1、彈性力學(xué)輔導(dǎo)二第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答一、本章學(xué)習(xí)指導(dǎo)本章是按應(yīng)力求解平面問題的實(shí)際應(yīng)用。 其中采用應(yīng)力函數(shù)©作為基本未知函數(shù)進(jìn)行求解，并以直角坐標(biāo)來表示問題的解答。在學(xué)習(xí)本章時(shí)；應(yīng)重點(diǎn)掌握：1按應(yīng)力函數(shù) © 求解時(shí)， ©必須滿足的條件。2、逆解法和半逆解法。3由應(yīng)力求位移的方法。 4從簡(jiǎn)支梁受均布荷載的問題中，比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)解法的導(dǎo)同。二、逆解法與半逆解法當(dāng)體力為常量時(shí)， 按應(yīng)力來解已經(jīng)歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)由 © ，它必須滿 足下列條件：1在平面區(qū)域 A 內(nèi)的相容方程； 2在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部邊界上都為應(yīng)力邊界條件） ；3、

2、對(duì)于多連體，還須滿足多連體中的位移單值條件。在求出應(yīng)力函數(shù) ©后，便可以求出應(yīng)力分量，然后再求出其他未知函數(shù)。相容方程是四階偏微分方程。 它的解不同于常微分方程， 可以表示為有限個(gè) 解答的形式。 或者說，相容方程可以有無限個(gè)解答。 為了尋找能滿足給定問題的 邊界條件的解答，可以采用逆解法和半逆解法。逆解法的主要步驟如下：1）先找出滿足相容方程的解答；2）求出應(yīng)力分量；3）在給定的邊界形狀（給定的邊界方程）下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件由應(yīng)力反 推出相應(yīng)的面力， 即得出邊界面上的面力分布后， 我們可以反過來證實(shí)： 在面力 作用下，該問題的解答就是上述的應(yīng)力函數(shù) © 和相應(yīng)的應(yīng)力。采用多

3、項(xiàng)式表示應(yīng)力函數(shù) ©的一些解答。 當(dāng)多項(xiàng)式小于四次冪時(shí)， 它們必然 滿足相容方程。其中一次式© = ax + dy + c,對(duì)應(yīng)于無體力、無面力和無應(yīng)力的狀態(tài)。二次式© = a 2x + dxy + cy2,可以表示常量的正應(yīng)力和切應(yīng)力的狀態(tài)。三次式 © = ax3+ bx2y+ cxy2+ dy3，可以表示各種線性分布的應(yīng)力狀 態(tài)。半逆解法求解的具體步驟如下：1）根據(jù)彈性體受力情況和邊界條件等，假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式；2）由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù) ©的形式；在半逆解法中尋找應(yīng)力函數(shù)負(fù)時(shí)， 通常采用下列方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù) 形式：（ 1）由材料力

4、學(xué)解答提出假設(shè)， （2）由邊界受力情況提出假設(shè)， （3）用量 綱分析方法提出假設(shè)。3）求出 ©的具體表達(dá)式；4）求出對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量；5）將應(yīng)力代人邊界條件，考察它們是否滿足全部邊界條件（對(duì)于多連體， 還須滿足位移單值條件） 。如果所有的條件均能滿足， 上述解答就是正確的解答。 否則，就要修改假設(shè)，重新進(jìn)行求解。在考核應(yīng)力邊界條件時(shí)，必須注意以下幾點(diǎn)：1）首先考慮主要邊界（大邊界）上的條件，然后考慮次要邊界（小邊界） 上的條件。2）在主要邊界上，必須精確地滿足邊界條件，每邊應(yīng)有兩個(gè)條件；3）在次要邊界上， 如不能滿足式精確邊界條件時(shí)， 則可以應(yīng)用圣維南原理， 用三個(gè)積分的近似邊界條件（

5、主矢量和主矩的條件）來代替，4）必須把邊界方程代入邊界條件；5）分清在邊界條件中應(yīng)力和面力的不同的符號(hào)規(guī)定。6）除一個(gè)次要邊界外，其他所有邊界條件都必須進(jìn)行校核并使之滿足。當(dāng) 平衡微分方程和其他應(yīng)力邊界條件都滿足以后， 從整體平衡條件可以得出， 本校 核的一個(gè)次要邊界上的三個(gè)積分邊界條件是必然滿足的。三、位移分量的求出 在按應(yīng)力求解時(shí)，若已經(jīng)求出應(yīng)力分量，如何求出對(duì)應(yīng)的位移分量。 由己知應(yīng)力求位移的步驟是：1將應(yīng)力分量代人物理方程2將形變分量代入幾何方程，3從幾何方程積分求出u和v后，還包含三個(gè)待定的剛體平移 u。v。和 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)量3。它們須由相應(yīng)的剛體約束條件來確定。例題1:設(shè)單位厚度的懸臂

6、梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不 計(jì)，I >> h,如下圖所示，試用應(yīng)力函數(shù) 二Axy + B y2 + C y3 + Dxy3求解應(yīng)力 分量。1、將代入相容方程，顯然是滿足的。2、將代入應(yīng)力公式，求出應(yīng)力分量。er x = 2B+ 6Cy+ 6Dxycr y = 0= - ( 4 +3+考察邊界條件：主姿邊界y = ± A/2(巧)，土"二0，滿足；=得(a)在次要邊界-O±T只給出了面力的主矢詭和主矩，應(yīng)用圣維南原理* 用三個(gè)積分的邊界條件代替° f ( b.T ) r二-求得' -h/2)i =o7y = - M * 求得J -h/2(J)Hn好-Fif 得八“由式5), (b)解出代人應(yīng)力公式*得斥 12.W】2叭w、= 0.例題 2：已知2 2 2 2 2(a) 二 Ay (a-x)+ Bxy + C (x + y )(b) = A x4+ Bx3y+ Cxy2 + E y4試問它們能否