1、難點 14數列綜合應用問題縱觀近幾年的高考， 在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題 .這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.難點磁場( )已知二次函數y=f(x)在 x= t2 處取得最小值 t2 (t 0),f(1)=0.24(1)求 y=f(x)的表達式；(2)若任意實數x 都滿足等式f(x)· g(x)+

2、anx+bn=xn+1 g(x) 為多項式， n N* ), 試用 t 表示 an 和 bn；(3)設圓 Cn 的方程為 ( xan) 2+(y bn)2 =r n2，圓 Cn 與 Cn+1外切 (n=1,2,3, ); rn 是各項都是正數的等比數列，記Sn 為前 n 個圓的面積之和，求 r n、 Sn.案例探究例 1從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業， 根據規劃， 本年度投入 800 萬元， 以后每年投入將比上年減少1 ，本年度當地旅游5業收入估計為 400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加 1.4(1)設 n

3、 年內 (本年度為第一年 )總投入為 an 萬元，旅游業總收入為 bn 萬元，寫出 an,bn 的表達式；(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？命題意圖： 本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識； 考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力， 本題有很強的區分度， 屬于應用題型， 正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬級題目.知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點 .錯解分析： (1) 問 an、 bn 實際上是兩個數列的前n 項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差.技巧與方法：

4、正確審題、深刻挖掘數量關系，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.解： (1)第 1 年投入為800 萬元， 第 2 年投入為800× (1 1)萬元， 第 n 年投入為 8005×(1 1)n 1 萬元，所以， n 年內的總投入為511n1an=800+800× (1)+ +800× (1)n 1=800×(1)k 155k 15=4000 × 1 (4) n5第 1 年旅游業收入為400萬元，第2 年旅游業收入為400× (1+ 1)， ，第 n 年旅游業4收入 400

5、5; (1+ 1)n 1 萬元 .所以， n 年內的旅游業總收入為411)k 1=n5)k1.bn=400+400× (1+)+ +400 × (1+400× (44k 14=1600 × ( 5 )n 14(2)設至少經過 n 年旅游業的總收入才能超過總投入，由此bn an0，即：1600× (5)n 1 4000× 1 (4)n 0，令 x=(4)n ，代入上式得：5x27x+2 4550.解此不等式，得x 2 ，或 x 1(舍去 ).即 ( 4) n 2 ，由此得 n 5.555至少經過 5 年，旅游業的總收入才能超過總投入.例

6、 2已知 Sn=1+11+ +1,(n N* )設 f(n)=S2n+1 Sn+1,試確定實數 m 的取值范圍，23n使得對于一切大于1 的自然數n，不等式： f(n) log m(m 1) 2 11 log (m 1)m2 恒成20立.命題意圖： 本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問題， 需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬級題目 .知識依托：本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙.錯解分析：本題學生很容易求f( n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n N*) 看作是 n的函數，此時不等式的恒成立就轉化為：函數f(n)

7、的最小值大于 log m(m 1) 2 11 log (m 1)m 2.20解： Sn=1+ 11 + + 1 .(nN * )23nf (n)S2n 1Sn 1111n2n32n 1又 f (n1)f ( n)1111122n 22n3n2 2n 22n3 2n4(11)(11)02n22n2n32n44 f(n+1) f(n) f(n)是關于 n 的增函數 f(n) min =f(2)=119223202要使一切大于1 的自然數n，不等式f(n) log m(m 1) 2 11 log(m1) m 2 恒成立20只要9 log m(m 1) 2 11 log (m 1) m 2 成立即可2

8、020由 m 0,m1得 m 1 且 m 2m 1 0,m 1 1此時設 log m(m 1) 2=t 則 t 09t11于是 2020 解得 0 t 1t0由此得0 logm(m 1) 2 1解得 m15 且 m 2.2錦囊妙計1.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比 )數列、遞推數列模型，再綜合其他相關知識來解決問題.2.縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關：(1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.(2)文理關：需將實際問題

9、的文字語言轉化數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.(3) 事理關：在構建數學模型的過程中；要求考生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成用實際問題向數學問題的轉化.構建出數學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力.殲滅難點訓練一、選擇題1.( )已知二次函數y=a(a+1) x2 (2a+1) x+1 ，當 a=1， 2， ， n， 時，其拋物線在 x 軸上截得的線段長依次為d1,d2， ,dn, ,則 lim (d1+d2+ +dn)的值是 ()nA.1B.2C.3D.4二、填空題2.( )在直角坐標系中，O 是坐標原點， P1(x1， y1)

10、、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若 1，x1， x2，4 依次成等差數列，而1，y1，y2， 8 依次成等比數列，則OP1P2 的面積是 _.3.( )從盛滿 a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加滿，再倒出b 升，再用水加滿；這樣倒了n 次，則容器中有純酒精_升 .4.( )據 2000年3月5日九屆人大五次會議政府工作報告：“ 2001 年國內生產總值達到 95933 億元，比上年增長7.3%，”如果“十·五”期間(2001 年 2005 年 )每年的國內生產總值都按此年增長率增長，那么到“十·五”末我國國內年生產總值約為_億元 .三、解答題5.( )已知數

11、列 an 滿足條件： a1=1,a2=r (r 0),且 an an+1 是公比為 q( q 0)的等比數列，設 bn=a2n 1+a2n(n=1,2, ).(n N(1)求出使不等式 a a+an+1an+2 an+2an+3*)成立的 q 的取值范圍；n n+1(2)求 bn 和 lim1 ，其中 Sn=b1+b2+ +bn ；n Sn19.21，求數列 log 2 bn 1 的最大項和最小項的值 .(3)設 r =2 1， q=2log 2 bn6.( )某公司全年的利潤為b 元，其中一部分作為獎金發給n 位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業績(工作業績均不相同) 從大到小，由

12、1到 n 排序，第 1 位職工得獎金 b 元，然后再將余額除以n 發給第2 位職工，按此方法將獎金逐一發給每位職n工，并將最后剩余部分作為公司發展基金.(1)設 ak(1 k n)為第 k 位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用 k、n 和 b 表示 ak(不必證明 )；(2)證明 ak ak+1(k=1,2,n 1),并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；(3)發展基金與n 和 b 有關，記為Pn(b),對常數 b，當 n 變化時，求lim Pn(b).n7.( )據有關資料， 1995 年我國工業廢棄垃圾達到 7.4×108 噸，占地 562.4 平方公里， 若環保部門每年回收

13、或處理 1 噸舊物資， 則相當于處理和減少 4 噸工業廢棄垃圾， 并可節約開采各種礦石20 噸，設環保部門1996 年回收 10 萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增20%的回收量，試問：(1)2001 年回收廢舊物資多少噸？(2)從 1996年至2001 年可節約開采礦石多少噸 (精確到萬噸 )？(3)從 1996年至2001 年可節約多少平方公里土地？8.( )已知點的序列An(xn，0),n N,其中 x1=0,x2 =a(a0),A3 是線段 A1A2 的中點，A4 是線段 A2A3 的中點， ， An 是線段 An2An1 的中點， .(1)寫出 xn 與 xn1、 xn 2 之間關系式

14、(n 3);(2)設 an=xn +1xn ，計算 a1,a2,a3，由此推測數列 an 的通項公式，并加以證明；(3)求 lim xn.n參考答案難點磁場解： (1)設 f(x)=a( xt2 2t2)，由 f(1)=0 得 a=1.24 f(x)= x2 (t+2)x+t+1.(2)將 f(x)=(x 1) x (t+1) 代入已知得：nnn+1，上式對任意的 x R 都成立，取 x=1 和 x=t+1 分別(x 1) x (t+1) g(x)+a x+b =x代入上式得：anbn1且 t0，解得 a1 (t+1) n+1 1， bnt 1 1 (t+1 n(t1)anbn(t 1) n

15、1n=t=)t(3)由于圓的方程為 (x an)2+(y bn) 2=rn2，又由 (2) 知 an+bn=1，故圓 Cn 的圓心 On 在直線x+y=1 上，又圓 Cn 與圓 Cn+1 相切，故有 r n+rn+1=2 an+1 an = 2(t+1)n+1設 r n 的公比為 q，則rn rn q2 (t 1) n 1÷得rn 1rn 1 q2( t 1)n 2rn1=t+1，代入得rn=2(t1) n1q=t2rn222r12 (q 2n1)2(t1)4 (t+1)2n Sn= (r1 +r 2+r n )=q 21t(t2) 3 1殲滅難點訓練一、 1.解析：當 a=n 時

16、y=n(n+1)x2 (2n+1) x+1由 x1 x2 =，得 dn=1， d1 +d2+ +dnan(n1)11111111111 223n(n1)223nn11n 1lim (d1d 2dn )lim (11)1nnn 1答案： A二、2.解析：由 1,x1,x2,4 依次成等差數列得： 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1，y1,y2,8依次成等比數列，得y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, P1(2,2),P2(3,4). OP(2,2), OP=(3,4)12 OP1 OP26814,122,| OP2 |5,OPcosP1OP2O

17、P1OP21472sin P1OP22,| OP1 | OP2 |5221010S OPP1 |OP1 | OP2 | sin P1OP2122521122210答案： 13.解析：第一次容器中有純酒精a b即 a(1 bba) 升，第二次有純酒精a(1 ) aa(1b )aa b ，即 a(1 b )2 升，故第 n 次有純酒精 a(1 b )n 升 .aa答案： a(1 b )na4.解析：從2001 年到 2005 年每年的國內生產總值構成以95933 為首項，以7.3%為公4比的等比數列，a5=95933(1+7.3%) 120000( 億元 ).三、5.解： (1)由題意得rqn 1

18、+rqn rqn+1.由題設r 0,q 0,故從上式可得：q2 q 10，解得 15 q 15 ,因 q 0,故 0 q 1 5 ;222(2) an 1an 2an 2q, bn 1a2n 1a2 n 2a2 n 1qa2 nqq 0 .b1=1+ r 0，所以an an 1anbna2 n 1a2na2n 1a2 n bn 是首項為 1+r ，公比為q 的等比數列，從而 bn=(1+ r )qn-1 .當 q=1 時， Sn=n(1+r ),lim1lim1當q時, Sn(1r )(1 q n )Snn(1r )0; 011 q,nnlim1lim(11qq n )1q ;nSnnr )(

19、11r當q時, Sn(1r )(1q n ),11 qlim1lim1 q11 q ,( 0 q 1)Sn(1r )(1q n )0,所以 lim1 rnnnSn0,( q1)(3)由(2),有 bn(1r )q n 1log 2 bn 1log 2 (1r )q n log 2 (1r )n log 2 q11log 2(1r ) qn 1 .log 2 bnlog 2 (1r )( n1) log 2 qn20.2記 Cnlog 2 bn 1, 從上式可知， 當 n 20.2 0，即 n 21(n N* )時，Cn 隨 n 的增大而減log 2 bn小，故1 Cn C21=1+111=2.

20、252120.20.8當 n 20.2 0 ， 即 n 20(n N* ) 時 ， Cn也 隨 n的增大而減小，故1 Cn C20=1+1112020.2= 40.2綜合兩式知， 對任意的自然數 n 有 C20 Cn C21,故 Cn 的最大項 C21=2.25，最小項C20=4.6.解： (1)第 1位職工的獎金 a1= b ，第 2 位職工的獎金a2=1(1 1)b，第 3 位職工的獎nnn金 a3=1(1 1)2 b， ，第 k 位職工的獎金 ak=1(1 1)k 1b;nnnn11k 1(2)ak ak+1=2(1) b 0，此獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”nn的原則 .1(3) 設 fk(b) 表 示 獎 金 發 給 第 k 位 職 工 后 所 剩 余 數 ， 則 f1(b)=(1 ) b,f2( b)=(1 n1)2b, ,fk(b)=(1 1)kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1 1)nb,nnn故 lim Pn (b)b.ne7.解：設 an 表示第 n 年的廢舊物資回收量， Sn 表示前 n 年廢舊物資回收總量， 則數列 an是以 10 為首項， 1+20%為公比的等比數列 .(1)a6 =10(1+20%) 5=10× 1.25=24.8832 25(萬噸 )10(120%) 611.661=99.2992 99.3