1、第八章線性動態電路的時域分析第一節 動態電路的初始條件和初始狀態1）換路：電路工作條件的改變稱為換路。將換路發生的瞬間稱為初始瞬間（initial instant）記為t=t0,一般取t=0,把換路前趨近于換路時的一瞬間記為t=0-（ t= t0- ），把換路后的初始瞬間記為t=0+ （ t= t0+ ）2）狀態：電路中電容上的電壓和電感上的電流直接反映了電路的儲能情況，因此常常將uC(t)，iL(t)稱為電路的狀態。它們是確定電路響應的一、動態電路的微分方程3）換路后電路方程：仍由KL及VRA可得動態電路的微分方程。最少信息（數據），一般以其為變量即所謂的狀態變量列寫動態電路的方程。uC(0

2、- )，iL(0- ) 為換路前瞬間電路的狀態，uC(0+ )，iL(0+ ) 為換路后初始瞬間的狀態，簡稱初始狀態。由初始狀態可以確定電路其它電氣量換路后初始瞬間的值，即初始條件。)0)()()()(ttutututuSCLR,)(dtduRCtuCR,)(dtduCtiC22)(dtudLCtuCLRLC)(tuR)(tuC)(tuL)(tuSS)(ti以uc(t)為變量一、動態電路的微分方程)0(22tuudtduRCdtudLCSCCC)0)()()()(ttutututuSCLR,)(LRRitu,)(Liti,)(dtdiLtuLLdiCtutLC0)(1)()0()(10tudi

3、CdtdiLRiStLLL)0(22tdtduCidtdiRCdtidLCSLLL以il(t)為變量二、換路定律：對于線性電容，在任意時刻t其電壓（電荷）與電流的關系為：dtiCtututtcCC)(1)()(00dtitqtqttcCC)()()(00dtiCtututtcCC)(1)()(0000初始瞬間dtitqtqttcCC)()()(0000換路定理：一般的電路在換路瞬間通過電容的電流為有限值，同時時間是連續的所以：)()(00tqtqCC0)(100dtiCttc0)(00dtittc電容上電荷和電壓換路先后不發生躍變。（通過電流為有限值時）)0()0(CCuu)0()0(CCqq

4、對于線性電感，在任意時刻t其電流（磁鏈）與電壓的關系為：dtuLtitittLLL)(1)()(00dtuttttLlL)()()(00dtuLtitittLLL)(1)()(0000初始瞬間dtuttttLLL)()()(0000)()(00tutuCC)()(00ttLL0)(100dtuLttL0)(00dtuttL)0()0(LLii)0()0(LL)()(00titiLL一般的電路在換路瞬間加在電感的電壓為有限值，同時時間是連續的所以：電感上磁鏈和電流換路先后不發生躍變。（所加電壓為有限值時）二、換路定律求得換路前電路穩態時的狀態，由換路定律可得電路的初始狀態，在t=0+時，將電容看

5、作值為uC(0+ )的電壓源，電感看作值為iL(0+ )的電流源，獨立源取t=0+的值，從而建立t=0+的電路模型，求得電路的初始條件。)0()0()0(1RLCiui，求開關打開瞬時的LC)(tuLSU1R2R3R)(1tiR)(tiCVUFCHLRRRS10,5 . 0,1,2,4321已知：畫出t= 0- 的電路圖，求開關打開前 uC (0-), iL( 0-),5)0(AiLVuC10)0(由換路定理，畫出t=0+的電路圖，例：圖示電路)0(Li)0 (CuSU1R2R1R3R)0 (Cu)0(LiSU)0 (Lu)0(Ci)0(1Ri,5)0(AiLVuC10)0(,5 . 2)0(

6、1AiR,0)0(VuL,5 . 2)0(AiC進一步可求各階導數的初始值第二節 一階電路的零輸入響應 動態電路的響應由兩種激勵(excitation)產生：獨立電源的輸入（input)（外施激勵源） 動態元件儲能的釋放即初始狀態（state）（內部激勵源）。外施激勵源為零，由初始狀態引起的響應稱為零輸入響應（zero-input response）;初始狀態為零，由外施激勵源引起的響應稱為零狀態響應（zero-state response）。外施激勵源和初始狀態共同引起的響應稱為全響應（complete response） 一階電路的定義：換路后，電路中僅含一個或者可以等效為一個儲能元件的線

7、性電路，其電路方程是一階常系數微分方程，稱為一階電路（first order circuit）。一、一階RC電路的零輸入響應：如圖所示電路，換路前電路已達穩態，電容器充電至電源電壓：,)0(SCUu在t=0時，開關突然由a打向b，電容通過電阻R形成回路放電，此時電路已沒有外施激勵源，其中的響應由電容的初始狀態引起，即零輸入響應。CSURa b)(tuC)(ti由KVL得：0 RiuCdtduCiC又有)0(0tudtduRCCC0)0(Ru0)0(iRC電路上式是關于uc的一階齊次微分方程，用分離變量法解之dtRCuduCC1兩邊取積分：ktRCuC1lntRCktRCCKeeetu11)(得

8、方程變形為：SSCCUKUuu代入方程得將)0()0()0()(10teUtutRCC）（0)()(1teUtututRCSRC任意一階RC電路的零輸入響應為：)0()(10teItitRC)0()(1teRUtitRCStCu0i00U0ICSURa b)(tuC)(titRu00U)0()(10teUtutRCR一階RC電路的零輸入響應有以下特點：換路瞬間電容電壓保持不變，電流發生突變形成放電過程。換路后，所有的響應都是是按相同的指數規律衰減。衰減的指數規律僅由電路的結構和參數決定與變量的選擇無關。衰減的速度取決于1/RC（衰減系數）。固有頻率。具有頻率的量綱。稱為令時間常數。具有時間的量

9、綱。稱為令秒）的單位為則的單位為，的單位為ppRCsRCFCR,1,(,),0()(0teUtutC),0()(0teItit),0()(0teUtutR間越短。越小衰減越快，放電時間越長，越大衰減越慢，放電時tteUeUdtduutguCD001tRu0PCD響應與其初始值成正比。初始值增大幾倍，響應增大幾倍。一階RC電路的零輸入響應是靠電容中儲存的電場能的釋放維持，釋放的能量同時被電阻消耗，暫態過程最后以能量的耗盡而告終。此為一階RC電路的零輸入響應的 實質。WR=WC一階RC電路的零輸入響應的求解步驟：求解電路換路前的各值。求時間常數：求解電路換路后初始值。（第一節）紐看進去的等效電阻。

10、為換路后從電容兩個端RRC,代入（*）式。)(7868aa），（例：習題二、一階RL電路的零輸入響應：如圖所示電路，換路前電路已達穩態：,)0(00IRRUiSL在t=0時，開關突然合上，電感通過電阻R形成回路，此時電路已沒有外施激勵源，,)0(00RIRRRUuSR0)0(Lu)(tuLSUR)(tiL0R)(tuR電路中的響應由電感的初始狀態引起，即為零輸入響應。由KVL得：, 0RLuudtdiLuLL又有)0(0tRidtdiLLL上式是關于iL的一階齊次微分方程，用分離變量法解之dtLRidiLL兩邊取積分：ktLRiLln方程變形為：tLRktLRLKeeeti)(得00)0()0

11、(IKIiiLL代入方程得將,0)(0）（ teItitLRL)0()()(0teRItututLRLRtLi00I0U0U)(tuR)(tuLi0t一階RL電路的零輸入響應有以下特點：換路瞬間電感電流保持不變，電壓發生突變釋放磁場能。換路后，所有的響應都是是按相同的指數規律衰減。衰減的指數規律僅由RL電路的結構和參數決定與變量的選擇無關。衰減的速度取決于R/L（衰減系數）。固有頻率。具有頻率的量綱。稱為令時間常數。具有時間的量綱。稱為令秒）的單位為則的單位為，的單位為ppRLsRLHLR,1,/(/,),0()(0teUtutL),0()(0teItitL),0()(0teUtutR間越短。

12、越小衰減越快，放電時間越長，越大衰減越慢，放電時tteUeUdtduutguCD001tRu0PCD響應與其初始值成正比。初始值增大幾倍，響應增大幾倍。一階RL電路的零輸入響應是靠電感中儲存的磁場能的釋放維持，釋放的能量同時被電阻消耗，暫態過程最后以能量的耗盡而告終。此為一階RL電路的零輸入響應的 實質。WR=WL一階RL電路的零輸入響應的求解步驟：求解電路換路前的各值。求時間常數：求解電路換路后初始值。（第一節）紐看進去的等效電阻。為換路后從電感兩個端RRL,/代入（*）式。4838 ，例：線性一階電路的零輸入響應的要點：)0()0()(teftft響應模式：為換路后的初始值。壓或電流，為換

13、路后任意支路的電)0()(ftf時間常數決定于電路的結構和參數。阻兩端紐看進去的等效電或電感為電容，電路中，電路中LCRRLRLRCRC/一階電路的零輸入響應與其換路后的初始值成正比第三節 一階電路的零狀態響應一、一階RC電路的零狀態響應：CSUR)(tuC)(tiS) 0( t如圖所示電路，開關閉合前電容器未充電即處于零狀態：, 0)0(Cu, 0)0(Ru0)0(i開關閉合后，電源通過R、C形成回路，給電容充電。此時電路的初始狀態為零，響應由外施激勵源引起，為零狀態響應。)0()(tuudtduRCtuSCCC：為變量列寫微分方程為以此為一階常系數非齊次微分方程其解由兩部分組成：一階RC電

14、路的零狀態響應：通解(general solution ):的解。對應齊次方程0CCudtduRC)()( 為時間常數RCAeAetutRCtC特解(particular solution)：一般與微分方程常數項（外施激勵源）的形式相同，是滿足原非齊次微分方程的一個解。SCSCUtuUBBtu)( )()( 即，代入原方程得恒定量 由電路知US是換路后電路重新達到穩態即t=時電容電壓。SCCUutu)()( StCCCUAetututu)( )( )(完全解：SCCUAuu代入方程得將0)0()0()0)(1 ()(teUUeUtutSStSCCSUR)(tuC)(ti)(tuR),0()(t

15、eRUdtduCtitSC)0()(teUtutSRiuC,0t從上述過程可以看出：SU)(tuC)(tuR)(tiRUS一階RC電路的零狀態響應有以下特點：電容上的電壓（狀態）從初始值開始逐漸增加，最后達到新的穩態值。它由兩部分組成：iuC,0tRUS)(tiSU)( tuC)( tuCa:穩態分量(steady stat component)：方程的特解即電路達到穩態時的穩態值。它受外施激勵源制約，也稱為強制分量(forced component)b:暫態分量(transient component)：方程的通解其變化規律與零輸入響應相同按指數規律衰減為零，只在暫態過程中出現故稱暫態分量。

16、其形式與外施激勵源無關也稱為自由分量(force-free component )。起始值與外施激勵源有關。電流在換路瞬間發生突變，其值為US/R即換路后的初始值，電路以此值開始給電容充電，隨著極板上的電荷增多電容電壓的增大，i=(US-uC)/R減小，最后為零，電容電壓為US。一階RC電路的零狀態響應實質是電路儲存電場能的過程。電源在充電過程中提供的能量，一部分轉化成電場能儲存在電容中，一部分被電路中的電阻消耗。且有 WC=WR電源提供的能量只有一半儲存在電容中。充電效率50，與電阻電容數值無關。二、RL電路的零狀態響應：RSU)(tiS) 0( t)(tuL)(tuRL如圖所示電路，開關閉

17、合前電感中無電流電即處于零狀態：, 0)0(Li0)0(Ru, 0)0(Lu開關閉合后電源通過R、L形成回路，此時電路的初始狀態為零，響應由外施激勵源引起，為零狀態響應。)0()(tuRidtdiLtiSLLL：為變量列寫微分方程為以其解由兩部分組成：)/()( 為時間常數暫態分量：RLAetitLRUitiSLL)()( 穩態分量：)0()( )( )(tRUAetititiStLLL完全解：RUAiiSLL代入方程得將0)0()0()0)(1 ()(teRUeRURUtitStSSL),0()(teUdtdiLtutSLL)0)(1 ()(teUtutSRuiL,0tSU)(tuL)(tu

18、RRUS)(tiLRUS)(tiL一階RL電路的零狀態響應有以下特點：電感上的電流（狀態）從初始值開始逐漸增加，最后達到新的穩態值。其暫態分量和穩態分量的意義與RC電路相同。電壓在換路瞬間發生突變，其值為US即換路后的初始值，電路以此值開始在線圈中儲存磁場能。一階RL電路的零狀態響應實質是電路儲存磁場能的過程。電源提供的能量，一部分轉化成磁場能儲存在電感中，一部分被電路中的電阻消耗。且有 WL=WR電源提供的能量只有一半儲存在電感中。儲能效率50，與電阻電感數值無關。外施激勵源為直流時的一階電路的零狀態響應的步驟如下：求出換路后動態元件以外的戴維南等效電路。 iRLOCU)(tuL)(tiLCOCU)(tuC)(tiiR據狀態變量的響應模式得：)(0)(1 ()(CRteUtuitOCC)/)(0)(1 ()(itiOCLRLteRUti將電容看作電壓源、電感看作電流源回到換路后的原電路按電路的基本約束關系求解其它電壓和電流。三、外施激勵源為正弦量的一階電路的零狀態響應：)(tuS)(tiS) 0( t)(tuL)(tuRL在圖示一階RL零狀態電路中，若：)cos()(tUt