1、第三節(jié)第三節(jié) 隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)所確定的函數(shù)的導數(shù)一、由方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)一、由方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù). )( 0) ,f( 隱隱函函數(shù)數(shù)稱稱為為所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyx .)(顯顯函函數(shù)數(shù)形形式式的的函函數(shù)數(shù)稱稱為為xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的隱函數(shù)的顯化顯化問題問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 視視 y=y(

2、x) , 應應用復合函數(shù)的求導法用復合函數(shù)的求導法直接直接對對方程方程 f(x, y)=0 兩邊求導，然后解出兩邊求導，然后解出 y 即得隱函數(shù)的導數(shù)即得隱函數(shù)的導數(shù).例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , ),( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx時時由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切線線方方程程及及法法線線方方程程上上點點求

3、求過過的的方方程程為為設設曲曲線線cxyyxc 解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切線方程為于是，所求切線方程為, )23(23 xy. 03 yx即即, 2323 xy法法線線方方程程為為. xy 即即注注 本例中的方程形為本例中的方程形為 f(x, y)=g(x, y), 其確定的其確定的y=y(x) 的求導方法仍然是的求導方法仍然是.。二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法利用隱函數(shù)求導法求顯函數(shù)導數(shù)的方法。利用隱函數(shù)求導法求顯函數(shù)導數(shù)的方法。對數(shù)求導法對數(shù)求導法： 先先對對

4、y=f(x)（0）兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)(或加絕對值后或加絕對值后兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)), 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).適用范圍適用范圍: :, )( )1()( xvxu函函數(shù)數(shù)冪冪指指型型方方、開開方方運運算算的的函函數(shù)數(shù)。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(例例3 3解解. , )0( sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)等式兩邊取對數(shù), 得得, lnsinlnxxy 得得求求導導上上式式兩兩邊邊對對 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（

5、求求出出能能否否用用問問： xx顯顯式式求求導導法法例例4 4解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy 得得求導求導上式兩邊對上式兩邊對 , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求設設等式兩邊取絕對值再取對數(shù)，得等式兩邊取絕對值再取對數(shù)，得.) ) , 1()1 , 4()4 ,( , ), 4()4,( 函函數(shù)數(shù)不不恒恒正正；上上導導數(shù)數(shù)存存在在在在 d三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)., )()( 參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定

6、定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為由由此此間間的的函函數(shù)數(shù)關關系系與與可可確確定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt , )2( , 22xty 此此參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定的的函函數(shù)數(shù)得得.4)( 2xxyy 即即消去參數(shù)消去參數(shù) t問題問題: : 消參數(shù)困難或無法消去參數(shù)時如何求導消參數(shù)困難或無法消去參數(shù)時如何求導?);(i )( )( i )( 1xtttxxtxtxxxt 上上有有可可導導的的反反函函數(shù)數(shù)在在對對應應的的恒恒不不為為零零單單調調、可可導導且且在在上上若若, i )( 上上可可導導在在又又若若ttyy dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ,

7、)()(txty )()(txtydtdxdtdydxdy ,i )()( t ttyytxx 對對且且上上可可導導在在 , i )( )()( 1xxyxtytyy : )( )()( 的求導法的求導法確定確定xyytxxtyy 例例5 5解解)()( txtydxdy , cos1sintt taatacossin 2cos12sin 2 tdxdy. 1 時時的的切切線線方方程程。在在求求擺擺線線 2 )cos1()sin( ttayttax, ),12( , 2 ayaxt 時時又又當當?shù)玫?所求切線方程為所求切線方程為, )12( axay. )22( axy即即例例6 6解解.)(

8、;)(,sin,cos,的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力 2 1 21 002000ttgttvytvxv xyovxvyv0v. , , )1( 00可可由由切切線線的的斜斜率率來來反反映映切切線線方方向向時時刻刻的的即即軌軌跡跡在在時時刻刻的的運運動動方方向向在在tt)cos()21sin()()( 020 tvgttvtxtydxdy, cossin00 vgtv . cossin 0000 vgtvdxdytt 軸方向的分速度分別為軸方向的分速度分別為、刻沿刻沿炮彈