1、求數(shù)列通項公式的八種方法、公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項 二、累加、累乘法1、累加法適用于：an 1 an f(n)a2ai若 an1 an f(n)(n 2),則a3La2f(1)f(2)Lanf(n)兩邊分別相加得an 1a1f(n)例1已知數(shù)列an滿足an 1an2n 1,ai1,求數(shù)列an的通項公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an1 an 2n 1 則2所以數(shù)列an的通項公式為an n 。3 ,求數(shù)列%的通項公式。例2已知數(shù)列烝滿足an 1 an 2 3n 1, a1解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an1 an 2 3n 1 則an (an

2、 an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2) (a2 a1) a1n 1n 2(2 31) (2 31) L(2 31) (2 3 1) 32(3n 1 3n 2 L3231) (n 1) 3n 1、(n 1) 323(1 3 )1 33n 3 n 1 3 3n n 1所以 an3n n 1.解法二：an13an23n1 兩邊除以3n1,得 a4an2 4333 3an3n3n 1因此an32(n 1)zn(1 3n 1) 32n 1132 2 3n22所以 an 1 3(n 1)10(n 1) 18 2(an 3n 10n 18)3n則an2、累乘法適用于：an 1f(n)an若&

3、#39;f(n),則電f(1), a3 f(2),L Lf (n)ana1a2ann兩邊分別相乘得，au a1f (k)ak 1例3已知數(shù)列an滿足an 12(n 1)5n a。，43,求數(shù)列 an的通項公式。解：因為 an 1 2(n 1)5n an, a1一an3,所以an 0 ,則 2(n 1)5 ,故 anan an 1 1竺 a2 °L a1an1 an 2a2 a2(n 1 1)S12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1)(n 2) L 2 1 3n(n 1)n 1- -5-.3 25 2 n!n

4、(n 1)所以數(shù)列an的通項公式為an 3 2n 1 5 n!.、待定系數(shù)法 適用于an 1 qan f (n)分析：通過湊配可轉(zhuǎn)化為an 11 f(n)2an1f(n)；解題基本步驟: 1、確定f (n)2、設(shè)等比數(shù)列 an1f(n),公比為24、比較系數(shù)求5、解得數(shù)列 an1 f (n)的通項公式6、解得數(shù)列 an的通項公式例4已知數(shù)列烝中，a1 1,an 2an 1 1(n 2),求數(shù)列 an的通項公式。解法一：Qan 2an 1 1(n 2),又Qa1 1 2, an 1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列an 1 2n，即 an 2n 1解法二：Qan 2an 1 1(n 2),兩式相減得

5、an 1 an 2(an an 1)(n 2),故數(shù)列 an 1 an是首項為2,公比為2的等 比數(shù)列，再用累加法的n 1.例5已知數(shù)列an滿足an 1 2an 4 3 , a1 1,求數(shù)列 4 的通項公式。解法一：設(shè)an 113n2(an3n 1),比較系數(shù)得14, 2 2,則數(shù)列an43n1是首項為a143115 ,公比為2的等比數(shù)列，所以 an 4 3n 15 2n 1,即烝 4 3n 1 5 2n 1解法二： 兩邊同日除以3n 1得：亙- 2 aL 3,下面解法略3n 1 3 3n 32注意：例6已知數(shù)列an滿足an 12an3n2 4n5,a1 1,求數(shù)列an的通項公式。2 一一一2

6、解：設(shè) an1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z)比較系數(shù)得x 3,y 10,z 18,2 2 一一 一an 3n10n 18 0(2由 ai 3 110 1 18 1 31 32 0 ,得0, an 10。23(n 1)2 10(n 1) 182an 3n 10n 182an 3n 10n 18為以a1 3 12 10 1 18 13132為首項,2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 322n 1,則 an2n3n2 10n 18。注意：形如an 2 pan 1qan時將an作為f (n)求解分析：原遞推式可化為an 2an 1 (p)(an 1an)的

7、形式，比較系數(shù)可求得an 1an為等比數(shù)列。例7已知數(shù)列anan 2 5an 1 6an,a11色2 ,求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè)an 2an 1(5)(an 1 an)比較系數(shù)得2,不妨取則 an 2 2an3(an 12an)，則 an 12an是首項為4,公比為3的等比數(shù)列an 12an4 3n 1,所以an4 3n 12n四、迭代法例8已知數(shù)列an滿足an 1a3(n1)2n,aian的通項公式。解：因為an 1a3(n 1)2n,所以又設(shè) 5,所以數(shù)列an的通項公式為ann(n 1)3n 1 n!2-2-5。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1、

8、對數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式ai 7 ,求數(shù)列an的通項公式。例9已知數(shù)列an滿足an 12 3n a；,n 5解：因為an 1 2 3 an, a1 7,所以an兩邊取常用對數(shù)得lg an 15lg ann lg3 lg 2設(shè) lg an 1 x(n1) y5(lg anxn y)（同類型四）比較系數(shù)得,lg34,ylg316lg24由 lg a1lg34lg316lg24lg31g7當lg316lg240 ,得 lg an164所以數(shù)列l(wèi)g an則 lg anlg3n4lg316lg316 lg24lg2產(chǎn)“是以lg 7(lg7lg an(lg7lg3 lg3 lg2an2、lg(7

9、lg(7lg34lg316lg2為首項，以45為公比的等比數(shù)列,lg3 lg3 lg 2416)5n 14134134 315 n 1lg(716124)5n15n 124)55n 4n 135n 4n 1倒數(shù)變換法10 已知數(shù)列解：求倒數(shù)得an2(n165n 12-)5n 1lg2n 場V n 6n 11lg(34 316 24)n 1lg(34 3存1一)5n 1 12丁。124)適用于分式關(guān)系的遞推公式,an W足 anan 11),2an an2，a1ananan 1an3、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例11已知數(shù)列an滿足an14an解：令 bn ,1 24alg24分子只有一項12

10、,1代入 an 1 w(1 4an * 24an)得求數(shù)列an 1an的通項公式。11-為等差數(shù)列，首項ana1J1 24an）, a1 1 ,求數(shù)列an的通項公式。22即 4bn 1 (bn 3)因為 bn 7124a； 0,ntt13則 2bni bn 3,即 bni - b；22一,、,一 1一可化為 bni 3 -(bn 3),21所以bn 3是以b 3 出 24& 3 ,1 24 1 3 2為首項，以萬為公比的等比數(shù)列，因此1 n 11 n 21 n 21 n 2bn 3 2( )(一),則 bn ()3,即 J1 24an ()3，仔2 222n9n六、數(shù)學(xué)歸納法通過首項和

11、遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前法加以證明。n項,猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納例12已知數(shù)列an滿足an 1 an8(72, a1 8,求數(shù)列an的通項公式。(2n 1)2(2n 3)29解：由 an 1 an 雪-2及 a1 8 ,得(2n 1)2 (2n 3)29由此可猜測an(2n 1)2 1(2n 1)2卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當 n 1 時，a1_2(2 1 1)2 1_2(2 1 1)8 ,所以等式成立。9(2)假設(shè)當n k時等式成立，即ak2馬,則當nk 1時,由此可知，當n k 1時等式也成立。一 *根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 n N都成立。七、階差法1、遞推公

12、式中既有Sn,又有an2轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的S,n 1 分析：把已知關(guān)系通過 anSn Si 1 , n方法求解。例13已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且前1，一八n 項和 Sn滿足 Sn (an 1)(an 2),且 a2,a4,a9成 6等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式。1解：.對任忌 n N 有 Sn (an 1)(an 2)(1)61，當 n=1 時，S1a1-(a1 1)(a1 2),解得 a1 1 或 a1 261當 22 時，Sn 1 -(an 1 1)(an1 2)6-整理得：(an an 1)(an an 1 3) 0 an各項均為正數(shù)，an an 13

13、2當闞 1時，an 3n 2 ,此時a4a2a9成立2當為 2時，an 3n 1 ,此時a4a2a9不成立,故a1 2舍去所以an 3n 22、對無窮遞推數(shù)列例14已知數(shù)列an滿足a11,ana12a23a3L (n1)an1(n2),求an的通項公式。解：因為 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an1(n 2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 L(n 1)an 1 nan用式一式得an 1 an nan.則 an 1 (n 1)an(n 2)故a-1 n 1(n 2) an所以an 旦皿L曳a2 n(n 1) L 4 3同上a2.an 1 an 2a22由 an a12a23a3

14、L (n1)ani(n 2), JjX.n2彳導(dǎo)a?ai2a2,貝Ua2a1,又知a11 ,n!則a2 1 ,代入得an 1 3 4 5 L n 一。2n!所以，an的通項公式為an . 2八、不動點法不動點的定義：函數(shù) f(x)的定義域為D,若存在f(x)x0 D ,使f(x0) x0成立，則稱x0為f(x)的不動點或稱(xo, f(xo)為函數(shù)f (x)的不動點。分析：由f(x) x求出不動點xo,在遞推公式兩邊同時減去xo,在變形求解。類型一：形如an 1 qan d例15已知數(shù)列an中，a1 1,an 2am 1(n 2),求數(shù)列 的通項公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為f(x) 2x 1,由f (x) x得，不動點為-1an 1 1 2(an 1),類型二：形如an 1a an bc an d分析：遞歸函數(shù)為f (x)(1)若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點p,q,再將兩式相除得an1 p ka_二，其中k an 1 qan qa pc . a(aq pq)kn1 (ap pq)ann 1a qc(ai p)k(a1 q)(2)若有兩個相同的不動點p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點p,然后用1除，得1an 1 pk ,其中k an p2ca d例16已知數(shù)列an滿足an121a° 24,a1 4,求數(shù)列an的通