1、專題能力訓練21不等式選講(選修45)一、能力突破訓練1.若a>0,b>0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.2.設函數f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.3.已知關于x的不等式m-|x-2|1,其解集為0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均為正實數,且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.4.已知函數f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)證明:當a,bM時,|a+b|<|1+ab|

2、.5.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.二、思維提升訓練6.已知函數f(x)=x,x1,1x,0<x<1,g(x)=af(x)-|x-2|,aR.(1)當a=0時,若g(x)|x-1|+b對任意x(0,+)恒成立,求實數b的取值范圍;(2)當a=1時,求函數y=g(x)的最小值.7.已知函數f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)當a=2時,解不等式f(x)-;(2)若存在實數a,使得不等式f(x)a成立,求實數a的取值范圍.8.已知函數f(x)=-x2+a

3、x+4,g(x) =|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.專題能力訓練21不等式選講(選修45)一、能力突破訓練1.解 (1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且當a=b=2時等號成立.故a3+b32a3b342,且當a=b=2時等號成立.所以a3+b3的最小值為42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于43>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.2.(1)證明 由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.故f(x)2.(2)解 f(

4、3)=3+1a+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<5+212.當0<a3時,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5,得1+52<a3.綜上,a的取值范圍是1+52,5+212.3.解 (1)不等式m-|x-2|1可化為|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集為0,4,3-m=0,m+1=4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292,當且僅當a=b=32時取等號,a2+b2的最小值為9

5、2.(方法二:消元法求二次函數的最值)a+b=3,b=3-a,a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292,a2+b2的最小值為92.4.(1)解 f(x)=-2x,x-12,1,-12<x<12,2x,x12.當x-12時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;當-12<x<12時,f(x)<2;當x12時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(2)證明 由(1)知,當a,bM時,-1<a<1,-1<b<1,

6、從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.5.解 (1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1<x<1,2,x1.故不等式f(x)>1的解集為xx>12.(2)當x(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x(0,1)時|ax-1|<1成立.若a0,則當x(0,1)時|ax-1|1;若a>0,|ax-1|<1的解集為0<x<2a,所以2a1,故0<a2.綜上,a的取值范圍為(0,2.二、

7、思維提升訓練6.解 (1)當a=0時,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)|x-1|+b-b|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,當且僅當1x2時等號成立.故實數b的取值范圍是-1,+).(2)當a=1時,g(x)=1x+x-2,0<x<1,2x-2,1x2,2,x>2.當0<x<1時,g(x)=1x+x-2>2x·1x-2=0;當x1時,g(x)0,當且僅當x=1時等號成立;故當x=1時,函數y=g(x)取得最小值0.7.解 (1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x2,5-2x,2&

8、lt;x<3,-1,x3,f(x)-12等價于x2,1-12或5-2x-12,2<x<3或x3,-1-12.解得114x<3或x3,不等式的解集為xx114.(2)由不等式性質可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在實數x,使得不等式f(x)a成立,則|a-3|a,解得a32.實數a的取值范圍是-,32.8.解 (1)當a=1時,不等式 f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當x<-1時,式化為x2-3x-40,無解;當-1x1時,式化為x2-x-20,從而-1x1;當x>1時,式化為x2+x-40,從而1<x-1+172.所以f(x)g(x)的解集為x