1、跳水比賽中，運動員旋轉的周數旋轉的周數如何用角度來表示？ 轉體一周半指的是多少度？問題提出問題提出1.1.角是平面幾何中的一個基本圖形，角是角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的可以度量其大小的. .在平面幾何中，角的取在平面幾何中，角的取值范圍如何？值范圍如何？ 2.2.體操是力與美的結合，也充滿了角的概體操是力與美的結合，也充滿了角的概念念20022002年年1111月月2222日，在匈牙利德布勒森日，在匈牙利德布勒森舉行的第舉行的第3636屆世界體操錦標賽中，屆世界體操錦標賽中，“李小李小鵬跳鵬跳”“踺子后手翻轉體踺子后手翻轉體180180度接直體度接直體前空翻轉體前空翻轉體

2、900900度度”，震驚四座，這里的轉，震驚四座，這里的轉體體180180度、度、 轉體轉體900900度就是一個角的概念度就是一個角的概念. . 3.3.過去我們學習了過去我們學習了0 0360360范圍的角，范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角如在體但在實際問題中還會遇到其他角如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到聽到“轉體轉體108010800 0”、“轉體轉體126012600 0”這樣這樣的解說再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳的解說再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角

3、，不全是旋轉所成的角，不全是0 03603600 0范圍內的范圍內的角角. .因此，僅有因此，僅有0 0360360范圍內的角是不范圍內的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣夠的，我們必須將角的概念進行推廣. . 這些例子所提到的角不僅不在范這些例子所提到的角不僅不在范圍圍000 0 ,360,3600 0 內，而且方向不同，內，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角想用什么辦法才能推廣到任意角？ 運 動1.在初中角是如何定義的？定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角。頂頂點點邊邊邊邊【新課引入】oAB始邊終邊頂點

4、定義2：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角。思考思考1 1：在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的方向旋轉的. .一般地，一條射線繞其端點旋轉，既一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉轉. .你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60600 0所形成的角，與按順時針方向旋轉所形成的角，與按順時針方向旋轉60600 0所形成的所形成的角是否相等？角是否相等？ 知識探究（一）：角的概念的推廣知識探究（一）

5、：角的概念的推廣 思考思考2 2：為了區分形成角的兩種不同的旋為了區分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規定？如果一條轉方向，可以作怎樣的規定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？嗎？ 我們規定：我們規定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做按順時針方向旋轉形成的角叫做負角負角如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個形成了一個零角零角。 即零角的始邊和終邊重合即零角的始邊和終邊重合。畫圖表示一個大小一定的角，畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為

6、角的始邊，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的絕對值大小方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注加以標注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考3 3：度量一個角的大小度量一個角的大小, ,既要考慮旋轉方向既要考慮旋轉方向, , 又要考慮旋轉量又要考慮旋轉量, ,通過上述規定通過上述規定, ,角的范圍角的范圍 就擴展到了任意大小就擴展到了任意大小. . 對于對于210210， 150150, , 660660，你能用圖形表，你能用圖形表 示這些

7、角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？ 思考思考4 4：如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分鐘，或快了分鐘，或快了1.251.25小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？能將時間校準？ 思考思考5 5：任意兩個角的數量大小可以相加、相任意兩個角的數量大小可以相加、相減減, ,如如50508080=130=130,50,508080= =3030, ,你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？以以5050角的終邊為始邊，逆時針角的終邊為始邊，逆時針（或順時針）旋轉（或順時針）旋轉8080

8、所成的角所成的角. . 450.120，知識探究（二）：知識探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負半軸的非負半軸重合，那么對一個任意的角，角的終軸重合，那么對一個任意的角，角的終邊可能落在哪些位置？邊可能落在哪些位置？ xoy思考思考2 2：如果角的終邊在第幾象限，我們如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于終邊在坐

9、標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角任何象限，或稱這個角為軸線角. .那么下那么下列各角：列各角：-50-50,405,405,210,210, -200, -200, ,450450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo思考思考3 3：銳角與第一象限的角是什么邏輯銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系？直角與軸線角是什么邏輯關系？關系？直角與軸線角是什么邏輯關系？思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？角大嗎

10、？ 象限角只能反映角的終邊所在象限，象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小不能反映角的大小. 思考思考5 5：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135角的終角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是是135135嗎？嗎？xyo知識探究（三）：知識探究（三）：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？象限的角？這些角有什么內在聯系？32392xyo o328思考思考2 2：與與3232角終邊相同的角有多少個角終邊相同的角有多少個? ? 這些角與這些角與3232角在數量上

11、相差多少角在數量上相差多少? ? 思考思考3 3：所有與所有與3232角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同3232角在內，可構成一個集合角在內，可構成一個集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ S=|=S=|=k k360360，kZkZ，即任一與，即任一與終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與整數與整數個周角的和個周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的角，終邊相同的角，連同角連同角在內所構成的集合在內所構成的集合S S可以怎樣表示？可以怎樣表示？ S=|= 32 k360,kZ思考思考5 5：終邊在終邊在x

12、 x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y y軸軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？正半軸、負半軸上的角分別如何表示？ x x軸正半軸：軸正半軸：= k= k360360，kZ kZ ； x x軸負半軸：軸負半軸：= 180= 180k k360360，kZ kZ ；y y軸正半軸：軸正半軸：= 90= 90 k k360360，kZ kZ ； y y軸負半軸：軸負半軸：= 270= 270k k360360，kZ .kZ .思考思考6 6：終邊在終邊在x x軸、軸、y y軸上的角的集合分軸上的角的集合分別如何表示？別如何表示？ 終邊在終邊在x x軸上軸上:S=|=k:S=|=k180180,

13、kZ,kZ；終邊在終邊在y y軸上軸上:S=|=90:S=|=90k k180180,kZ. ,kZ. 思考思考7 7：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|kS=|k3603609090k k360360,kZ;,kZ;第二象限第二象限: :S=|90S=|90k k360360180180k k360360,kZ;,kZ;第三象限第三象限: :S=|180S=|180k k360360270270k k360360,kZ;,kZ;第四象限第四象限: :S=|S=|9090k k360360kk360360,kZ.

14、,kZ.思考思考8 8：如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k72072023602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180理論遷移理論遷移 例例1 1 在在0 0360360范圍內，找出范圍內，找出與與9509501212角終邊相同的角，并判角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角定它是第幾象限角. . 95095012=12=1291294848360360X 3X 3 第二象限角第二象限角S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ. 315315，-135-135，4545，225225，405405，585585. . 例例2 2 寫出終邊在直線寫出終邊在直線y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中適合不等式中適合不等式-360-360 720720的元素寫出來的元素寫出來. . 為小結小結1.1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值角的概念推