1、三年4考 高考指數(shù):了解曲線與方程的對應關(guān)系.第1頁/共62頁1.求點的軌跡、軌跡方程是高考的重點;一般用直接法、定義法或相關(guān)點法求解,所求軌跡一般為圓錐曲線；2.經(jīng)常在解答題的第一問中出現(xiàn)，屬中低檔題目；有時也在選擇、填空題中出現(xiàn).第2頁/共62頁1.曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點的坐標都是_；(2)以這個方程的解為坐標的點都在_.那么，這條曲線叫作_，這個方程叫作_.這個方程的解曲線上方程的曲線曲線的方程第3頁/共62頁【即時應用】(1)思考：在方程的曲線與曲

2、線的方程的定義中，若只滿足“曲線上點的坐標都是這個方程的解”，那么這個方程是該曲線的方程嗎？提示：不一定是. 因為只滿足“曲線上點的坐標都是這個方程的解”說明這條曲線可能只是方程所表示曲線的一部分，而非整個方程的曲線.第4頁/共62頁(2)思考：在方程的曲線與曲線的方程的定義中，若只滿足“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”，那么該曲線是這個方程的曲線嗎？提示：不一定是. 因為只滿足“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”說明這個方程可能只是部分曲線的方程，而非整個曲線的方程. 第5頁/共62頁(3)方程x2+xy=x所表示的曲線是_.【解析】因為方程x2+xy=x可化為：x(x+y-1)=0，

3、所以x=0或x+y-1=0，表示兩條直線,因此方程x2+xy=x表示的曲線為兩條直線.答案：兩條直線第6頁/共62頁2.圓錐曲線的共同特征及求曲線方程的步驟(1)圓錐曲線的共同特征圓錐曲線上的點到_的距離與它到_的距離之比為定值e.一個定點一條定直線e e的范圍的范圍圓錐曲線表示的曲線圓錐曲線表示的曲線_ _ _ 0e1e=1橢圓雙曲線拋物線第7頁/共62頁(2)求曲線方程的步驟 建系設點列式代換驗證建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼弟壽E上的任意一點一般設為P（x，y）列出或找出動點P滿足的等式將得到的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程驗證所求方程即為所求的軌跡方程第8頁/共62頁【即時應用】(1)已知動點P到

4、定點F(1,0)的距離與到定直線l：x=4的距離之比是 ，則點的軌跡是_，其方程為_.(2)已知點A(-2,0)、B(-3,0)，動點P(x,y)滿足 =x2+1，則點P的軌跡方程是_.(3)已知ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|=3,則頂點A的軌跡方程為_.12PA PB 第9頁/共62頁【解析】(1)由圓錐曲線的共同特征知點P的軌跡為橢圓且焦點在x軸上，c=1, a=2, 方程為 (2)由題意得 =(-2-x,-y), =(-3-x,-y)，所以 =(-2-x,-y)(-3-x,-y),又因為 =x2+1,所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,c

5、1e,a222bac3,22xy1.43PA PBPA PB PA PB 第10頁/共62頁化簡得：y2+5x+5=0.(3)設點A(x,y)，因為B(0,0)，所以AB的中點D( ),又C(5,0),|CD|=3，所以化簡得：(x-10)2+y2=36.又ABC中的三點A、B、C不能共線，所以去掉點(4,0)和(16,0).x y,2 222xy(5)(0)3,22第11頁/共62頁答案：(1)橢圓 (2)y2+5x+5=0(3)(x-10)2+y2=36(除去點(4,0)和(16,0) 22xy143第12頁/共62頁3.直線與圓錐曲線的交點設曲線C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)

6、=0,M(x0,y0)是曲線C1與C2的一個交點 ，故求曲線交點即求方程組 的實數(shù)解._f(x0,y0)=0g(x0,y0)=0f x,y0g x,y0第13頁/共62頁【即時應用】(1)曲線 與曲線C2:y=1(x+1)2的公共點的個數(shù)是_.(2)直線y=2x+3與拋物線y=2x2+x相交于A、B兩點，則|AB|_.221x1C :y14第14頁/共62頁【解析】(1)由 消去x得4y2y3=0,(1)244(3)=490，當y1= 時得同理可得y2=1時得x=1,所以公共點的個數(shù)是3.222x1y14y1x1123yy1,4 ，347x1,2第15頁/共62頁(2)設A(x1,y1),B(

7、x2,y2)由 消去y，整理得2x2x3=0 x1，x2是關(guān)于x的方程的兩根，x1+x2 ,x1x2=又|AB|其中k=2，則有答案：(1)3 (2)2y2x3y2xx12322212121kxx4x x，22135 5|AB|12( )4 ().2225 52第16頁/共62頁 直接法求軌跡方程【方法點睛】1.直接法如果動點運動的軌跡簡單明確，易于表示成含x、y的等式，從而得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.第17頁/共62頁2.應注意的問題(1)在用直接法求軌跡方程時，在化簡的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視的.(2)若方程的化簡過程是恒等變

8、形，則最后的驗證可以省略. 第18頁/共62頁【例1】(1)已知點M、N為兩個定點，|MN|=6,且動點P滿足 =6，求點P的軌跡方程.(2)已知直角坐標平面上的點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0)，求動點M的軌跡方程.【解題指南】(1)先建立平面直角坐標系，設出動點P的坐標，依據(jù) =6得出軌跡方程；(2)可設出動點M的坐標，依據(jù)動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0)即可得出方程.PM PN PM PN 第19頁/共62頁【規(guī)范解答】(1)以點M、N所在的直線為x軸，MN的中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則M(-3,0)、N(3

9、,0),設P(x,y)，則 =(-3-x,-y)， =(3-x,-y), =(-3-x,-y)(3-x,-y)，又因為 =6,所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6，化簡整理得：x2+y2=15.PMPN PM PN PM PN 第20頁/共62頁(2)設直線MN切圓C于N點，則動點M的集合為：P=M|MN|=|MQ|，因為圓C的半徑|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，設點M的坐標為M(x,y)，則化簡整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0). 2222xy1x2y ，第21頁/共62頁【互動探究】本例(2)中的條件不變，求動點M的軌跡

10、.【解析】由例題解析可知：曲線的方程為：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0，因為0,所以當=1時，方程化為4x-5=0,它表示一條直線;當1時，方程化為：它表示圓心為 半徑為 的圓.222222221 3(x)y11 ，222(,0),1 221 3|1| 第22頁/共62頁【反思感悟】1.從兩個題目的求解可以看出，求軌跡的方程，其關(guān)鍵是建立平面直角坐標系后尋找等量關(guān)系，從而得出方程；2.求解軌跡方程時，一定要注意檢驗，以防產(chǎn)生增根或漏解.第23頁/共62頁【變式備選】在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(-1，1)關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于- ，求動

11、點P的軌跡方程.【解析】因為點B與點A(-1，1)關(guān)于原點O對稱，所以點B的坐標為(1，-1)，設點P的坐標為(x,y)，由題意得化簡得x2+3y2=4(x1)，故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x1).13y 1 y11,x1 x13 第24頁/共62頁 定義法求軌跡方程【方法點睛】定義法求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫作定義法，其關(guān)鍵是理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義.第25頁/共62頁【提醒】利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果

12、不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制. 第26頁/共62頁【例2】(1)已知圓C:x2+y2+6x-91=0及圓內(nèi)一點P(3,0),則過點P且與圓C內(nèi)切的動圓圓心M的軌跡方程為_.(2)(2012九江模擬)已知動圓P與圓C1:(x+5)2+y2=9和圓C2:(x-5)2+y2=1都外切，則動圓圓心P的軌跡方程為_.第27頁/共62頁【解題指南】(1)由兩圓內(nèi)切可得出兩圓圓心距與兩圓半徑差之間的關(guān)系|CM|=10-r(r為動圓M的半徑)，再注意|PM|=r，從而有|CM|+|PM|=10，由橢圓的定義得出所求軌跡為橢圓；(2)由動圓P與圓C1、圓C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2

13、P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由雙曲線的定義即可得出所求軌跡及軌跡方程.第28頁/共62頁【規(guī)范解答】(1)因為圓C:x2+y2+6x-91=0的方程可化為：(x+3)2+y2=100，所以圓心坐標為C(-3,0)，半徑為10；設動圓圓心M的坐標為M(x,y)，半徑為r，因為圓C與動圓M內(nèi)切，所以|CM|=10-r，又因為動圓過點P，所以|PM|=r，因此|CM|+|PM|=106=|CP|，所以動圓圓心M的軌跡為橢圓，其中長軸長為10，焦距等于6，所以橢圓方程為： 即所求軌跡方程.答案：22xy12516 ，22xy12516第29頁/共62頁(2)設動圓圓心P的坐標為P

14、(x,y)，半徑為r，因為動圓P與圓C1外切，所以|C1P|=r+3，又動圓P與圓C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由雙曲線的定義可知其軌跡為雙曲線的一支(右支).由圓C1:(x+5)2+y2=9和圓C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以雙曲線的實軸長為2，焦距為10，所以所求軌跡方程為答案：22yx1 x1 .2422yx1(x1)24第30頁/共62頁【互動探究】在本例(2)中：若動圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動圓圓心P的軌跡是什么？若動圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡是什么？若把圓C1的半徑改為1，

15、則動圓圓心P的軌跡是什么？第31頁/共62頁【解析】因為動圓P與圓C1外切，所以|C1P|=r+3，又動圓P與圓C2內(nèi)切，所以|C2P|=r-1；因此|C1P|-|C2P|=4，由雙曲線的定義可知其軌跡為雙曲線的右支.因為動圓P與圓C2外切，所以|C2P|=r+1，又動圓P與圓C1內(nèi)切，所以|C1P|=r-3，因此|C1P|-|C2P|=-4，由雙曲線的定義可知其軌跡為雙曲線的左支.第32頁/共62頁因為動圓P與圓C1外切，所以|C1P|=r+1，又動圓P與圓C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|=|C2P|，所以點P在C1C2的垂直平分線上，即所求軌跡為兩定圓圓心連線的垂直平分線.

16、第33頁/共62頁【反思感悟】1.本例兩個題目都是求軌跡方程，它們的共同特點是利用題設條件，找到符合某種曲線的定義，即得出點的軌跡，進而求出軌跡方程；2.利用定義求軌跡或軌跡方程時，一定要注意曲線定義的內(nèi)涵及外延，有一點不符合定義就有可能得出另外的結(jié)論.第34頁/共62頁【變式備選】已知A(- ,0)，B是圓F：(x- )2+y2=4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于點P，求動點P的軌跡方程.【解析】如圖，連接PA.1212第35頁/共62頁依題意可知|PA|=|PB|，|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,P點軌跡為以A(- ,0),F( ,0)為焦點，長半軸

17、長為1的橢圓.其方程可設為又c= ,a=1,b2=a2-c2= .故P點的軌跡方程為1212222xy1.1b1234224xy1.3第36頁/共62頁 相關(guān)點(代入)法求軌跡方程【方法點睛】相關(guān)點(代入)法動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x,y)的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x、y表示成x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點P的軌跡方程.【提醒】用代入法求軌跡方程是將x、y表示成x、y的式子，同時注意x、y的限制條件.第37頁/共62頁【例3】設F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且

18、 當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程.【解題指南】設點N，M，P的坐標分別為N(x,y)，M(x,0)，P(0,y),可由已知條件得出x、y與x、y之間的關(guān)系，同時得到x、y滿足的方程，用代入法即可求出軌跡方程.MN2MP ，PMPF，第38頁/共62頁【規(guī)范解答】設M(x,0),P(0,y)，N(x,y),由 得(x-x,y)=2(-x,y),所以 解得 又因為 =(x,-y)， =(1,-y),所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+( )2=0，即y2=4x.因此所求的軌跡方程為y2=4x.MN2MP ，xx2xy2y ，xxyy2 ，PMPF,PM PFy2第3

19、9頁/共62頁【反思感悟】1.解答本題的關(guān)鍵是從已知條件中發(fā)現(xiàn)x、y之間的關(guān)系式及x、y與x、y之間的關(guān)系；2.用代入法求軌跡方程，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)相關(guān)點的軌跡方程，同時要注意驗證應該刪除的點或遺漏的點，以防增解或漏解.第40頁/共62頁【變式訓練】設線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，且|AB|=5， 則點M的軌跡方程為( )(A) (B) (C) (D)32OMOAOB55 ，22xy19422yx19422xy125922yx1259第41頁/共62頁【解析】選A.設M(x,y)，A(x0,0),B(0,y0),由則 解得 由|AB|=5，得( x)2+( y)2=25,化簡得 ，

20、故選A.003232OMOAOB,x,yx ,00,y,5555 得003xx5,2yy5005xx35yy2，535222xy194第42頁/共62頁【滿分指導】求軌跡方程主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011廣東高考)在平面直角坐標系xOy中，直線l:x=-2交x軸于點A.設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足MPO=AOP.(1)當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；第43頁/共62頁(2)已知T(1，-1)，設H是E上的動點,求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標；(3)過點T(1，-1)且不平行于y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直

21、線l1的斜率k的取值范圍.【解題指南】(1)由已知可得，動點M到直線l與到原點O的距離相等，或點M在x軸負半軸上，從而可求出軌跡方程；(2)利用拋物線的定義，其上的點到準線的距離等于到焦點的距離，可得答案；(3)由分類討論可得結(jié)論.第44頁/共62頁【規(guī)范解答】(1)如圖所示，連接OM，則|PM|=|OM|,MPO=AOP,動點M滿足MPl,或M在x軸的負半軸上，設M(x,y)當MPl時，|MP|=|x+2|,|OM|=|x+2|= ，化簡得y2=4x+4(x-1) 2分22xy，22xyxyoMAlx=-2PM第45頁/共62頁當M在x軸的負半軸上時，y=0(x-1).綜上所述，點M的軌跡E

22、的方程為y2=4x+4(x-1)或y=0(x-1). 4分(2)由(1)知M的軌跡是頂點為(-1,0)，焦點為原點的拋物線和y=0(x-1).若H是拋物線上的動點，過H作HNl于N，由于l是拋物線的準線，xyolx=-2NNHTH第46頁/共62頁根據(jù)拋物線的定義有|HO|=|HN|，則|HO|+|HT|=|HN|+|HT|當N，H，T三點共線時，|HN|+|HT|有最小值,|TN|=3，求得此時H的坐標為(- ,-1). 6分若H是y=0(x-1)上的動點,顯然有|HO|+|HT|3,綜上所述，|HO|+|HT|的最小值為3,此時點H的坐標為(- ,-1) 8分3434第47頁/共62頁(3

23、)如圖，設拋物線頂點B(-1,0)，則直線BT的斜率kBT=- ,點T(1,-1)在拋物線內(nèi)部,過點T且不平行于x,y軸的直線l1必與拋物線有兩個交點，則直線l1與軌跡E的交點個數(shù)分以下四種情況討論： 12xyol1l1l1TB第48頁/共62頁當k- 時，直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點,當- k0時，直線l1與軌跡E有且只有三個不同的交點 10分當k=0時，直線l1與軌跡E有且只有一個交點,當k0時，直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點.綜上所述，直線l1的斜率k的取值范圍是(-,- (0,+). 12分121212第49頁/共62頁【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我

24、們可以得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示解答本題時有兩點容易造成失分解答本題時有兩點容易造成失分: :(1)(1)對于第對于第(1)(1)問中，點問中，點M M的位置沒有分類討論，只按照一的位置沒有分類討論，只按照一種情形解答；種情形解答；(2)(2)求第求第(3)(3)問中問中k k的取值范圍時，不要忽視軌跡的取值范圍時，不要忽視軌跡E E可能為可能為一條射線，亦可能為一條拋物線，另需分一條射線，亦可能為一條拋物線，另需分k=0k=0或或k0k0討論，討論，以免漏解以免漏解. .第50頁/共62頁備備考考建建議議解決軌跡的問題時，要注意以下幾點：解決軌跡的問題時，要注意以下幾點：(

25、1)(1)當動點當動點( (或動直線或動直線) )的位置不確定時，要注意對它們所的位置不確定時，要注意對它們所有可能的情形進行必要的分類討論，以防以偏概全或遺有可能的情形進行必要的分類討論，以防以偏概全或遺漏一種或幾種情況；漏一種或幾種情況；(2)(2)解決直線與曲線的交點問題，不僅僅要考慮方程解的解決直線與曲線的交點問題，不僅僅要考慮方程解的個數(shù)，還要注意數(shù)形結(jié)合個數(shù)，還要注意數(shù)形結(jié)合. .第51頁/共62頁1.(2012成都模擬)已知兩定點A(-2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )(A)(B)4(C)8(D)9第52頁/共62頁【解析】選B.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|，設點P的坐標為(x,y),則(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2，即(x-2)2+y