的多分辨分析是指構造該空間內一個子空間列 使其具有以下性質使其具有以下性質 RL2 ZjjV21012VV

11、VVV 0,2jfjfVRLVclose 12jjVtVt ZkVktVtjjj,21 0Vt Zkjkt2jV154 小波變換小波變換 ZjjV RLt2Zkktjjkj,222/,jV t令令 是是 空間的一個多辨分析，則存在唯一的函數空間的一個多辨分析，則存在唯一的函數 使得使得必定是必定是 內的一個標準正交基，其中內的一個標準正交基，其中 稱為尺度函數。稱為尺度函數。若若 生成一個多辨分析，那么生成一個多辨分析，那么 也屬于也屬于 ，并，并且因為且因為 是是 的一個的一個Riesz基，所以存在唯基，所以存在唯一的一的 序列序列 ，它描述尺度函數，它描述尺度函數 的兩尺度關系：的兩尺度關

12、系：由前面性質可知由前面性質可知 ，所以，所以反復應用上式得反復應用上式得 RL2 t0VZkk:, 12l)(kh kktkht22ZjVVjj,111jjjWVV1V1V jZjWRL2164 小波變換小波變換同同 生成生成 一樣，存在一個一樣，存在一個 生成閉子空間生成閉子空間 且有雙且有雙尺度方程：尺度方程： 上式稱為小波函數雙尺度方程。上式稱為小波函數雙尺度方程。由尺度函數和小波函數的構造歸結為系數由尺度函數和小波函數的構造歸結為系數的設計。的設計。而而 和和 之間關系如下：之間關系如下： t0V t0W kktkgt22)(,)(kgkh Zkkhkgk,11*1)(kh)(g k

13、174 小波變換小波變換Mallat算法算法 Mallat在著名的用于圖像分解的金字塔算法的啟發下，結合多分在著名的用于圖像分解的金字塔算法的啟發下，結合多分辨分析，提出了信號的塔式多分辨分解與綜合算法，常簡稱為辨分析，提出了信號的塔式多分辨分解與綜合算法，常簡稱為Mallat算法。算法。將信號分別投影在一系列將信號分別投影在一系列 和和 子空間中。子空間中。 構成低通區域構成低通區域 構成帶通區域。構成帶通區域。根據多分辨率分析理論則有：根據多分辨率分析理論則有：式中：式中：jWjVjWjVfDfAfAjjj11 kkjkjjtCfA, kkjkjjtDfD,184 小波變換小波變換分解的基

14、本算法是：分解的基本算法是：重構公式為：重構公式為：kkjmjmkh2aa, 1kkjmjmkg2ad, 1mmmjmjkjmkgmkh, 1, 1,d2a2a19周期周期4 小波變換小波變換分解算法：分解算法：重構公式為：重構公式為：205 小波變換實例小波變換實例 謝謝 謝！謝！2122050100150200250300-0.4-0.200.20.40.6hamming windowed voiced speech frametime samplesamplitude050100150200250300-0.4-0.200.20.40.6hamming windowed unvoiced speech frametime samplesamplitude050100150200250300-1.5-1-0.50