1、 一、主一、主 要要 內內 容容二、典二、典 型型 例例 題題習習 題題 課課2/22一極限的概念一極限的概念二延續的概念二延續的概念一、主要內容一、主要內容3/22左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質的性質極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準那么存在的準那么無窮小的比較無窮小的比較極限的性質極限的性質數列極限數列極限函函 數數 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質及其性質獨一性獨一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關系關系無窮大無窮大 )(li

2、mxf4/22無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數為無窮小無窮大的倒數為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮小的倒數為無窮大零的無窮小的倒數為無窮大. .無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大5/22定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和有限個無窮小的代數和仍是無窮小仍是無窮小.定

3、理定理2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質無窮小的運算性質6/22定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則

4、為為常常數數而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果推論推論2 23 3、極限的性質、極限的性質7/224 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.延續函數代入法求極限延續函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限利用左右極限求分段函數極限.f.利用無窮小交換求極限；利用無窮小交換求極限；g.利用兩個重要極限求極限利用兩個重要極限求極限;h.利用夾逼準那么求極限利用夾逼

5、準那么求極限.8/22左右延續左右延續在區間在區間a,ba,b上延續上延續延續函數延續函數的的 性性 質質初等函數初等函數的延續性的延續性延續點定義延續點定義連連 續續 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延續的延續的充要條件充要條件延續函數的延續函數的運算性質運算性質非初等函數非初等函數的延續性的延續性 振蕩延續點振蕩延續點 無窮延續點無窮延續點 騰躍延續點騰躍延續點 可去延續點可去延續點第一類第一類 第二類第二類9/22二、典型例題二、典型例題例例1 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數求函數xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214x

6、xx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即10/22的定義域為的定義域為則則的定義域為的定義域為若若)(),1,0()(xefxf例例2 2解解 )1,0( fD10 xe)0,( x故故)0,(11/22例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當當解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nx

7、xn時時當當12/22例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf )()(1limxgxf)().()(1)(1 limxgxfxfxf 存存在在若若,)().(lim(Axgxf )().(lim)(1)(1limxgxfxfxf .Ae 13/22310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2

8、0 21.21e 原原式式31sin1sintansintansin10sin1sintan1limxxxxxxxxxxx ）（14/22例例5 5.)11(lim2nnnn 求求解解 nnnn)11(lim2122lim nnn1lim12222)11(lim nnnnnnnn1e .e nnnn122)11( 15/22例例6 6解解處處連連續續，在在已已知知0,020)1()(1 xxxaxxfx.的值的值求求a)(lim0 xfx xxax10)1(lim aaxxax 10)1(limae 2)0( f又又由右連續定義知由右連續定義知2 ae.2ln a16/22例例7 7).()2

9、1(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點點且且上上連連續續在在閉閉區區間間設設證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續上連續在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 17/22則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點定理知由零點定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上

10、綜上,1 , 021, 0 必有一點必有一點.)()21(成成立立使使 ff 18/22例例8 8)0, 0, 0.()3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解”型”型“ 1xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 原原式式 xcbaxxxx33lim0 xcbaxxxx3111lim0 )1lim1lim1lim(31000 xcxbxaxxxxxx )lnln(ln31cba 3ln abc 3lnabce 原原式式3abc 19/22例例9 9.)(sinlimtan2xxx 求求解解”型”型“ 1.)1sin1(lim)1(sintan1sin12 xx

11、xxx）（原式原式 )1(sintanlim2 xxx )1(coscotlim0 ttt)2(sincoslim20tttt 0 0e 原式原式.1 tx 2 令令20/22.,432lim.23的的值值求求若若kxkxxx 分分 析析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k21/22. .的的值值、求求若若推推廣廣：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 39)(li

12、m23又又039 a故故.6 a3lim23 xaxxbx36lim23 xxxx3)2)(3(lim3 xxxx)2(lim3 xx5 22/22.,011lim.2的值的值、求求若若babaxxxx 分分 析析01)1()()1(lim11lim22 xbxbaxabaxxxxx當且僅當當且僅當,001 baa 11ba23/22.1的值、求若推廣：babaxxxx,1lim2分 析bxxaxaaxxxxx 11)1()1(lim11lim22當且僅當當且僅當,101 baa 21ba24/22測測 驗驗 題題BD25/22BCC26/22DDB27/22二二、求求下下列列函函數數的的定定

13、義義域域：;arctan)12sin(1xxy 、2、12)9lg()(2 xxx DD28/22五五、 求求極極限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；29/225 5、當當0 x時時，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx . .六六、 設設有有函函數數 1, 1)1(1,sin)(xxaxaxxf試試確確定定a的的值值使使)(xf在在1 x連連續續 . .七七、 討討論論函函數數xxxxf2sin11arctan)( 的的連連

14、續續性性，并并判判斷斷其其間間斷斷點點的的類類型型 . .30/22八八、 證證明明奇奇次次多多項項式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一個個實實根根 . .31/22一、一、1 1、B B； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、C C； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、C C； 8 8、B B； 9 9、D D； 10 10、D D；二、二、1 1、);,( 2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(, 0, 1, 22 xxxgcba. .四、四、 1, )1(0, 01, 1)(1xxxxxxf. .五、五、1 1、2 2

15、； 2 2、41； 3 3、2e； 4 4、1 1； 5 5、xxsin； 6 6、22. .檢驗題答案檢驗題答案32/22六六、 ka22 ), 2 , 1 , 0( k七七、0 x可可去去間間斷斷點點, , 1 x跳跳躍躍間間斷斷點點, , ), 2, 1(2 nnx無無窮窮間間斷斷點點, , x為為其其它它實實數數時時)(xf連連續續. .33/22. .的的值值求求若若例例kxkxxx,432lim.123 分 析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k34/22. .的的值值、求求若若推推廣廣：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 3 39 9)(lim23又又0 a3 39 9故故.6 a3lim2