1、i.在_中，淨廠/:躋盤o平分一.i；7< 交.于，如圖,m,垂足為煜:丄莎；.為垂足。是.中點，.【是.用曠中點。若 wq送的外接 圓 與.的另一個交點為 丁。求證：四點共圓。證明：作AQ延長線交BC于N,則Q為AN中點，又M為AC中點，所以QM BC所以1PQM = PBCABC .2同理，1MPQABC .所以 QM= PM2又因為 Q,H,P,M 共圓.所以.PHC =/PHM 二/PQM . 所以 PHC - PBC.所以 P、H、B、C 四點共圓.BHC =/BPC =901 故 HE BC 二 EP .2結合 OH -OM，知 OE 為 HP中垂線，易知.EHO =/EPO

2、 =/OPM，所以OH、E、M四點共圓.2.如圖，在 ABC中，DE / BC , AE 的內切圓與DE切于點M , ABC的BC邊上的旁切圓切BC于點N，點P是BE與CD的交點求證：M、N、P三點共線.證設BE與MN交于點P'.BP BC BP' BN因為DE / BC，所以，PE DE P'E EM故只需證明BC BNDE - EMBNBCEMDE10分MDEBCN二 AB BN，如圖,設、02分別為三角形的內切圓與旁切圓的圓心,F、G、H、I為切點，貝U1EM AE DE - AD ， AH 二 AB BH1AH = AI AB BC AC1BN =AH -ABA

3、C BC - AB .220分又 ADE s ABC，故可設AB BC AC ,Lx，AD DE AE則1BN 2(AC BC-AB)BC 一BC(k AE k DE -k AD)2k DE(AE DE - AD) _ EMDE2DE40分故結論成立.3.在 MBC中，點Ai,B1C 分別是三邊上的點，點G, G , G , G分另U是M B QA A B,C iB AC 的重心衛點 Gi,G2分別是 AABiCij!GaGbGc的重心。(1 )求證：點GGG共線;(2)直線AGa,BGb,CGc共點的充要條件是直線 AAi,BBi,CCi共點。證明：由且0C 二 O A(i -) 0,觸中：

4、，(0,i)，i 故 0G (OA OB OC)，3-)0B (i"1)0C，4 i i0Gi(0Ai0Bi0Ci)(i 一：)0A (i ：3,3*4 T 4*i0Ga(OA0Bi0Ci)(2 - ：)0A (i- )0BOC，33ii0Gb(OB0Ai0Ci) OA(2 川爲一JOB (i - ：)0C，33OG7（OC OB1 OA1）（1 一 jOA ： OB（2 二心）OC，3311OG2（OGa OGb OGc）（3 -2 ： 2 ）OA （3 2: -2 ）OB （3-2: 2 - ）OC39所以，1GG1（'©OA （： -）OB （Y：）0C,31

5、G1G2（-： ）OA（ -）OB （二 F）0C，所以 GG/G1G2 ,G,G,G2 共線;9（2）設 BGbg,AGa分別交邊 CA,AB,BC 于點, 且 CA2 = pCA, AB qAB,BC2 =tBC，其中 p,q,t （0,1）,由（ 1）得,CGb =OGb -OC =】OA （2L）OB （一2一 ： ）OC31OA （2 仁一 ）OB -（2 仁-F）OC - OC 31（2 “）CB CA31（2： - ）CB，故 CA2LA2A 1 - p 1 -a3由B,Gb,A2共線得，（2 * -1，得p二33 p1/AB2:BC2 _輪換得，麗-口諺-廠，AC -c又由 O

6、A =OB （1 -）OC得,:BA1 = （V : ）A1C，故一，由輪換得，BA 1 口旦A_L CBJL，且_JL._L._LxJL，1 _Y '1 _o（1_p 1_Y 1 _a 1_B 1_Y'故由塞瓦定理，直線 AGa,BGb,CGc共點的充要條件是直線 AA1,BB1,CC1共點。4. AD是銳角. ABC的一條高，P是線段AD上一點，延長BP交AC于點M ,延長CP交AB于點N ,又MN與AP交于點Q,過點Q的任意一條直線交線段 PN于點E,交線段AM 于點 F ,求證：EDA 二 FDA.如圖連接DN,DM并延長，交過A點與BC平行的直線于 R,K .先證明.

7、NDA=/MDA.由塞瓦定理知=1，又塑二空,CM=（利用平行線BC/RK的性NB BD MA AK質），得 AK = AR，從而又 AD _ RK 得 NDA 二 MDA .sin MDF sin MNDE 、九 再證明/MDF ZNDE，即要證：,設sin ZADF sin NADEADM = ADN一 v , ADF 二：，ADE 二,即上式迴 -si na= sin（ V 由于 S.Mdf = FMSadfAFDM sin（G -） 則 sin（日-。）AD sin jsin 二adLfm afLdm ,同理sin（八-）sin :羋，則式即證明羋peLndafLdmPD_NE 亠 A

8、DLND AFNEPeInd 或dmLpdFM_PE，而牛FM PES.af 1-雜.：S 'MF _sPe-:AQsn AQF NQnNQEMQ sin MQF PQiPQEAQ NQMQ_PQ_ AQNQ pQmq ,又N2MQNDMD（角平分線定理）AfLnE NDAQALpM= 1 （梅涅勞QP MB NA,即 FM LPE MDPQ斯定理），從而鯉二屮qp pmLbnAD，即生曇空，式得證.S.apc S bpc PD FM Pe MD PD_S ABC5.設0和I分別為 ABC的外心和內心， ABC的內切圓與邊BC, CA, AB分別相切于點D,E,F ,直線FD與CA相交

9、于點P，直線DE與AB相交于點Q，點M ,N分別為線段PE,QF的中點，求證：OI _MN證明：考慮 MBC與截線PFD由梅涅勞斯定理，有 空.圧.BD=1,PA FB DCPA AF BD AF s - a所以（s為ABC的半周長）CP FB DC DC scPA _ s _ aCA a c因此PA二b s-aa c這樣PE=PA AEbs-a2s-cs-as _ a 二 a ca 一c21 (scsa)(scsa)(sa)ME PE,MA =ME -AEs-a =2 a -ca -ca - c2(s-cjs-a) L (s-c) 十口2MC =ME ECs-c，于是 MA MC 二 ME

10、.acac因為ME是點M到ABC的內切圓的切線長，所以 ME2是點M到內切圓的幕,而MA MC是點M至U ABC外接圓的幕，等式MA MC =ME2表明點M到到 ABC外接圓與內切圓的幕相等，因此點 M在ABC外接圓與內切圓的根軸上，同理,點N也在在 ABC外接圓與內切圓的根軸上，故 OI MN .MCD6. O O與O O外切于P,過O O上一點C作O O切線交O O于A B兩點，AR BP分別 與O O交于A'、B', CP與O 0交于C'，連C'B'交O O于Q連AQ交CC'于K,求證：A、 B'、K三點共線。證明：O O與O O關

11、于 P位似， C2C/ OC', AB/ A'B'，又t O2C 丄 AB ,二 OQ'丄 AB ,O2C _A'B',BP BC C'A=C'B, CA'=CB', 乙 CB'A' .ZCA'B' , £ CPA' ,/BPC , PA CA在AP上取M使AM =BB',AM =BB', AMQA BB'C' ,- MB' / AQABC' s MB'C', £MB'C' Z

12、ABC' ZAQC',AM BB' BP BC而AA' AA' AP CA K1B' AM BC B'K2 w _ AA' _CA _ K2A'， K、K 為同一點, K K、延長A'B'交 AQ于 Ki,交CC'于KaK2A' KiA' A'Ka K1B K2B'，K2為同一點， A'、A'B' A'B'&B' _ K2B'，B'、K三點共線 K1BK2B'連 C'M 交 AB

13、于 N, C'A=C'B, /C'AP ZC'BP ,7.圓0是厶ABC的內切圓.D、E、F是BC、CA、AB上的切點，DD , EE , FF都是圓0的直徑求證：AD , BE , CF 共點.證：設直線 AD；BE；CF 交BC,CA, AB于A, B ,C 過D 作圓0的切線交 AB, AC于M , N 顯然 MN /BC= AMD ABA, AD N AA C 貝y MD 二 AD _ D N _ BA _ MD 則 BA 一 AA 一 A C _ A C _ D N連結OM , ON，記圓0半徑為r易證B、D、O、F與C、D、O、E分別共圓,則.FOD

14、" BEOD J/C 所以 MOD詁 FOD =2 BNOD 詔 EOD 馬 C Btn. mod 七巧,NOD 七吧,所以DDtan旦2 tan C2將代入得：誥tan 2tan 2同理可知:CBtanC2此時鬆黒fB" 根據塞瓦逆定理，可知aa,bb,cc三線共點即 AD : BE ；CF 共點.8.設A B、C、D、E為直線I上順次排列的五點，蟲二雯，F是丨外的一點，連結FC CE CD并延長至 G,恰使.FAC 二/AGD， FEC 二/EGB.求證：.FAC 二/FEC .證法過B作BH/ AF,交CF于H，則CF唱，又由CACDCECH CD。CF CE連結HD

15、 ,知HD / FE ,延長HB,HD分別交AG,EG于I.J ,連結IJ 因為.IBA=/FAC =/AGD，故 I、B、D、G 共圓;因為.JDE =/FEC 二/EGB，故 J、D、B、G 共圓，二 I、B、D、J、G 五點共圓，故 HBC=/DJI。T IH |_1 AF , JH LI EF , /.=GH GJ,故 IJ LAE，一 DJI = EDJ ,GA GF GEFAC "HBC "DJI "EDJ "FEC。證法二：作也EBG外接圓Ci，交射線CF于P，則BC CE = GC CP。又由 BC CE =AC CD，知 AC CD =

16、GC CP，所以 P、A、G、D共圓，記該圓為C2。下證P必在CF內.用反證法，假設P不在CF內。連結PA、PE,則AFE _ APE 二 APG EPG 二 ADG EBG =180： 一. BGD 又.FAE =. AGD，二 180： AFE FAE _180/BGD . AGD . 180 , 矛盾！于是，F 在 GP 延長線上.T FAC - AGD, . FEC - EGB，二 FE 為G 切線，FA 為 C2 切線，二 FA2 二 FP FG = FE2 = AF 二 EF , 故F A C= / F E C9.如圖，三角形ABC中，M為BC的中點，以 點，圓O在D E兩點的切線

17、交于點AM為直徑的圓 O分別與AG AB交于D E兩HCcos：二sin證明：設 AM =2r，則 DH 二 EH 二 r tanA ,設 BEH 二：,DAM = 一 CDH - = EAM 二,a sin B. . a sin C,cos J - sin4r4r二 CHBH2 -CH2=(BE HW/BEHEcosZCD HDCDHDcos)2 2二 BE -CD -2HD (BE cos : - CD cost)a 22a a sin B a a sin C(cos BcosC)2rtanA(-cosBcosC)424r 24r2 2aa(cos2B -cos2C)tan A(sin 2

18、B -sin 2C)8 82 2aasin A sin(C - B) tan A cos A sin(C - B) = 0 44BH -CH .10.在直角三角形ABC中，NB = 90°，它的內切圓分別與邊 BC, CA AB相 切與點D,E,F,連接AD,與內切圓相交于另一點P,連接PC, PE, PF.已知PC 一 PF , 求證：PE / BC .證：連接DE DF,則厶BDF是等腰直角三角形于是 NFPD =NFDB =45"，故NDPC=45 .又NPDC=NPFD，所以 PFDs PDC 所以PF PDFD - DC又由 NAFP=NADF，乂AEP=NADE

19、，所以， AFP s ADF AEPsEP AP AP FP ADE于是=，故由得DE AE AF DFEP PD DE " DC .因為.EPD/EDC，結合得， EPD s EDC所以， EPD也是等腰三角形，于是 PED - EPD 二.EDC，所以，PE / BC .11.如圖，圓Gi與G2外切于點P , PQ為兩圓的公切線.直線I交Gi于點A、B，交G2D ,且I不經過點P和Q .記AQ與CP的交點為 與AD平行.于點C、證：EFE , DQ與BP的交點為F 求的位置關系.RP為設PQ交直線I于點R，則顯然A、B在R的一側，C、D在R的另一側.因為 兩圓的公切線，所以由切割

20、線定理得RA?RB RP2= RC?RD ,所以CA RAd RDBD:1 + 一1 +RCRCRBRB考慮線段有向性，上式可記為Ca =BDRCRB .由直線EPC截DAQR得AE 辰QPRC=-1 ；EQ PRCA由直線FPB截DDQR得dFmqpRB鬃1 .FQ PRBD根據、可得|=|，從而EF與AD平行.AB12.設D是厶ABC的邊BC上的一點，點P在線段AD上，過點D作一直線分別與線段PB交于點M E,與線段 AC PC的延長線交于點 F、N。如果DE=DF求證：DM=DN .證：對厶AMD和直線BEP用梅涅勞斯定理得:Ai 匹 MB J(1),PD EM BA對AFD和直線NCP

21、用梅涅勞斯定理得:AC對AMF和直線BDC用梅涅勞斯定理得:CFABBMDP(2),PA匹=1(3)DF CAFNNDMD(1) (2)(3)式相乘得:DE fn 匹“,DF所以有EM ND DN一，所以DM -DE DN - DE又 DE=DFDMDM=DN13.、如圖，非等腰- ABC的內切圓O I切BC于點G,直線AI交 ABC外接圓于點 D , 過D作DP _ AD交CB延長線于點P 點B對AC邊的旁切圓切 AC于點E ,點C對AB 邊的旁切圓切AB于點F ,過點B作BK/EF交AD于點J ,交AC于點K .求證：(1) B, J,G,D四點共圓；(2) PI/EFAEF.KJCPGB

22、D(1) 證 明設 ABC 邊 長 為 BC = a,CA = b, AB = cAFa c -b2=BG,AEa b -c2又因為BK /EF ,且JA平分.BAK ,所以BJBA FAJK AK AEbg,從而JG/AC.由此 CG可知.DJG - DAC - DBG ,從而 B, J,G,D四點共圓， 因為.JGP=/IDP =90 ,所以 I ,G, D,P 四點共圓，所以.IPG =/IDGJBG,則 PI / /BK ,從而 PI /EF .14. 銳角三角形ABC中，O H分別為外心和垂心,BH交AC于點D,DE±OD交AB 點E,F （異于點A）在外接圓上且FH/OD

23、,證明：A,D,E,F四點共圓。A證：延長BD交圓于點M連MC并延長交圓于點 N,連NH FA FE、FMJ由垂心的性質有DM=D,O為MN的中點，故 NH/OD,又由題設FH/OD,因此N、H、F三點共線。而 MN為直徑，故有 MFLFN,又由題設DEI0D得MF/DE.而D為Rt MFH斜邊的中點，故/ FDE=/ EDH.因此/ EAF=/ BAF玄BMF=BD呂EDF.因此 A,D,E,F四點共圓。15. 如圖所示,設AD,BE,CF是 ABC的三條高,且交與點H,M是邊BC上的中點,丄BME的外接圓圓與CMF的外接圓圓T2交于M,N兩點,直線AN與圓兀分別交于另一點P,Q.證明：AD

24、平分.PDQ .證：輔助線如圖所示因為B,C,E,F四點共圓,所以,Ti與T2的根軸上因此，M,H,N 三FNH "FNM "FCM "FAH . 則 AN _ NH ,即 MN_PQ.因此，HB HE二HC HF .這表明，點H在圓點共線.于是，從而,A, F, H , N四點共圓.又AF _ FHPB_BC.同理,QC _ BC .于是,PB/ AD/ QC注意至U BNM 二 BEM CBE 二 DAC ,MNC "MFC "FCB "BAD.貝UBNC=/BNM MNC =/DAC BAD=/BAC.從而，A,B,C, N 四

25、點共圓.故 PMB =/PNB=/ANB=/ACB.這表明,PM/AC 所以,>PBM L厶ADC = 列 =-PB .同理，匹 =QC .兩式相除并注意到DC ADBD ADBD pbBM -MC ,得.貝U PBD U QCD 二 PDB =/CDQ .而 AD _ BC ,DC QC故AD平分 PDQ .16. 已知。Oi與。2內切于點P , O Oi上任一點A，弦AB、AC切。2于E、F，弦 AT過。2且交EF于H，交BC于D.求證：AH:AT=HD:HT證明：連接0E、CT、BH，過P作O Oi的直徑交O Oi于QR,rO O2 的半徑為 r , . BAT = ，貝U O2H

26、 二 r sin，AO2 :si n。又 AO2 02T =Q02 O2P =(2R-r) r O2T =(2R -r) sin ： , HT =2R sin ：二CT 二 BT H 為 ABC 的內心 二 AH : HD 二 AB: BD ABD "ATC , BAD "CAT設O Oi的半徑為T ，ABD s ：ATC二 AB: BD 二 AT :CT 二 AT : HT17. 設P是LI ABCD對角線BD上一點，滿足.PCB ACD , L ABD的外接圓與對角線AC交于點E.證明：.PEB=/AED.提示：.先假設.BAD乞90，當.BAD 90時類似可證延長DE

27、與BC交于點L,連接PL.先證C、D P、L四點共圓再證B、P、E、L四點共圓 故 PEB PLB "PDC "DBA "AED18.如圖，圓Oi、圓02與圓。3相交于點P，圓Oi和圓02的另一個交點為 A,經過點A的一條直線分別交圓 01、圓02于點B、C , AP的延長線交圓 03于點D，作DE/BC交圓O3于點E，再作EM、EN分別切圓Oi、圓02于M、N .22求證：EM -EN =DE證明:連EP交圓0<!、圓02與BC分別為由相交弦定理及切割線定理得:QA QB 二 QS QPQA QC -QT QP0兩式相加得： QA BC =ST QP =B

28、C QPST QA所以：BC QP EPST 一 QA 一 ED，19.在厶ABC中,設AD為角平分線，AH為高。分別以AB, AC為直徑向外作半圓， AD的垂直平分線與這兩個半圓分別交于 P和Q證明D H P、Q四點共圓。【解析】記PQ與 AB AC分別交于M和N,記厶DHP的外接圓與PQ的另一個交點 為R,只需證R與Q重合即可。因為 A, B, H, P 四點共圓，所以/( ARPR= /(PRDR= /(PHDH= /(ARAB<(注：這樣標注是為了兼顧點的不同位置關系，角是有向的，但周期為180。)從而，/(ACAR= /(AC PR- /(ARPR= Z(PFJAE)- / (

29、AR A護 /(PRAF) =Z( DP PR= /( DH HR= /(CH HR。又 DE/BC ,二AQPL DEP二QP EPQAED二 DE BC =EP ST =EP (ES -ET) =EP ES - EP ET二 EM 2EN2因此，A, C, H, R四點共圓，/ AR(=90。，從而R與Q重合，結論得證20.如圖，已知 ABC的外角/ EAC的平分線與 ABC的外接圓交于點 D，以CD為直徑的圓分別交 BC ,CA于點p、Q,求證：線段PQ平分 ABC的周長.證明：連結 DB、DP、DQ，因/ ABD = / ACD ,/ EAC 二/ ABC / ACB，則/ EAC =

30、 / DBC / DCB , 即 2 / DAC 二/ DBC / DCB ;又/ DAC 二/ DBC , 則/ DBC = / DCB ,故厶DBC為等腰三角形1因DP丄BC，則CPBC .在圓內接四邊形 ABCD中，2由托勒密定理得 AC BD = BC AD AB CD，因BD二CD ,則 AC AB =BC AD =2BP AD，又 dq 丄 AC，則 adQ s BDP , BDBDAQ AD 亦BP ADAC - AB所以，即 AQ.故 AC - AB = 2AQ，即 AQ.BP BDBD21 AC - AB 1 i從而 CQ CP =AC -AQ AB = ACAB (AB B

31、C CA).2 2 2 221.如圖，銳角ABC外心為O，直線BO和CO分別與邊 AC,AB交于點B',C'.直線B'C'交.ABC外接圓于點P,Q.若AP二AQ,求證：ABC是等腰三角形.證明： AP=AQ,. APQ =/AQP. 連接 BP,QC,則 PBA 二 AQP 二 APC'.又.PAB為公共角，所以 UPC'L厶ABP.則 AC'AB 二 AP2.同理：AB' AC 二 AQ2.又 AP =AQ,所以 AC' AB = AB'AC.貝U C',B',C,B 共圓.ABOACO.連接A

32、O ,知：等腰 ABO和等腰 ACO全等.則AB二AC.所以 ABC是等腰三角形.22. 如圖，圓0與圓O2的半徑相等，交于 X、Y兩點.DABC內接于圓Oi，且其垂 心H在圓。2上點Z使得CXZY是平行四邊形證明：AB、XY、HZ三線共點.設圓Oi、O2的半徑為R, XY中點為M，則Z、C關于M對稱,稱，因此點Z在圓O2上記DABH的外接圓為圓O3，則圓O3的半徑為AB =AB= AB2si n?AHB=2si n(p fiACB) = 2s in ACB我們證明Z也在圓O3上.由圓O1、O2、O3的半徑均為R可知XO1YO2、AO3BO1都是菱形.記AB中點為N，則N也是OiQ的中點，注意

33、到 H與Oi分別是DABC的垂心與外心,故 CH = 2O1N=:o1o3，即 Co1= hO3 .又 xZ=cY，所以O2Z = O2X + XZ= YO1 + CY= CO1 = HO3,又H是圓O2、O3的一個交點，貝y Z是兩圓的另一交點這樣 AB、XY、HZ恰是圓Oi、。2、O3兩兩的公共弦，由根軸定理知它們三線共點.O.出屮2,出小4分別是23. 如圖，四邊形 ABCD是圓外切四邊形，內切圓圓心為AOB, BOC, COD, DOA 的垂心，求證：四點共線.設對角線 AC與BD交于點P，我們證明HjHz'Hs'Hd'P五點共線這只需證明Hi,H4,P共線，因

34、為同理會有HH?, P；H3,H4,P分別共線DH DP因為DH4 _ AOBH! _ AO，所以Hi,H4,P共線等價于4.記BH1 BP.OAB =. OBC = 一：，. OCD二，.ODA二、：，并不妨設O半徑為1.則由垂心的性AO1質，DH4=2R4cos，其中R4 是 DOA外接圓的半徑.同理tan 6 sin ata n6BH11sin _：itan :'這樣DH 4BH1tan :tan熟知AB 1 Jtan 工 tan :再注意到- - - - :，我們有sin（二川尹）sin（：；'"）2sin、. cos、.DP _ S adc _ AD DC sin2、. _ sin ： sin、 sin sin、_ tan：BP Sabc _AB BC sinY： " sin（_： ：-） sin）tan、.sin j sin sin - sinDH 4BH1DPbp成立24. 如圖，以直角ABC直角邊AB為直徑作L O，交斜邊AC于點E ,連接CO并延長， 交L O于F,D兩點，連接