金屬塑性成形工藝及控制金屬軋制理論及工藝【教學(xué)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)：1）應(yīng)了解和掌握軋制基本理論知識(shí)；2）掌握軋制生產(chǎn)的基本知識(shí)；3）熟悉各類軋材的生產(chǎn)工藝過程及相應(yīng)的技術(shù)裝備；4）了解當(dāng)前國內(nèi)外軋制生產(chǎn)的新技術(shù)及新成就。

軋制的概念軋制是靠兩旋轉(zhuǎn)軋輥與軋件之間的摩擦力將軋件拉入輥縫，軋件受到壓縮產(chǎn)生塑性變形的過程，通過軋制使軋件的橫斷面積減小而長度增大，并具有一定的性能。應(yīng)用：利用軋制方法可以生產(chǎn)型材、板材和管材等。優(yōu)點(diǎn)：軋制是金屬發(fā)生連續(xù)塑性變形的過程，易于實(shí)現(xiàn)批量生產(chǎn)，因此生產(chǎn)效率高，是塑性加工中應(yīng)用最廣泛的方法。軋制產(chǎn)品占所有塑性加工產(chǎn)品的90％以上，鋼鐵、有色金屬、某些稀有金屬及其合金均可以采用軋制方法進(jìn)行加工。由此可見，軋制在冶金工業(yè)及國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)中占有十分重要的地位。（成型原理介紹過）軋制技術(shù)發(fā)展概況近年來，軋制技術(shù)發(fā)展迅速，薄板坯連鑄造軋技術(shù)、近終形薄帶鑄軋技術(shù)、高精度板帶、鋼管及型線材軋制技術(shù)、無頭軋制及自由規(guī)程軋制等現(xiàn)代軋制技術(shù)日新月異，尤其是自動(dòng)化控制技術(shù)、智能控制技術(shù)和現(xiàn)代工程控制管理技術(shù)的應(yīng)用，軋制已成為復(fù)雜的系統(tǒng)工程。本章主要介紹軋制過程的基本理論及常用軋材的生產(chǎn)工藝與生產(chǎn)裝備，并對相關(guān)新技術(shù)的應(yīng)用進(jìn)行了介紹。9.1軋制基本理論9.1.1軋制過程基本概念1.變形區(qū)主要參數(shù)軋制時(shí)金屬在軋輥間產(chǎn)生塑性變形的區(qū)域稱為軋制變形區(qū)，即從軋件入輥的垂直平面到軋件出輥的垂直平面所圍成的區(qū)域ABCD（如圖9.1所示），通常稱為幾何變形區(qū)。實(shí)際上，在出、入口端面附近（幾何變形區(qū)之外）局部區(qū)域內(nèi)，軋件也有少許塑性變形存在，這兩個(gè)區(qū)域稱為非接觸變形區(qū)。非接觸變形區(qū)以外的區(qū)域，稱為？外端、剛端、外區(qū)圖9.1幾何變形區(qū)示意圖

外端的概念

外端：是指變形過程中某瞬間不直接承受軋輥?zhàn)饔枚幱谒苄宰冃螀^(qū)以外的部分。外端又稱外區(qū)或剛端。即下圖（a）中，ABCD變形區(qū)（幾何變形區(qū)）以外的區(qū)域。由于不變形的外端與變形區(qū)直接相連接，所以在變形過程中它們之間要發(fā)生相互作用。金屬的變形、應(yīng)力及速度分布都受外端的影響；反之它們又影響外端，這種相互作用還波及到一定區(qū)域。

在變形不均勻的情況下：

1）變形區(qū)可能擴(kuò)展到幾何變形區(qū)之外；

2）而外端也可能伸展到幾何變形區(qū)的內(nèi)部。

理想變形區(qū)與實(shí)際變形區(qū)

1.變形區(qū)主要參數(shù)軋件的原始高度、寬度、長度、橫斷面積分別為H、B、LH、FH，軋件的軋后高度、寬度、長度、橫斷面積分別為h、b、Lh、Fh，則軋件的絕對壓下量為△h=H-h，相對壓下量為ε=△h/H，絕對寬展△B=b-B，相對寬展為為△B/B，延伸系數(shù)λ=Lh/LH=FH/Fh。軋制時(shí)金屬在軋輥間產(chǎn)生塑性變形的區(qū)域稱為軋制變形區(qū)，通常指從軋件入輥的垂直平面到軋件出輥的垂直平面所圍成的區(qū)域ABCD（如圖9.1所示），稱為幾何變形區(qū)。實(shí)際上，在出、入口端面附近，即幾何變形區(qū)之外的局部區(qū)域內(nèi)，軋件也有少許塑性變形存在，這兩個(gè)區(qū)域稱為非接觸變形區(qū)。一般地軋制過程主要以幾何變形區(qū)為研究對象。幾何變形區(qū)的主要參數(shù)有：接觸角α；變形區(qū)長度l；軋件在入口和出口處的厚度（H和h）及寬度（B和b）；變形區(qū)形狀參數(shù)l/和B/，其中：＝(H+h)/2。1)接觸角α軋件與軋輥相接觸的圓弧所對應(yīng)的圓心角稱為接觸角，也叫咬入角。由圖9.1看出，壓下量與軋輥直徑及接觸角之間存在如下的關(guān)系：

在接觸角比較小的情況下（α<10°～15°），由于1－cosα＝2sin2≈，所以有：

2)變形區(qū)長度變形區(qū)長度是指接觸弧AB的水平投影長度，也叫咬入弧長度，即圖9.1中的線段AE。變形區(qū)長度的計(jì)算分以下二種情況：(1)不考慮軋輥彈性壓扁時(shí)變形區(qū)長度。從圖9.1中的幾何關(guān)系可以得到：

由于公式(9-3)中根號(hào)里的第二項(xiàng)較第一項(xiàng)小得多，可忽略不計(jì)，則變形區(qū)長度公式可簡化為：

(2)考慮軋輥彈性壓扁時(shí)變形區(qū)長度。在軋制壓力作用下，軋輥會(huì)產(chǎn)生局部的彈性壓縮變形，稱為軋輥的彈性壓扁，其結(jié)果使接觸弧長度增加。軋件在變形區(qū)內(nèi)，也伴隨產(chǎn)生彈性壓縮變形，雖然該變形在軋件出輥后即恢復(fù)，但也增大了接觸弧長度。尤其在熱軋薄板和冷軋板時(shí)，必須考慮軋輥和軋件的彈性壓縮變形對接觸弧長度的影響。軋輥彈性壓扁時(shí)變形區(qū)長度可由西齊柯克公式計(jì)算：式中，E1—軋輥的彈性模數(shù)，對于鋼軋輥E=2.1×105MPa；

γ1—波松系數(shù)，對于鋼軋輥γ=0.3；

—考慮軋輥壓扁時(shí)的平均單位壓力，MPa。實(shí)際利用公式(9-5)計(jì)算l′比較困難，因?yàn)楣街羞€含有未知量。利用斯通圖解法求l′則比較方便，詳細(xì)見9.1.3節(jié)的內(nèi)容。3)變形區(qū)幾何形狀系數(shù)變形區(qū)幾何形狀系數(shù)有l(wèi)/和B/兩個(gè)，其中l(wèi)/反映了對軋制過程縱向的影響，B/反映了對軋制過程橫向的影響。

軋輥和軋件彈性變形對變形區(qū)長度的影響圖B1：最理想的位置B2：軋件有彈性恢復(fù)，軋輥剛性B3：軋件有彈性恢復(fù)，軋輥有壓扁軋制位置：B2

（課下了解內(nèi)容）

對于冷軋板帶材和熱軋薄板，尤其用粗軋輥軋制硬而薄的合金，因單位壓力較大，有時(shí)候接觸弧長可增加30%~50%，這種情況下，軋輥的彈性壓扁更不能忽略。軋輥和軋件的彈性壓縮對變形區(qū)長度的影響，如上圖所示。圖中△2代表軋件局部的彈性壓縮值，△1為軋輥的彈性壓縮值。考慮軋輥和軋件的彈性壓縮值后，為得到所需要的軋件尺寸和壓下量，必須使軋輥多壓下△1

+△2的距離，即通過調(diào)整壓下使軋輥中心由Ｏ′移到Ｏ點(diǎn)的位置。此時(shí)，金屬與軋輥的接觸弧是，其水平投影長度為變形區(qū)長度ι′。調(diào)整后未壓扁或空載時(shí)假想的接觸弧是，為忽略軋輥和軋件彈性變形的接觸弧，其水平投影是變形區(qū)長度ι。

3．變形區(qū)幾何形狀系數(shù)

變形區(qū)形狀系數(shù)和可用下式表示：

式中：B—軋件寬度（不計(jì)寬展）；

—軋件平均厚度。

變形區(qū)形狀系數(shù)對軋制時(shí)軋件的應(yīng)力狀態(tài)有影響。因此，此參數(shù)在研究軋制時(shí)的金屬流動(dòng)、變形及應(yīng)力分布等具有重要意義。

2.實(shí)現(xiàn)軋制過程的條件軋制道次：一個(gè)完整的軋件從入軋輥、到出軋輥，被軋制一次的過程。在一個(gè)軋制道次內(nèi)，軋件的軋制過程可以分為開始咬入、拽入、穩(wěn)定軋制和軋制終了4個(gè)階段，分別如圖9.3（a）、（b）、（c）、（d）所示。穩(wěn)定軋制：其中穩(wěn)定軋制是軋制過程的主要階段，金屬的流動(dòng)、應(yīng)力應(yīng)變狀況及軋制工藝的控制、產(chǎn)品質(zhì)量控制都是基于此過程的。另外，開始咬入階段雖然在瞬間完成，但它是軋制過程能否建立的前提條件，不能咬入軋制過程就無法進(jìn)行。下面就咬入條件和穩(wěn)定軋制條件分別介紹。圖9.3軋制過程示意圖(a)咬入；(b)拽入；(c)穩(wěn)定軋制；(d)軋制終了1)咬入條件依靠軋輥與軋件之間的摩擦力，軋件被拖入軋輥之間的現(xiàn)象稱為咬入。軋制過程能否建立，首先決定于軋件能否被旋轉(zhuǎn)的軋輥咬入。因此，咬入是軋制過程的先決條件。為使軋件進(jìn)入軋輥，軋輥對軋件必須有與軋制方向相同的水平作用力。軋件咬入時(shí)受力分析如圖9.4所示。考慮水平方向的受力平衡可以得到：式中，Q—后推力；

T—摩擦力，T=fP；

P—軋輥對軋件的正壓力。將T=fP代入式（9-1）得：

圖9.4軋件咬入時(shí)的受力圖示

根據(jù)物理概念f=tgβ，β為摩擦角。如無后推力，即Q=0，則有：

tgβ≥tgα

（9-3）

β≥α

（9-4）因此：（1）當(dāng)β>α?xí)r，稱為自然咬入條件。它表示在無張力（或推力）作用的情況下，軋件被軋輥咬入的條件是必須使摩擦角大于咬入角，這是咬入的充分條件；（2）當(dāng)β=α?xí)r，稱為咬入的臨界條件。此時(shí)的咬入角稱為最大咬入角，用αmax表示；最大咬入角αmax取決于軋輥和軋件的材質(zhì)，以及潤滑條件、軋制溫度和軋制速度等。（3）當(dāng)β<α?xí)r，無法實(shí)現(xiàn)自然咬入。表9-1為幾種有色金屬熱軋時(shí)最大咬入角和摩擦因數(shù)。表9-2是鋼鐵材料在冷軋及熱軋時(shí)的最大咬入角和摩擦因數(shù)。金屬軋制溫度/℃最大咬入角/°摩擦因數(shù)鋁銅鎳鋅35090095020020～22272217～190.36～0.400.500.400.30～0.35表9-1有色金屬熱軋時(shí)的最大咬入角與摩擦因數(shù)軋制條件摩擦因數(shù)最大咬入角/°比值△h/R熱軋?jiān)谟锌毯酆秃负鄣能堓佷撆鬈堉菩弯撥堉其摪寮氨怃?.45～0.620.36~0.470.27～0.3624～3220~2515～201/6~1/31/8~1/71/14~1/8冷軋?jiān)谝话愎饷孑侀g軋制鏡面軋輥間軋制鏡面軋輥間軋制，用蓖麻油等潤滑0.09~0.180.05~0.080.03~0.065~103~52~41/130~1/331/350~1/1301/600~1/200表9-2鋼鐵材料軋制時(shí)的最大咬入角與摩擦因數(shù)2)穩(wěn)定軋制條件隨著軋件的咬入，接觸壓力水平分量逐漸減小，輥縫完全被軋件充滿，進(jìn)入穩(wěn)定軋制過程，如圖9.5所示。假設(shè)摩擦力沿接觸弧均勻分布（實(shí)際上摩擦力的分布不是均勻的），摩擦力作用點(diǎn)在接觸弧中點(diǎn)，則有穩(wěn)定軋制所需的摩擦條件：

式（9-11）即為穩(wěn)定軋制的條件。將其和咬入條件相對比，可看出:（1）開始咬入時(shí)所要求的摩擦條件高，即摩擦系數(shù)相對要大一些。（2）而穩(wěn)定軋制條件比自然咬入條件要“寬松”，只要滿足了自然咬入條件，就一定能滿足穩(wěn)定軋制條件。（3）當(dāng)無法實(shí)現(xiàn)自然咬入時(shí)，但若在外力作用下實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)迫咬入，仍有可能進(jìn)行穩(wěn)定軋制。圖9.5穩(wěn)定軋制階段受力圖

3)改善咬入條件的途徑根據(jù)咬入條件β≥α，便可以得出：凡是能夠提高β角的一切因素和降低α角的一切因素都有利于咬入。降低咬入角α的方法有：①軋件前端做成錐形或圓弧形，以減小咬入角，易于實(shí)現(xiàn)自然咬入；②采用大輥徑軋輥，可使咬入角減小，以滿足大壓下量軋制；③必要時(shí)減小道次壓下量，降低其變形率；④強(qiáng)迫咬入，即給軋件施以順軋制方向的水平推力；⑤咬入時(shí)調(diào)大輥縫，即減小壓下量從而減小咬入角。提高摩擦系數(shù)（β角）的方法有：①改變軋件或軋輥的表面狀態(tài)，以提高摩擦角。如在粗軋機(jī)軋輥上刻槽、焊點(diǎn)、滾花、打砂等，可以提高摩擦因數(shù)；（粗軋機(jī)軋制時(shí)咬入角相對較大）清除軋件的爐生氧化鐵皮使摩擦因數(shù)降低；咬人時(shí)不潤滑，或惡化潤滑，穩(wěn)定軋制后再潤滑，也能改善咬入；②合理的調(diào)節(jié)軋制速度。實(shí)踐表明，隨軋制速度的提高，摩擦因數(shù)是降低的，因此可以低速實(shí)現(xiàn)自然咬入，穩(wěn)定軋制建立后，再提高軋輥速度。在實(shí)際生產(chǎn)中改善咬入條件并不僅限于以上幾種方法，而且往往是根據(jù)不同條件幾種方法同時(shí)并用。9.1.2軋制過程中金屬的變形規(guī)律1.軋制過程中的縱向變形1)軋制變形區(qū)金屬質(zhì)點(diǎn)水平運(yùn)動(dòng)速度金屬被軋輥咬入后，產(chǎn)生塑性變形，變形情況可以借用平板壓縮來分析。（成形原理：最小阻力定律）（1）如圖9.5所示，當(dāng)兩行平板壓縮時(shí)，金屬向兩個(gè)方向流動(dòng)，以垂直對稱線為分界線；（鍛壓行業(yè)：分流面）（2）如果壓縮時(shí)兩工具不平行（斜板壓縮），金屬容易向?qū)捒谝粋?cè)流動(dòng)，此時(shí)流動(dòng)分界面偏向另一側(cè)；（3）軋制時(shí)的情況與斜板壓縮相似，金屬容易向入口側(cè)流動(dòng)，其中性面偏向出口側(cè)。中性面所對應(yīng)的圓心角稱為中性角，常以γ表示。圖9.5金屬塑性流動(dòng)示意由于變形區(qū)長度l一般小于軋件的寬度B(尤其板帶軋制情況)，金屬沿軋制方向流動(dòng)所受阻力比金屬向?qū)挾确较蛄鲃?dòng)所受阻力小，所以金屬縱向延伸比寬展要大。圖9.5（c）中的箭頭是金屬塑性流動(dòng)的方向示意，不是軋件內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的“運(yùn)動(dòng)方向”。因?yàn)椋簩?shí)際上，軋制是一個(gè)連續(xù)軋制的動(dòng)態(tài)過程，由于軋輥的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，金屬由入口側(cè)不斷進(jìn)入塑性變形區(qū)，由軋前高度H軋到軋后高度h，并不斷由出口側(cè)流出。（軋件的宏觀運(yùn)動(dòng)是向軋制方向運(yùn)動(dòng)的）由于軋制變形區(qū)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的“金屬塑性流動(dòng)”，軋制變形區(qū)各質(zhì)點(diǎn)的“宏觀運(yùn)動(dòng)”速度，也是有差別的！不是均勻的。這種差別很容易理解：a）在中性面上金屬質(zhì)點(diǎn)與軋輥表面無相對運(yùn)動(dòng)，因此該斷面上金屬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度（用Vr表示）與軋輥圓周速度的水平分速度相等；b）在軋件入口斷面一側(cè)，各斷面上金屬質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度（入口斷面用V

H表示）均落后于對應(yīng)斷面軋輥圓周速度的水平分速度；c）在軋件出入口斷面一側(cè)，各斷面上金屬質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度（出口斷面用V

h表示）均大于對應(yīng)斷面軋輥圓周速度的水平分速度。軋制過程各斷面金屬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度示意如圖9.6所示。

圖9.7軋制變形區(qū)金屬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度示意2)前滑、后滑及其測定軋件的出口速度Vh大于軋輥在該處圓周速度V的現(xiàn)象稱為前滑。通常將軋件出口速度Vh與軋輥圓周速度V的相對差值稱為前滑值；將軋件出口速度Vh與軋輥圓周速度V的比值稱為前滑系數(shù)。即有：式中，Sh—前滑值；

—前滑系數(shù)；

Vh—軋件的出口速度；

V—軋輥的圓周速度。通過實(shí)驗(yàn)方法測定前滑值更準(zhǔn)確，而且容易實(shí)現(xiàn)，通常采用軋輥刻痕的方法。軋件進(jìn)入軋輥的速度小于入口斷面上軋輥水平速度的現(xiàn)象稱為后滑。后滑值是用入口斷面軋件的速度與軋輥在該點(diǎn)圓周速度的水平分速度之比來表示：（9-14）

式中，SH—后滑值；

VH—軋件在入口處的速度；

α—接觸角。按秒流量相等的原則可以得到前后滑和延伸的關(guān)系：（9-15）式中，λ—延伸系數(shù)，λ=Vh/VH=FH/Fh；

FH—軋件入口斷面積（坯料斷面積）；

Fh—軋件出口斷面積（軋件制品斷面積）。3)中性角γ中性角γ是決定變形區(qū)內(nèi)金屬相對軋輥運(yùn)動(dòng)的一個(gè)參量。（a）在中性面和入口斷面間的后滑區(qū)內(nèi)，金屬有相對軋輥表面向后滑動(dòng)的趨勢；（b）相反，在中性面和出口斷面間的前滑區(qū)內(nèi)，金屬有相對軋輥表面向前滑動(dòng)的趨勢。（c）在前、后滑區(qū)內(nèi)軋件表面的摩擦力方向相反，都指向中性面。（這是實(shí)際情況，前面假定的摩擦力方向均為主動(dòng)力）中性面的位置及中性角γ的大小可根據(jù)軋件受力平衡條件確定。若假定單位壓力沿接觸弧均勻分布，且符合庫侖摩擦條件，即可導(dǎo)出帶有前后張力時(shí)的中性角公式：（感興趣的話課下推導(dǎo)）

中性角γ理論公式：（9-18）式中：α—接觸角；

f—摩擦因數(shù)；

Q0—作用在軋件上的后張力；

Q1—作用在軋件上的前張力；

—平均徑向單位壓力；

—軋件的平均寬度；

R—軋輥的半徑。當(dāng)Q0=Q1或者Q0=Q1=0時(shí)，則可由式（9-18）導(dǎo)出前后張力相等或無張力時(shí)的中性角公式：（9-19）當(dāng)α角很小時(shí)，得到中性角γ的簡化公式：（9-20）簡單思考：影響中性角γ的因素？4)前滑值的理論計(jì)算（課下推導(dǎo)、內(nèi)容了解）計(jì)算前滑值時(shí)，必須對軋制過程予以簡化。假設(shè)忽略寬展，根據(jù)秒流量體積不變原則，認(rèn)為變形區(qū)出口斷面金屬的秒流量體積等于中性面處金屬的秒流量體積，則可以推得：

此式即為E．芬克前滑公式。它反映了軋輥半徑R，軋件出口處厚度h及中性角γ等主要工藝參數(shù)對前滑值的影響。軋制薄板時(shí)，咬入角α很小，即γ角很小。此時(shí)，所以

此即為S.E.艾克隆德前滑公式。以上公式都沒有考慮寬展，當(dāng)存在寬展時(shí)，實(shí)際上得到的前滑值將比上述公式所計(jì)算的小，生產(chǎn)中一般前滑值在2~10%之間變化。

5)影響前滑的因素由前滑值的計(jì)算公式可以看出，影響前滑的因素主要有：①中性角愈大，則前滑值愈大；②軋輥直徑愈大，則前滑值愈大；③軋后軋件厚度愈小，則前滑值愈大；④摩擦因數(shù)愈大，則中性角愈大，所以前滑值就愈大；⑤前張力增加，中性角γ增大，所以前滑增加，相反，后張力過大，前滑減小，易產(chǎn)生打滑現(xiàn)象；⑥壓下率越大，前滑也越大，其原因是由于高向壓縮變形增加，縱向和橫向變形都增加，因而前滑值增加。連軋中：在帶材的多機(jī)架連軋生產(chǎn)中，在設(shè)計(jì)軋機(jī)和制定工藝制度時(shí)，要充分考慮前滑的影響，否則軋制過程將無法正常進(jìn)行。比如連軋時(shí)，若前滑值估計(jì)不足，就會(huì)出現(xiàn)堆料和活套現(xiàn)象。2.軋制過程中高向的變形（變形規(guī)律-了解）在軋制過程中，軋件變形區(qū)內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變分布具有不均勻性，其不均勻性與幾何形狀系數(shù)有關(guān)。按幾何形狀系數(shù)的不同，可以把軋件沿?cái)嗝娓呦虻淖冃畏殖杀≤埣秃褴埣煞N情況進(jìn)行討論。1）薄軋件的變形特點(diǎn)薄軋件的幾何形狀系數(shù)>0.5～1.0，熱軋薄板和冷軋一般屬于這種情況。當(dāng)較大時(shí)，軋件斷面高度較小，變形容易深透到內(nèi)部。由于軋件接觸表面（表層）存在摩擦力，前后滑區(qū)接觸摩擦力方向均指向中性面，從而阻礙金屬的塑性流動(dòng)，所以表層金屬的延伸比中部小，變形呈單鼓形。此外，因軋制時(shí)的工具形狀等因素影響，使金屬的縱向流動(dòng)遠(yuǎn)大于橫向流動(dòng)，所以金屬的變形絕大部分趨于延伸，寬展很小。前述，平輥軋制時(shí)金屬質(zhì)點(diǎn)不僅有塑性流動(dòng)，而且還有軋輥旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)所產(chǎn)生的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。所以變形區(qū)內(nèi)沿高向金屬質(zhì)點(diǎn)水平運(yùn)動(dòng)速度是這兩種速度疊加的結(jié)果，如圖9.7所示。其水平運(yùn)動(dòng)速度的不均勻分布主要是受摩擦力的影響。

圖9.7金屬水平運(yùn)動(dòng)速度沿?cái)嗝娓叨鹊姆植迹▎伟?單凸）在后滑區(qū)，軋件表面摩擦力的水平分量與軋件運(yùn)動(dòng)方向相同，并起動(dòng)力作用。其結(jié)果是沿?cái)嗝娓呦蚪饘儋|(zhì)點(diǎn)水平運(yùn)動(dòng)速度由表及里逐漸減小，其分布圖呈中凹狀。在前滑區(qū)，摩擦力為阻力，軋件表面的摩擦力方向與金屬的流動(dòng)和軋件水平運(yùn)動(dòng)方向都相反。同樣表層金屬受摩擦力的阻礙作用比中部大，所以，在前滑區(qū)內(nèi)，表層金屬質(zhì)點(diǎn)水平運(yùn)動(dòng)速度比中部小，速度分布圖沿高向呈中凸?fàn)睢Ｔ谥行悦嫔希埣c軋輥速度相等，軋輥與軋件間無相對滑動(dòng)，此斷面上高向速度分布均勻。在外端與后滑區(qū)之間的非接觸變形區(qū)內(nèi)，金屬質(zhì)點(diǎn)的水平運(yùn)動(dòng)速度隨著向入輥處接近，其不均勻性逐漸增加。在外端與前滑區(qū)之間的非接觸變形區(qū)內(nèi)，其高向上金屬質(zhì)點(diǎn)的水平運(yùn)動(dòng)速度，沿出輥方向不均勻性逐漸減小。(＞0.5～1.0薄軋件)

圖9.7金屬水平法應(yīng)力σx沿?cái)嗝娓叨鹊姆植迹ɡ瓚?yīng)力-壓應(yīng)力-拉應(yīng)力）（成形基本原理：附加應(yīng)力是由于不均勻變形引起，成對出現(xiàn)）由于金屬質(zhì)點(diǎn)的（塑性）流動(dòng)速度沿?cái)嗝娓呦蚍植疾痪鶆颍a(chǎn)生附加應(yīng)力，因此沿?cái)嗝娓呦虻膽?yīng)力分布也呈現(xiàn)不均勻性。水平法向應(yīng)力σx沿?cái)嗝娓呦虻姆植迹鐖D9.7（b）所示，表層金屬受水平附加拉應(yīng)力，而中部金屬受水平附加壓應(yīng)力。這種附加應(yīng)力與接觸摩擦引起的基本應(yīng)力相疊加，就是軋件中實(shí)際水平應(yīng)力σx。當(dāng)拉應(yīng)力σx的值超過金屬的強(qiáng)度極限時(shí)，軋件表面會(huì)產(chǎn)生橫向裂紋。隨不斷增加（如軋制極薄帶或箔材），軋件厚度很小，變形更容易深透到內(nèi)部，整個(gè)變形區(qū)受接觸摩擦力的影響很大，在軋件表層和中部都呈現(xiàn)較強(qiáng)的三向壓應(yīng)力狀態(tài)。沿?cái)嗝娓呦虻膽?yīng)力和變形都趨于均勻，并可認(rèn)為變形前的垂直橫斷面，在變形過程中仍保持為垂直平面，即所謂“平斷面假設(shè)”，此時(shí)寬展可以忽略。

2)厚軋件的變形特點(diǎn)厚軋件的<0.5～1.0，鑄錠或厚鑄坯采用熱軋開坯的前幾道次一般屬于這種情況。厚軋件的變形區(qū)形狀系數(shù)較小，軋制過程受外端的影響較大，壓縮變形不能深入軋件內(nèi)部，即只有表層金屬才發(fā)生變形，軋件中心層幾乎不發(fā)生塑性變形，致使外端深入到幾何變形區(qū)內(nèi)，出現(xiàn)表面變形。由于受外端的影響，金屬流動(dòng)速度出現(xiàn)不均勻分布，如圖9.8所示。此時(shí)軋件表面和軋輥出現(xiàn)粘著現(xiàn)象，其表面金屬質(zhì)點(diǎn)水平速度和軋輥表面的水平速度相同。在后滑區(qū)，斷面上金屬質(zhì)點(diǎn)水平速度由表層向內(nèi)部逐漸減小，速度圖呈凹狀；前滑區(qū)斷面上金屬質(zhì)點(diǎn)水平速度，由表層向內(nèi)部逐漸增大，速度圖呈凸?fàn)睢＼埣胁康慕饘俨蛔冃危\(yùn)動(dòng)速度恒定。外端也不變形，沿高向速度分布均勻。

理想變形區(qū)與實(shí)際變形區(qū)（該圖前面課件已有）

圖9.8＜0.50～1.0時(shí)金屬水平運(yùn)動(dòng)速度沿?cái)嗝娓叨鹊姆植迹p凹-雙凸）軋件軋制時(shí)金屬的不均勻流動(dòng)產(chǎn)生了不均勻變形，不均勻變形的結(jié)果就導(dǎo)致了附加應(yīng)力的產(chǎn)生。在出、入口斷面附近，由于表層區(qū)域的金屬先變形，所以表層區(qū)域受附加壓應(yīng)力，而在中部區(qū)域內(nèi)承受附加拉應(yīng)力。變形區(qū)形狀系數(shù)越小，附加應(yīng)力就越大。在附加拉應(yīng)力作用下，如果鑄錠內(nèi)部存在缺陷，當(dāng)附加拉應(yīng)力超過材料的斷裂強(qiáng)度時(shí)，會(huì)被拉裂產(chǎn)生斷裂，最后形成層裂、張嘴（見下圖）。此外，如果厚鑄錠熱軋時(shí)的道次加工率較小，軋件和軋輥發(fā)生粘著時(shí)，表面金屬不變形，而表層金屬發(fā)生變形。這樣，表層金屬勢必拉著表面金屬一起延伸，所以表面金屬受附拉應(yīng)力作用，表面金屬受附拉壓應(yīng)力，其結(jié)果就有可能在軋件表面出現(xiàn)橫向裂紋。軋件中部基本不變形，所以也承受拉應(yīng)力（圖9.8）。措施：在實(shí)際生產(chǎn)中，主要是通過施加潤滑防止粘輥，或增大加工率減小表層變形，來減小橫裂現(xiàn)象。

軋制時(shí)的層裂、張嘴缺陷：

（課下了解）

軋件中部在水平拉應(yīng)力作用下，如果鑄錠存在鑄造弱面，或低塑性材料及其他雜質(zhì)時(shí)，會(huì)被拉裂產(chǎn)生斷裂或空洞，最后形成層裂。特別是硬鋁合金，當(dāng)潤滑冷卻條件差時(shí)，粘著作用強(qiáng)，往往出現(xiàn)張嘴現(xiàn)象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)纏輥。拉裂、張嘴與纏輥示意圖

圖9.8金屬水平法應(yīng)力σx沿?cái)嗝娓叨鹊姆植迹ɡ瓚?yīng)力-壓應(yīng)力-拉應(yīng)力-壓應(yīng)力-拉應(yīng)力）

＜0.50～1.0時(shí)，厚軋件外端對變形的影響

（課外閱讀、分析）

1）外端對縱向變形有強(qiáng)迫“拉齊”作用

軋制過程，由于軋輥與軋件接觸表面摩擦的影響，使軋件沿高向變形不均勻，由體積不變條件，也會(huì)導(dǎo)致縱向及橫向不均勻變形。高向變形大的部位延伸與寬展也大，高向變形小的部位延伸與寬展也小。

由于金屬是一個(gè)整體，上述不均勻延伸受到外端的限制，結(jié)果延伸大的部位受到縱向附加壓應(yīng)力，而延伸小的部位受到縱向附加拉應(yīng)力作用，促使縱向延伸趨于一致。（例如：凸度型軋輥只有頭部呈舌頭狀）所以外端能使金屬沿縱向變形不均勻性減小。2）外端對橫向變形的影響：不均勻性增加由于外端對縱向變形有強(qiáng)迫“拉齊”作用，使高向變形大的部位（寬展也大）受縱向壓應(yīng)力作用，被迫寬展（寬展量更大）；而高向變形小的部位（寬展也小）受縱向拉應(yīng)力作用，使軋件寬度被拉縮（寬展量更小）。

所以外端能使橫向變形不均勻性增加。例如：熱軋開坯頭幾道次軋件側(cè)面產(chǎn)生雙鼓形，原因是軋件沿高向表面層變形大，中部變形小或不變形（受外端拉應(yīng)力，寬展更小），受外端影響（表層金屬）產(chǎn)生強(qiáng)迫寬展的結(jié)果。

課下思考：熱軋開坯，頭幾道次軋件側(cè)面產(chǎn)生雙鼓形，說明外端對橫向變形的影響？3.軋制過程中的橫向變形（寬展）1)寬展的概念沿軋件寬度方向的變形即橫向尺寸的變化稱為寬展。它分為絕對寬展和相對寬展兩種：絕對寬展量?b＝b-B相對寬展量習(xí)慣上，把絕對寬展直接稱為寬展。研究寬展在生產(chǎn)實(shí)際中有重要意義，例如在孔型設(shè)計(jì)中就必須正確地確定寬展的大小，否則不是孔型充不滿，就是過充滿。2)寬展的分類在不同軋制條件下，坯料在軋制過程中的展寬形式是不同的。根據(jù)金屬沿橫向流動(dòng)的自由程度，寬展可分為自由展寬、限制展寬和強(qiáng)制展寬。

（1）自由寬展。坯料在軋制過程中，金屬流動(dòng)除受接觸表面的摩擦阻力外，不受其它任何的阻礙和限制的寬展，如平輥上軋制矩形斷面軋件，扁平材孔型內(nèi)軋制、立輥軋制等，稱為自由寬展，如圖9.9所示。自由寬展軋制是最簡單的軋制情況。（2）限制展寬。金屬質(zhì)點(diǎn)橫向移動(dòng)時(shí)，除受接觸面上的摩擦阻力外，還受到某種額外限制（例如孔型側(cè)壁的限制），因而破壞了自由流動(dòng)條件而形成的寬展。如在孔型側(cè)壁起作用的凹型孔型中軋制時(shí)就屬于此類寬展，如圖9.10所示。

（3）強(qiáng)迫寬展。坯料在軋制過程中，金屬質(zhì)點(diǎn)由于某種原因被迫向橫向流動(dòng)而形成的寬展，稱為強(qiáng)迫寬展。例如在凸型孔型中軋制及有強(qiáng)烈局部壓縮的軋制條件下軋制就屬于這種情況，如圖9.11所示。在孔型軋制時(shí)，由于孔型側(cè)壁的作用和軋件寬度上壓縮的不均勻性，確定金屬在孔型內(nèi)軋制時(shí)的寬展是十分復(fù)雜的。

3)寬展的影響因素（1）加工率的影響。加工率越大，寬展量就越大。這是因?yàn)殡S加工率增大，金屬受壓縮的體積增加，使寬展增加。另外，壓下量增加使變形區(qū)長度增大，從而縱向阻力增大，金屬質(zhì)點(diǎn)就容易朝橫向流動(dòng)，導(dǎo)致寬展增加。（2）軋輥直徑的影響。寬展隨軋輥直徑增加而增加，因?yàn)檐堓佒睆皆黾樱冃螀^(qū)長度也增加，使縱向阻力增大。（3）軋件寬度的影響。在其它條件相同時(shí)，寬展隨軋件寬度的增大而增加。但當(dāng)軋件寬度增大到一定值后（具體多大-尚不確定），寬度再增加時(shí)寬展不再出現(xiàn)明顯變化。這是因?yàn)檐埣挾群艽髸r(shí)，軋件與軋輥的接觸面積增大，金屬沿橫向流動(dòng)的摩擦阻力增大，大部分金屬將向縱向流動(dòng)。（4）摩擦的影響。寬展隨摩擦系數(shù)增大而增加。根據(jù)金屬流動(dòng)最小阻力定律，金屬流動(dòng)總是延伸區(qū)大于寬展區(qū)（見下頁附圖）。摩擦系數(shù)增加時(shí)，延伸和寬展的摩擦力都增加。但是延伸區(qū)的接觸面積比寬展區(qū)大，所以軋件延伸的阻力比寬展的阻力增加的快，使寬展增加。所有使摩擦系數(shù)增大的因素，都促使寬展量加大。例如：孔型磨老（變粗糙），軋的寬展量就會(huì)增大。因?yàn)殇撥堓伈蝗玷T鐵軋輥耐磨，所以，在軋制一段時(shí)間之后，用鋼軋輥軋制的軋件比用鑄鐵軋輥軋制的軋件寬展量大。（5）軋制速度與溫度對寬展的影響當(dāng)軋制速度超過2m/s時(shí)，軋制速度愈高，摩擦系數(shù)愈低。熱軋時(shí)溫度愈高，摩擦系數(shù)愈低。凡是使摩擦系數(shù)降低的因素都是減小軋件寬展的因素。

了解內(nèi)容關(guān)于軋制速度對摩擦因數(shù)的影響原因，有關(guān)研究認(rèn)為：（1）軋制速度提高，應(yīng)變速率增加，使金屬強(qiáng)度增加，從而降低軋輥與軋件間的粘著力，最終減小了摩擦因數(shù)；（2）軋制速度增加，軋件與軋輥間的接觸時(shí)間縮短，軋件熱量損失減小，溫度更高，變形抗力更小，軋制負(fù)荷和摩擦因數(shù)也下降了。關(guān)于軋件入口溫度對摩擦因數(shù)的影響原因，有關(guān)研究認(rèn)為：在800~1000℃，隨著入口溫度的提高，摩擦因數(shù)逐漸降低，原因是在較高溫度下，軋輥與軋件間的黏著易斷開，降低了黏著強(qiáng)度，從而使摩擦因數(shù)降低。附圖變形區(qū)水平投影分區(qū)圖示（分區(qū)寬展理論）

4)寬展的計(jì)算寬展的影響因素很多，很難用一個(gè)確定的公式來表示。雖然目前有很多計(jì)算寬展的公式，但還沒有一個(gè)公式能適應(yīng)各種情況。在實(shí)際生產(chǎn)中習(xí)慣用一些經(jīng)驗(yàn)公式，或者是根據(jù)具體軋制條件，實(shí)測寬展值。下面介紹幾個(gè)典型的寬展計(jì)算公式。它們僅考慮主要因素對寬展的影響，而其他因素是用一個(gè)系數(shù)加以矯正，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)有少許誤差。(1)西斯公式。（9-21）式中，△h—壓下量；

c—寬展系數(shù)，c＝0.35～0.48。硬金屬取下限，軟金屬取上限。西斯認(rèn)為寬展與壓下量成正比，由于只考慮了絕對壓下量這一主要因素對△B的影響，其他因素在中考慮，因此不太準(zhǔn)確。但西斯公式計(jì)算簡單，應(yīng)用比較方便，在一些要求不太精確的場合常被應(yīng)用。(2)謝別爾公式。

（9-22）式中，R—軋輥半徑；

H—軋件的軋前厚度；

c—金屬性質(zhì)及軋制溫度等的影響系數(shù)，如表9-1。謝別爾公式認(rèn)為寬展與加工率、變形區(qū)長度成正比，即同時(shí)考慮了加工率和變形區(qū)長度兩個(gè)因素，其他因素在c中考慮，因此其計(jì)算結(jié)果比西斯公式準(zhǔn)確。表9-1常用金屬的c值金屬軋制溫度，℃c值銅鋁黃銅鉛鋼鐵300-800400-450580-800<20<11800.360.450.2650.330.34(3)古布金公式。

（9-23）式中，f—摩擦因數(shù)。此公式是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到的，反映了多種因素對寬度的影響，因此比較全面。(4)S.Ekelund埃克倫德公式。

（9-24）式中，

b—軋后寬度；

B—軋前寬度；

m—系數(shù)，；

l—變形區(qū)長度，；

f—外摩擦系數(shù),對鑄鐵輥軋鋼可按f=0.8（1.05-0.0005t）計(jì)算；

t—軋件溫度(℃)。埃克倫德公式考慮了壓下量、咬入弧長、摩擦系數(shù)、軋前寬度和厚度等共五個(gè)因素對寬展的影響，計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。9.1.3軋制壓力計(jì)算1.軋制壓力計(jì)算的一般形式軋制壓力：是指軋制時(shí)軋件給軋輥合力的垂直分量。軋制時(shí)金屬對軋輥有兩個(gè)作用力：一個(gè)是與接觸表面相切的摩擦力T，另一個(gè)是垂直于接觸表面的正壓力N，軋制力就是這兩個(gè)力在垂直于軋制方向上的投影之和，即通過壓力傳感器在壓下螺絲下面測得的總壓力。若忽略沿軋件寬度方向上的摩擦力和單位壓力的變化，軋制力可用下式來表示（如圖9-12所示）：教材更正：圖中θ改為φ。

后滑區(qū)單元：注意摩擦力tx的方向（主動(dòng)力）若忽略沿軋件寬度方向上的摩擦力和單位壓力的變化，軋制力可用下式來表示（如圖9-12所示）：（9-25）式中，—軋件的平均寬度，

px—單位壓力；

tx—接觸面上的單位摩擦力。式（9-25）中右邊的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別為后滑區(qū)和前滑區(qū)摩擦力在垂直方向上的分力，它們遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)的數(shù)值，工程計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)，則軋制力可簡化為：

（9-26）

從上式可看出軋制壓力為微分體上之單位壓力px與該微分體積接觸表面之水平投影面積乘積的總和。

如果用平均值表示，則（9-26）式為：（9-27）式中：P—軋制壓力；

F—接觸面積，即軋件與軋輥的實(shí)際接觸面積的水平投影；

—平均單位壓力，根據(jù)（9-26）及（9-27），下式?jīng)Q定：

注意概念：接觸面積并非軋件與軋輥的實(shí)際接觸面積，而是實(shí)際接觸面積的水平投影，習(xí)慣上稱該面積為接觸面積。

因此，確定軋制壓力，歸根到底在于解決下列兩個(gè)問題：

(1)計(jì)算軋件與軋輥的接觸面積；(即實(shí)際接觸區(qū)域水平投影)(2)計(jì)算平均單位壓力。第一個(gè)問題：接觸面積的確定

軋制時(shí)，軋件與軋輥的接觸面積和軋件變形前后的幾何尺寸、軋制壓力、壓下率、軋輥尺寸與材質(zhì)等有關(guān)。下面分不考慮軋輥彈性壓扁和考慮軋輥彈性壓扁兩種情況，討論如何確定軋制時(shí)的接觸面積。

1)不考慮軋輥彈性壓扁接觸面積F的值，通常可用下式確定：

式中：l—變形區(qū)的長度。可見確定接觸面積主要是計(jì)算變形區(qū)長度l。將式:

代入上式，可求得簡單軋制情況下的接觸面積:

（9-29）

2）考慮軋輥彈性壓扁考慮軋輥彈性壓扁時(shí)接觸面積按下式計(jì)算：

式中：—軋輥彈性壓扁后變形區(qū)的長度；按希契科夫公式或斯通圖解法。

—軋制前后軋件寬度的平均值。在軋制壓力的作用下，軋輥和軋件將產(chǎn)生局部的彈性壓縮變形，導(dǎo)致接觸弧的幾何形狀發(fā)生變化，使接觸弧長增加，而接觸面積增大。軋輥的彈性壓縮變形，一般稱為軋輥的彈性壓扁。

第二個(gè)問題：平均單位壓力的確定平均單位壓力的確定大致有3種方法：①實(shí)測法：即針對某種軋制條件用測壓裝置直接測定軋制壓力，再除以接觸面積即可；多用于工程生產(chǎn)②經(jīng)驗(yàn)公式或圖表法：可查閱相似軋制設(shè)備及軋制工況的有關(guān)實(shí)測曲線圖得到；③工程近似解法：即根據(jù)不同軋制條件單位壓力的公式，按式（9-28）積分。多用于工藝設(shè)計(jì)教材中簡要介紹的幾種工程近似解法，它們均是由2個(gè)著名的單位軋制壓力微分方程：即卡爾曼單位壓力微分方程和奧羅萬單位壓力微分方程推得的。2.單位壓力的微分方程1）卡爾曼單位壓力微分方程卡爾曼微分方程式的假設(shè)條件：①軋件在變形區(qū)內(nèi)沿橫斷面高度上各點(diǎn)的金屬流動(dòng)速度、應(yīng)力及變形分布均勻；②忽略寬展，把軋制問題簡化為平面變形問題；軋件在變形區(qū)內(nèi)各橫斷面沿高度方向無剪應(yīng)力作用，水平法應(yīng)力σx沿?cái)嗝娓叨染鶆蚍植肌Ｆ矫孀冃螤顟B(tài)的應(yīng)力特點(diǎn)思考：σz=?③認(rèn)為軋制時(shí)，軋件高向、縱向和橫向的變形都與主應(yīng)力方向一致，忽略切應(yīng)力的影響；假定坐標(biāo)的3個(gè)面即為主平面④認(rèn)為金屬質(zhì)點(diǎn)在變形過程中，性質(zhì)處處相同；均質(zhì)假定⑤認(rèn)為軋輥和軋件不產(chǎn)生彈性變形；⑥在接觸弧上的摩擦系數(shù)為常數(shù)，即f＝c（c為常數(shù)）。

摩擦條件

2.微分方程的建立

從變形區(qū)的后滑區(qū)內(nèi)截取一個(gè)單元體abcd，并研究此單元體力的平衡條件，如圖所示。取單位寬度的軋件進(jìn)行研究，分析單元體沿水平方向所受和作用力。軋制右部分對單元體的水平作用力為σxhx；軋件左部分對單元體的水平作用力為(σx+dσx)·(hx+dhx)；兩個(gè)軋輥?zhàn)饔迷趩卧w上的徑向壓力和切向摩擦力，其水平投影分別為：2pRdθsinθ、2tRdθcosθ。由于接觸摩擦力在前后滑區(qū)方向相反，取在后滑區(qū)水平方向?yàn)檎盎瑓^(qū)為負(fù)。單元體滿足靜力平衡條件，則∑X=0。展開上式，并略去高階無窮小，t=f·p代入后得：后滑區(qū)內(nèi)單元體的受力圖

式為卡爾曼方程的原形，式中正號(hào)適用于前滑區(qū)；負(fù)號(hào)適用于后滑區(qū)。后來史密斯假設(shè)圖中單元體的上下界面ab、cd為斜平面，則式中的Rdθ=dx/cosθ，結(jié)果公式變?yōu)椋赫归_上式，得：

若對上式求解，首先要確定單位壓力p和應(yīng)力σx之間的函數(shù)關(guān)系。從假設(shè)條件可知，坐標(biāo)主軸與應(yīng)力主軸重合，可用平面變形條件下的近似塑性條件：屈雷斯加σ1-σ3=K（K=2Tmax為平面變形抗力σs，Tmax為材料屈服時(shí)的最大剪切應(yīng)力）。

對于所研究的單元體，由假設(shè)條件，可將垂直法應(yīng)力和水平法應(yīng)力當(dāng)做主應(yīng)力σ1和σ3，因此σ1可表示為（微元體受力分析得）：上式右邊第2項(xiàng)與第1項(xiàng)相比很小，可忽略不計(jì)，由此得：，而由近似塑性條件則：則有：代上式入（3-16）式，得：由圖可知，dhx/dx=2tgθ，上式變?yōu)椋?/p>

式中正號(hào)為后滑區(qū)；負(fù)號(hào)為前滑區(qū)。

上式為卡爾曼微分方程的另一形式，或者寫成一般形式：

從卡爾曼微分方程何以看出：

1）單位壓力p和x坐標(biāo)有關(guān)，這說明單位壓力沿接觸弧是變化的；

2）第2項(xiàng)反映單位壓力大小及分布規(guī)律，與金屬本性、壓下量及軋輥直徑有關(guān)；

3）同時(shí)考慮了單位壓力分布與軋輥和軋件之間的接觸摩擦條件密切相關(guān)。但是求解方程式的通解有很大困難，必須知道式中：單位摩擦力沿接觸弧的變化規(guī)律，即物理?xiàng)l件；接觸弧方程，即幾何條件；以及邊界條件。將上述不同的簡化條件代入方程，可以求出不同的解，即得到不同的單位壓力計(jì)算公式。

2）奧羅萬單位壓力微分方程奧羅萬在推導(dǎo)單位壓力微分方程時(shí)采用了卡爾曼所作的某些假設(shè)，其中主要是假設(shè)軋件在軋制時(shí)無寬展，即僅發(fā)生平面變形。奧羅萬的假設(shè)與卡爾曼的假設(shè)的最主要區(qū)別是：（a）認(rèn)為接觸弧上各點(diǎn)的摩擦系數(shù)不恒定，軋件與軋輥之間是否產(chǎn)生滑移取決于摩擦力的大小。（b）當(dāng)摩擦力小于材料剪切屈服極限時(shí)，產(chǎn)生滑移；摩擦力等于材料剪切屈服極限時(shí)，則不產(chǎn)生滑移而發(fā)生粘著。（c）同時(shí)認(rèn)為熱軋時(shí)出現(xiàn)粘著現(xiàn)象。由于粘著現(xiàn)象的存在，軋件沿高度方向變形不均勻，因而水平應(yīng)力σx沿軋件斷面高度的分布不均勻，且認(rèn)為在垂直橫斷面上有剪應(yīng)力存在。垂直橫斷面上有剪應(yīng)力？

根據(jù)以上條件，奧羅萬基本假設(shè)如下：①忽略軋件寬展，變形為平面變形；②認(rèn)為在變形區(qū)內(nèi)，金屬與軋輥的接觸表面不產(chǎn)生滑移而發(fā)生粘著。可用剪應(yīng)力代替接觸表面的摩擦力。同時(shí)還認(rèn)為剪應(yīng)力在軋件高度方向呈線性分布，即在軋件與軋輥接觸表面τ=K/2，軋件中心層τ=0；③由于水平應(yīng)力沿軋件斷面高度分布不均勻，因此用水平應(yīng)力的合力Q來代替，如圖9.14所示。

更正：教材圖9.14中θ改為φ。根據(jù)上述假設(shè)導(dǎo)出了奧羅萬單位壓力微分方程式：整理后得：（9-35）要想解微分方程（9-35），必須知道水平力Q與單位壓力px間的函數(shù)關(guān)系，奧羅萬借用納達(dá)依的粗糙傾斜平板間壓縮金屬楔的應(yīng)力分布理論，確定出它們的關(guān)系式：（9-36）

西姆斯公式、勃蘭特-福特公式均是以奧羅萬微分方程為基礎(chǔ)推得的。3.幾個(gè)典型的單位壓力計(jì)算公式1)全滑動(dòng)的采利柯夫公式采利柯夫在求解卡爾曼微分方程時(shí)，在卡爾曼假設(shè)的基礎(chǔ)上又做了一些假定：①假定接觸弧上軋件與軋輥近似于完全滑動(dòng)，在此條件下，變形區(qū)內(nèi)接觸弧上的摩擦條件基本服從庫侖干摩擦定律，即，摩擦系數(shù)為常數(shù)；②在接觸角不大的情況下，接觸弧方程近似地采用直線，即以弦代替弧(如圖9.1)；③平面變形抗力K為常數(shù)，并考慮前后張力的影響。在上述假設(shè)條件下對卡爾曼單位壓力微分方程求解，并根據(jù)前、后滑區(qū)內(nèi)的不同邊界條件，推導(dǎo)出單位壓力的計(jì)算公式：在前滑區(qū)：（9-37）在后滑區(qū)：（9-38）式中，δ—簡化系數(shù)，；

ξh—簡化系數(shù)，；

ξH—簡化系數(shù)，；

qH—后張力；

qh—前張力。2)全滑動(dòng)的斯通公式如圖所示，斯通把冷軋薄板軋制過程近似為平行平板間的壓縮，將其假設(shè)的邊界條件代入卡爾曼微分方程，簡化得到下式：斯通理論變形區(qū)圖示

同時(shí)斯通假定接觸表面為全滑動(dòng)，單位摩擦力，并根據(jù)近似塑性條件，則上式變?yōu)椋ㄊ街胸?fù)號(hào)為后滑區(qū)，正號(hào)為前滑區(qū)）：

將上式積分，并根據(jù)前、后滑區(qū)不同的邊界條件可求得斯通單位壓力公式：后滑區(qū)：（9-39）前滑區(qū)：（9-40）式中，m—簡化系數(shù)，；

—軋件平均厚度，；

qH—后張力；

qh—前張力；

l—變形區(qū)長度，一般應(yīng)考慮彈性壓扁時(shí)的變形區(qū)長度。3)全粘著的西姆斯公式西姆斯基于奧羅萬單位壓力微分方程又做了兩點(diǎn)假設(shè)：①把軋制區(qū)看成在粗糙斜錘頭間的鐓粗，利用奧羅萬對水平力Q的研究結(jié)論；②沿整個(gè)接觸弧都有粘著現(xiàn)象，即有t=K/2。并利用拋物線代替接觸弧，最后得到單位壓力公式：在后滑區(qū)（9-41）在前滑區(qū)（9-42）西姆斯公式考慮了軋輥與軋件接觸表面的摩擦條件為粘著狀態(tài)和水平應(yīng)力沿變形區(qū)橫斷面分布不均勻的情況，所以該公式較適用于熱軋情況。4）混合摩擦條件下軋制單位壓力計(jì)算公式斯通公式和西姆斯公式都分別是在一定的特殊條件下即全滑動(dòng)和全粘著的情況下得出的，因此適用范圍具有局限性。實(shí)際軋制時(shí)接觸表面不僅存在滑動(dòng)摩擦，而且還存在粘著摩擦，從而單位壓力沿接觸弧的分布也不同。我國學(xué)者陳家民將軋制視為平面壓縮，并把接觸表面按混合摩擦考慮，即在滑動(dòng)區(qū)按，在粘著區(qū)取，采用平面變形的精確塑性條件導(dǎo)出了單位壓力及平均單位壓力的計(jì)算公式，并將后者繪成如圖9.18的曲線。

（圖9.18見后面內(nèi)容）

課外閱讀知識(shí)軋件高向上的不均勻變形實(shí)驗(yàn)

軋制時(shí)，軋件高向上的不均勻變形，塔爾諾夫斯基等人用坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)法進(jìn)行了研究，得到了充分證明。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2-12所示。圖中的曲線表示軋件表面層和中心層各個(gè)單元體的變形（相對變形），沿變形區(qū)長度上的變化情況。圖中縱坐標(biāo)是以ln(H/hx)表示相對變形，這里：

H——軋前任意斷面上的單元體的高度

hx——軋后任意斷面上的單元體的高度課外閱讀知識(shí)

沿軋件斷面高向上變形分布圖課外閱讀知識(shí)

從上圖看出：

1）軋件拽入輥前和出輥后表面層和中心層都發(fā)生變形。說明外端與幾何變形區(qū)之間確實(shí)存在著非接觸變形區(qū)，其變形和運(yùn)動(dòng)速度都是不均勻分布的。

2）圖中曲線1與曲線2的交點(diǎn)相當(dāng)于中性面的位置。

3）中性面與入口斷面之間，表層金屬比中心層金屬變形要大；

4）相反，在中性面與出口斷面之間，中心層的金屬比表層金屬變形大，說明沿軋件斷面高向變形是不均勻的。

5）曲線1的水平段，其相對變形量保持不變，這說明軋件表面與軋輥無相對滑動(dòng)，即存在粘著區(qū)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究把軋制變形區(qū)繪成下圖，以描述軋制時(shí)變形的情況。

（與塑性原理圓柱墩粗的情況相似）

軋制變形區(qū)（＞0.8）

課外閱讀知識(shí)

4.平均單位壓力的影響因素由塑性成形基本原理知道：平均單位壓力受以下2類因素的影響：①影響軋件變形抗力的因素；②影響軋件應(yīng)力狀態(tài)的因素。所以平均單位壓力可用以下通式表示：＝nσσφ

（9-43）式中，σφ

—金屬的實(shí)際變形抗力（有的資料用表示實(shí)際變形抗力）；

nσ—應(yīng)力狀態(tài)影響系數(shù)。由成形基本原理知道：影響軋件應(yīng)力狀態(tài)的因素有外摩擦力、外端及張力等，因此應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nσ可寫成下式：nσ＝nβ·n′σ·n′′σ·n′′′σ

（9-44）式中，nβ—考慮軋件寬度影響的應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)；

n′σ—外摩擦影響系數(shù)；

n′′σ—考慮外端影響的系數(shù)；n′′′σ—考慮張力影響的系數(shù)。由成形基本原理知道：影響金屬實(shí)際變形抗力的因素主要有有材料本身的特性、溫度、變形程度和變形速度，可寫成下式：σφ＝ntnεnμσs式中，nt—變形溫度對軋件機(jī)械性能的影響系數(shù)；

nε—變形程度對軋件機(jī)械性能的影響系數(shù)；

nμ—變形速度對軋件機(jī)械性能的影響系數(shù)；

σs—在一定溫度、變形程度和變形速度下測得的材料屈服強(qiáng)度。綜上所述，為確定平均單位壓力，必須求得應(yīng)力狀態(tài)影響系數(shù)nσ及軋件的實(shí)際變形抗力σφ。有關(guān)實(shí)際變形抗力σφ的計(jì)算在材料成形基本原理已詳細(xì)介紹過，針對軋制條件下的實(shí)際變形抗力σφ的計(jì)算參考《有色金屬板帶材生產(chǎn)》等書籍。5.應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nσ的確定應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nσ比其他系數(shù)對平均單位壓力的影響更大，因此準(zhǔn)確確定應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nσ非常重要。下面就對式nσ＝nβn′σn′′σn′′′σ中的各應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)逐一分析：

1)考慮軋件寬度影響的應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)nβ的確定修正的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則通過引入修正系數(shù)nβ來考慮中間主應(yīng)力σ2的影響。

·當(dāng)為純切狀態(tài)或平面變形狀態(tài)，σ2的影響最大，此時(shí)nβ=1.155；

·當(dāng)為單向應(yīng)力狀態(tài)或軸對稱應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，

nβ最小，此時(shí)nβ=1。故系數(shù)nβ在1～1.155范圍內(nèi)，其平均值為1.077。因?yàn)镵=nβσφ，而卡爾曼方程、采利柯夫公式是由假設(shè)為平面變形狀態(tài)導(dǎo)出的，所以軋制時(shí)平面變形抗力K=1.155σφ，平均單位壓力可寫成：=n′σn′′σn′′′σK（9-45）一般軋制問題均應(yīng)考慮中間主應(yīng)力的影響，即取nβ=1.1552)張力影響系數(shù)n′′′σ的確定張力影響系數(shù)n′′′σ較難確定，通常用簡化的方法，把張力對平均單位壓力的影響考慮成影響了平面變形抗力K，即認(rèn)為張力降低了K值。在入輥處K值降低K－qH；出輥處K值降低K－qh，所以K值的平均降低值K′為：

(9-46)當(dāng)前后張力相差很大時(shí)可用下列公式予以修正：

3)外端影響系數(shù)n′′σ的確定外端影響系數(shù)n′′σ的確定比較困難，因?yàn)橥舛藢挝粔毫Φ挠绊懞軓?fù)雜。研究表明，當(dāng)變形區(qū)幾何形狀系數(shù)

>1時(shí)（軋制薄板時(shí)），可認(rèn)為n′′σ≈1，即不考慮外端的影響。對于軋制厚軋件，外端會(huì)引起表面變形而出現(xiàn)附加應(yīng)力，從而使平均單位壓力增大，當(dāng)0.05<<1時(shí)，可用下列經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算n′′σ值：

4)外摩擦影響系數(shù)n′σ的確定外摩擦影響系數(shù)取決于金屬和軋輥接觸表面的摩擦規(guī)律。前面介紹的幾種典型的單位壓力公式，對摩擦情況的考慮和假定不同，因此確定出的n′σ的值也就不同。目前所有的平均單位壓力公式，實(shí)際上最關(guān)鍵的就是解決n′σ的問題。關(guān)于金屬和軋輥接觸表面的摩擦規(guī)律大致有三種觀點(diǎn)：即全滑動(dòng)、全粘著和混合摩擦，不同摩擦規(guī)律得出的平均單位壓力的計(jì)算公式是不同的，下面分別按上述三種觀點(diǎn)進(jìn)行平均單位壓力的計(jì)算。6．按全滑動(dòng)摩擦規(guī)律計(jì)算平均單位壓力1）采利柯夫平均單位壓力公式

平均單位壓力，如果不考慮外端和張力的影響，則公式簡化為。根據(jù)采利柯夫單位壓力公式（9-37）和（9-38）式，經(jīng)積分后，得出計(jì)算平均單位壓力的采利柯夫公式：（9-49）式中：設(shè)，

f——為摩擦系數(shù)；

hγ——中性面上軋件的厚度；

——按下式計(jì)算：（9-49）式還可寫成：

式中：ε=△h/H為道次加工率。由（3-49）和上式可知，與δ和ε存在一定的函數(shù)關(guān)系。為了簡化計(jì)算，采利柯夫作出圖9-15所示曲線，根據(jù)ε和δ的值，可從圖中查出，由，計(jì)算平均單位壓力。并從圖中曲線看出，隨加工率、摩擦系數(shù)和輥徑增加，平均單位壓力增大。應(yīng)指出：（1）在應(yīng)用以上兩公式，或查圖9-15計(jì)算平均單位壓力時(shí)：冷軋條件一定要考慮軋輥的彈性壓扁，即ι要用ι′代替；（2）如果帶張力軋制，其K值要用考慮張力影響后的K′代替；（3）摩擦系數(shù)大小的確定，對軋制時(shí)平均單位壓力影響很大，根據(jù)具體軋制條件正確選取（參考有關(guān)技術(shù)資料）；另外，帶張力軋制時(shí)，也可以用考慮張力的平均單位壓力公式，但計(jì)算相當(dāng)繁雜，不便于工程應(yīng)用。

2.斯通公式

根據(jù)斯通單位壓力公式（9-39）和（9-40）式，經(jīng)積分后得出斯通平均單位壓力公式：

（9-51）式中：m′——系數(shù)，；

——考慮軋輥彈性壓扁后的平均單位壓力；

——軋輥彈性壓扁時(shí)的變形區(qū)長度；

e——自然對數(shù)的底（e=2.718）。當(dāng)無前、后張力時(shí)，（3-50）可寫成：

只要計(jì)算出m或m′（需求出），即可從下表中查出的值，根據(jù)公式（3-51）式，計(jì)算帶張力或不帶張力的平均單位壓力，比較方便。也可直接用上述公式計(jì)算，但比較繁雜。

函數(shù)值

利用斯通圖解法求壓扁后變形區(qū)的長度：

斯通把他的平均單位壓力公式和希契柯克公式（9-5）式聯(lián)立起來，并用圖解的方法計(jì)算軋輥壓扁后變形區(qū)的長度。按（9-5）式，壓扁后變形區(qū)長度為：

（9-5）將上式兩邊同乘以，并令及，則有：

整理后得：

將斯通的平均單位壓力公式（9-50）代入上式，得：

（9-51）

設(shè)，，，則上式可寫為：（9-52）為了計(jì)算方便，根據(jù)上述方程作出軋輥壓扁時(shí)變形區(qū)長度的計(jì)算圖，如圖9-16所示。由軋制條件先計(jì)算出z（即m）和y值，然后在圖中作連接z（即m）和y兩點(diǎn)的直線，該直線與中間的曲線之交點(diǎn)即為x的值。根據(jù)，計(jì)算出。如果計(jì)算平均單位壓力：可用m′值查前面函數(shù)表求得的值；或者將m′直接代入（3-50）式計(jì)算平均單位壓力。另外，把求出的代入下式計(jì)算平均單位壓力也很簡便：

圖3-20軋輥彈性壓扁時(shí)的變形區(qū)長度計(jì)算圖

在應(yīng)用圖9-16時(shí)，如果連接m和y的直線與中間曲線相交于兩點(diǎn)，宜取較小值；如沒有交點(diǎn)，則表示該道次所采用的壓下量產(chǎn)生的彈性壓扁過大，以致軋制不能進(jìn)行。

上述平均單位壓力計(jì)算公式，適于冷軋壓力計(jì)算，尤其斯通公式更適用冷軋薄板帶的壓力計(jì)算。下面是教材習(xí)題2利用斯通圖解法的求解舉例：

按全粘著摩擦規(guī)律計(jì)算平均單位壓力

1．西姆斯公式將西姆斯的單位壓力公式（9-41）和（9-42）兩式，經(jīng)積分后得出西姆斯平均單位壓力計(jì)算公式：

上式還可寫成下列形式：為了計(jì)算方便，西姆斯把應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)與加工率和R/h的關(guān)系，根據(jù)上式繪成曲線，如圖9.17所示。由ε和R/h的值可從圖中查出n′σ，即可求出平均單位壓力。西姆斯公式適用于熱軋。西姆斯公式也可采用下列簡化形式：

(9-53)2．溫克索夫公式

溫克索夫把軋制比擬為斜面錘頭間鐓粗過程，按接觸弧的傾角等于接觸角的一半，并假定整個(gè)接觸弧長度上為粘著區(qū)，導(dǎo)出下列公式：