1、二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 微積分的基本公式 第五章第五章 第二節1 在變速直線運動中在變速直線運動中, 已知位置函數已知位置函數 s (t) 與與速度函數速度函數 v (t) 之間有關系之間有關系:( )( )s tv t 物體在時間間隔物體在時間間隔T1, T2內經過的路程為內經過的路程為TTsv tt 21( )d一、引例一、引例這里這里s (t)是是v (t)原函數原函數.s Ts T21()()2二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數( )yf x xbaoy( )x xxx ( )

2、( )dxaxf tt 就是就是 f (x) 在在a, b上上的一個原函數的一個原函數, 即即定理定理1. 若若 f (x) C a, b, 則變上限函數則變上限函數d( )( )dd( )()xaxf ttxf xaxb 意義意義: 定理定理 1 證明了連續函數的原函數是存在的證明了連續函數的原函數是存在的;3變限積分求導變限積分求導:( )f x ( )( )fxx ( )( ) ( )( )fxxfxx( )( )d( )d( )ddaxxaf ttf ttx d( )ddbxf ttx ( )d( )ddxaf ttx ( )( )d( )ddxxf ttx xaf t dt 4例例1

3、解解求求.cos02 xtdtdxd xtdtdxd02cos例例2解解求求.321 xtdtedxd這里這里dtext 321是是3x的函數的函數, , 因而是因而是x的復合函的復合函令令,3ux 則則 utdteu1,)(2根據復合函數求根據復合函數求有有數數, ,導公式導公式, ,.cos2x 5232xeu 623xex 321xtdtedxd23)(xu dxdudtedudut 126220d1)1d ;dxttx 324d12)d .d1xxtxt 練習練習. 求下列導數求下列導數7例例3解解.lim21cos02xdtextx 求求分析分析: : 這是這是00型未定式型未定式,

4、 , 應用洛必達法則應用洛必達法則. .dtedxdxt 1cos2)(coscos12 xdtedudxuut)(cos2cos xex,sin2cos xex dtedxdxt cos1221cos02limxdtextx 故故完完xexxx2sinlim2cos0 .21e 8三、牛頓萊布尼茲公式三、牛頓萊布尼茲公式( )d( )( )baf xxF bF a (牛頓牛頓 - 萊布尼茲公式萊布尼茲公式)(微積分基本公式微積分基本公式) 定理定理2. 設設F (x)是連續函數是連續函數 f(x)在在a, b (或或b, a)上的一個原函數上的一個原函數, 則則記作記作)(xFab9例例4解

5、解求求.102dxx 33x是是2x的一個原函數的一個原函數, , 由牛頓由牛頓-萊布尼茨公式得萊布尼茨公式得: :例例5 求求.112 dxx當當0 x時時, ,x1的一個原函數是的一個原函數是|,|ln xdxx 1212ln1ln . 2ln 解解dxx 1023031 .31 1033x 12|ln x10例例6解解計算計算.|12|10dxx 因為因為|12| x所以所以dxx 10|12|02/122/102)()(xxxx .21 完完 21, 1221,21xxxxdxxdxx 12/12/11)12()21(11練習練習解解求定積分求定積分.cos13/2/2dxx 完完dxx 3/2/2cos1 dxx 3/2/|sin| dxxxdx 3/002/sinsin 3/002/coscos xx .23 dxx 3/2/2sin 12yoxsinyx 例例7. 計算正弦曲線計算正弦曲線 y=sinx 在在0, 上與上與x軸所軸所 圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積. 解解:0dsinxxAxcos0112131. 微積分基本公式微積分基本公式( )dbaf xx 積分中值定理積分中值定理( )()Fba ( )( )F bF a微分中值定理微分中值定理( )()fba 牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式2. 變限積分求導