1、第二章 隨機變量及其分布一、教材說明本章內容包括隨機變量及其分布函數， 離散隨機變量及其概率分布列， 連續隨機變量及其概率密度函數，隨機變量的數學期望、 方差和標準差及其性質， 切比雪夫不等式，常用離散隨機變量的分布和連續隨機變量的分布，隨機變量函數的分布等.隨機變量及其分布是基礎，隨機變量的數字特征是分支，常用隨機變量的介紹是應用 .1教學目的與教學要求本章的教學目的是：（ 1）使學生理解隨機變量的概念，掌握離散型和連續型隨機變量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函數的概念和性質；（ 2）使學生理解分布函數的概念和性質，會利用概率分布計算有關事件的概率；（ 3）使學生會計算隨機變量的數學期

2、望、方差和標準差等；（ 4）使學生熟練掌握（0-1 ）分布、二項分布、泊松分布和正態分布、指數分布、均勻分布等；（ 5）使學生會求簡單隨機變量函數的概率分布及數字特征.本章的教學要求是：（ 1）理解隨機變量及分布函數的概念，會利用分布函數計算離散和連續隨機變量函數的數字特征；（ 2）熟練掌握（0-1 ）分布、二項分布和正態分布、指數分布、均勻分布及其數字特征的計算和相關概率的求解；（ 3）應用公式求解隨機變量函數的概率分布.2本章的重點與難點本章的重點難點是理解隨機變量密度分布函數的概念；掌握（ 0-1 ）分布、二項分布、正態分布、 指數分布和均勻分布；重點掌握離散和連續隨機變量相互獨立的條件

3、； 掌握期望、方差的概念和計算，以及隨機變量函數的計算.二 教學內容本章共分隨機變量及其分布、 隨機變量的數學期望、 隨機變量的方差與標準差、 常用離散分布和隨機變量函數的分布等6 節來講述本章的內容.§ 2.1 隨機變量及其分布教學目的： 掌握隨機變量及其分布函數的概念，理解離散型隨機變量概率分布列和連續型隨機變量概率密度函數的概念和性質教學重點：概率分布列和概率密度函數的概念和性質教學難點：由概率分布列及概率密度函數求分布函數教學內容：本節包括隨機變量的的概念， 隨機變量的分布函數、 離散隨機變量的概率分布列和連續隨機變量的概率密度函數.主要介紹隨機變量的概念及分布函數的概念，學

4、習兩類不同的隨機變量及其概率分布.2.1.1 隨機變量的概念定義 2.1.1 定義在樣本空間 上的實值函數稱為隨機變量,常用大寫 X,Y,Z 等表示；隨機變量的取值用小寫字母x,y,z等表示.假如一個隨機變量僅取有限個或可列個值，則稱其為離散隨機變量，假如一個隨機變量的可能取值充滿數軸上的一個區間 隨機變量 淇中a可以是-,b可以是十在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量.如:擲一枚骰子，我們可以定義隨機變量 X表示出現的點數，則X(a,b)，則稱其為連續X(e) e .我們還可1,0,出現偶數點出現奇數點1,0,點數為6點數不為6以定義其它的隨機變量，例如:(1)用隨機變量可以方便地表示事

5、件.如在拋三枚硬幣的試驗中，X = 2表示事件 A = HHT, THH, HTH , X 3表示事件B = HHH.3(2) 隨機變量的取值有一定的概率.如在拋三枚硬幣的試驗中 P X 1-,8、1PX 3 8.隨機變量X的取值是隨機的，也就是說，在試驗之前，X取什么值不能確定，而是由隨機試驗的可能結果決定的，但X的所有可能取值是事先可以預言的，且它的取值有一定的概率.引入了隨機變量之后，可以用數來描述隨機現象，使我們可以用數學分析的方法對實驗結果進行更深入廣泛的研究 .2.1.2隨機變量的分布函數定義2.1.2設X是一個隨機變量，對任意實數x,稱F(x) P(X x)為隨機變量X的分布函數

6、，且稱X服從59),記為*: F(x).有時也可用FX(x)表明是X的分布函數.分布函數的幾何意義F(x)表示隨機變量X落在數軸x點左側(含x點)的概率.綜上所述，分布函數是一種分析性質良好的函數，給定了分布函數就能算出隨機變量落在任意區間上的概率，從這個意義上說，分布函數完整地描述了隨機變量的統計規律性.例2.1.1向半徑為r的圓內隨機拋一點，求此點到圓心之距離 X的分布函數F(x)，并求P(X> - r).分析略.解略.分布函數的性質定理 任一分布函數F (x)都有如下三條基本性質(1)單調性：F (x)是定義在整個實數軸 ()上的單調非減函數，即對任意的Xi X2,有 F(Xi)

7、F(X2);(2)有界性：F () = Jim F(x)0；F( )= lim F(x)X1.(3)右連續性：F (X)是x的右連續函數，即對任意的x0 ,有lim F(x) F(x0),X x0F(xo 0) F(Xo).證明略.注(1)上述三條可以作為判斷一個函數是否為分布函數的充要條件 (2)有了分布函數的定義，可以計算：注利用分布函數,得到(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)補例已知X的分布函數為0 x 0x/20 x 1F(x) 2/3 1 x 211/12 2x31 x 3求 PX 3, PX 1, P X 1/2, P2 X 4.解：PX 3 F (3) 1PX 1F(1)

8、 F(1 0) 2/3 1/2 1/6PX 1/2 1 P 1/2 1 F(1/2) 1 1/4 3/4P2 X 4F(4 0) F(2) 1 11/12 1/122.1.3離散隨機變量的概率分布列定義2.1.3設X是一個離散隨機變量，如果 X的所有可能取值是x1, x2,L xnL，則稱X取x的概率Pip(x) P(X x)i 1,2,L n,L為X的概率分布列或簡稱為分布列.分布列也可用下列形式表示：x1% L xn Lp(x1) p(x2)L p(xn)L分布列的基本性質(1)非負性：p(xi) 0,i 1,2,L ;(2)正則性：p(x) 1.i 1注離散隨機變量的分布函數為：F(x)

9、 p(x).xi x例2.1.4離散型隨機變量X的分布律為X 123pk111424求:(1) X的分布函數.(2)PX %, P% X%,P2 X 3.解：(1)0, x 1,-,1 x 2,F(x) 4-,2x3,41 , x 3.(2) PX 12 Fl；)-P32 X 52 f(52)F(32)12P2 X 3F(3) F(2 0) 34.由例2.1.4可知，離散型隨機變量的分布函數F(x)是一個階梯形的函數，它在 X的可能取值點處發生跳躍，跳躍高度等于相應點處的概率，而在兩個相鄰跳躍點之間分布函數值保持不變.這一特征實際上是所有離散型隨機變量的共同特征.反過來，如果一個隨機變量X的分

10、布函數F(x)是階梯型函數，則 X一定是一個離散型隨機變量，其概率分布律可由分布函數惟一確定：F (x)的跳躍點全體構成 X的所有可能取值，每一跳躍點處的跳躍高度則是X在相應點處的概率.補例設隨機變量X的的分布函數為0,0.4, F(x) P X x0.8,1,反之，給定了離散隨機變量的分布函數，也可求出其概率分布列 x 11 x 11 x 3x 3求X的概率分布律.解：由分布函數是跳躍的階梯型知X是離散型隨機變量， X的可能取值為 1,1,3,且 P X 1 F( 1) F( 1 0) 0.4 0 0.4,P X 1F(1) F(1 0) 0.8 0.4 0.4, P X 3 F(3) F(

11、3 0) 1 0.8 0.2.即 X的分布律為Pk 0.4 0.4 0.22.1.4連續隨機變量的概率密度函數定義2.1.4 設隨機變量 X的分布函數為F(x),如果存在實數軸上的一個非負可積函數p(x),使得對任意x ,有xF (x)pdt ,則稱X為連續隨機變量，稱 p(x)為X的概率密度函數，簡稱為密度函數 .密度函數的基本性質(1)非負性：p(x) 0;(2)正則性：p(x)dx 1;汪思：(1) 一個函數滿足上述兩個性質，一定可以作為某一連續型隨機變量的密度函數.(2)對于一個給定的連續型隨機變量X ,如果已知其密度函數， 根據定義2.1.4 ,自然可以求得其分布函數.同時，可以通過

12、密度函數的積分來求X的取值落于任b意區間上的概率P a X b F(b) F(a) f(x)dx.a(3)由上式可知，對于連續型隨機變量X ,對任意實數 (證明：設X的分布函數為F(x), x 0,則由Xx),在上述不等式中令P X a P a x X a F (a) F (a °,并注意到 X為連續型隨機變量，其分布函數也是連續的，即得a 0).可以不必區分該區間(4)據此，在計算連續型隨機變量落在某一區間的概率時,是開區間或半閉區X b P a X b P a(5)若A是不可能事件,則有P(A) 0;反之.若P(A)0,并不一定意味著 A是不可能事件.定是必然事件類似，概率為1的

13、事件不連續型隨機變量函數的分布函數及其與密度函數的關系(1)連續型隨機變量的分布函數一定是連續函數，但分布函數連續的隨機變量不一定是連續型.(2)由密度函數通過積分可確定分布函數，雖然分布函數不能確定唯一的密度函數，但在幾乎處處相等的意義下是唯一的，且在密度函數連續點處有F (x) f (x) .由此可以利用分布函數來計算密度函數.例2.1.8已知隨機變量X的密度函數為x,0 x 1;p(x) 2 x,1 x 2;0,其他。試求X的分布函數.解略.給定連續型隨機變量的分布函數，也可求出其概率密度函數補例設連續型隨機變量F xX的分布函數為111一 一arctan x2試求X的密度函數f (x)

14、 .11分析:1 x2§2.2隨機變量的數學期望教學目的：掌握數學期望的概念和性質性質，會利用概率分布求數學期望教學重點：隨機變量數學期望的計算.教學難點：各種概念的正確理解.教學內容：本節內容包括數學期望的概念、定義和性質等。主要介紹數學期望的概念、性質及其運算.2.2.1 數學期望的概念數學期望又稱期望或均值，來源于歷史上著名的分賭本問題：17世紀中葉，一位賭徒向法國數學家帕斯卡(1623-1662)提出一個使他苦惱長久的分賭本問題：甲、乙兩賭徒賭 技相同，各出賭注 50法郎，每局中無平局.他們約定誰先贏三局，則得全部賭本100法郎.當甲贏了二局，乙贏了一局時，因故要中止賭博.問

15、這100法郎如何分才算公平？分析略. 解略.由上例，我們考慮如何來求均值1 ,、 算木平均 n個數Xi,X2, ,Xn的平均值為x (Xi X2Xn).n(2)加權平均k個數，Xi出現了 ni次，X2出現了 n2次，Xk出現了m次,n1 n2 nk n,則這k個數的平均值為X,XiniX2n2nXknk)X 0i0077 00i099i顯然再用X -(Xi X2nXn)i(0 i00) 250來表示X的平均值是不合適的.而應該用加權平均X0 0.0i i00 0.99 99 .nin2nkXi X2 Xk nnn這種計算平均值的方法稱為加權平均(3) 一個離散型隨機變量 X ,的分布律為：數學

16、期望是一種加權平均.2.2.2數學期望的定義定義2.2.i設離散隨機變量 X的分布列為PiP(X)P(X X)i i,2,L n,L如果14 |p(Xji i則稱E(X)X P(Xi) i i為隨機變量X的數學期望，或稱為該分布的數學期望,(2)由于隨機變量X的數學期望表示的是隨機變量X變化的平均值，因此，只有當級數XnPnXnPnXn Pn絕對收斂時，才能保證級數的和與其級數n i的求和順序無關.簡稱期望或均值。若級數|Xi |p(Xi)i i不收斂，則稱X的數學期望不存在. 說明：定義2.2.2設連續隨機變量 X的密度函數為p(x)，如果|x|p(x)dx ,則稱E(X) xp(x)dx為

17、X的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值。若| x| p(x)dx不收斂，則稱X的數學期望不存在。例2.2.2 一在個人數為N的人群中普查某種疾病，可用兩種方法：(1)每個人化驗一次， 共需化驗N次；2) k個人的血混合化驗，如果結果是不含該病菌，說明這k個人都無該病，這樣k個人化驗一次即可； 如果結果是含該病菌， 則該組每個人再分別化驗一次，k個人共.第一種情況是k個人化驗(k+1)次.試問用哪一種方法可減少化驗次數？解 記用第二種方法化驗時，一組 k人中每人所要化驗次數為x E | x b r2 x a 1P y I x p x, y p x 化驗一次，則每人化驗1k次，其概率

18、為P1/kP k個人均無該病=(i p)k.第二種情況是k個人化驗(k+1)次，每人化驗1 1k次，其概率為P 1 1k 1 (1 p)k,所以 kE1. k g(1 p) 1 1 k g1 1 p1 (1 p)k 1, k.當(1 p)k Vk 0時，E 1,平均起來能減少驗血次數.如當p °時，取k 4,則(1 p)k 1k 0.4,平均能減少40 %的工作量.如p給定，還可求k0使E達到最小. 與上例類似例2. 2.4均勻分布的數學期望，若X U (a,b),則 E(X)2例2.2.5設隨機變量X服從柯西分布f(x)(1 x2),求數學期望E(X).解由定義我們有:EX -而廣

19、義積分A取不絕對收斂，所以數學期望2.2.3數學期望的性質E(X)不存在.引例2.2.6已知離散隨機變量 X的分布列，求X2的數學期望.隨機變量函數的數學期望定理2.2.1若隨機變量X的分布用分布列p(xi)或用密度函數p(x)表示，則X的某一 函數g(X)的數學期望為g( x )p(xi),在離散場合；E(g(X) i1g(x) p(x)dx,在連續場合。證明略.數學期望的基本性質(1)若C是常數，則E(C) C.(2)對任意的常數E(CX) C E(X)(3)對任意的兩個函數 g1(x) , g2(x),有E(g1(X) g2(X) E(g1(X) E(g2(X).例2.2.7根據實際問題

20、，求出隨機變量X的密度函數，并求出隨機變量 Y與X的函數表達式，再利用定理 2.2.1計算Y的期望.§ 2.3隨機變量的方差與標準差教學目的：掌握隨機變量的方差、標準差的概念性質，并在此基礎上進行相關計算 理解切比雪夫不等式.教學重點：方差的計算及方差的性質.教學難點：方差概念及切比雪夫的正確理解 .教學內容：本節內容包括方差與標準差的定義、方差的性質和切比雪夫不等式等。主要介紹方差的定義、性質和切比雪夫不等式的內容和應用數學期望描述了隨機變量一切可能取值的平均水平，但在一些實際問題中，僅知道平均值是不夠的，因為它有很大的局限性，還不能夠完全反映問題的實質引例 現有甲乙兩個小合唱隊，

21、各有5個隊員，身高分別為：甲隊 1.58 米，1.59 米，1.60 米，1.61 米，1.62 米.乙隊 1.50 米，1.55 米，1.70 米，1.68 米，1.57 米.則甲乙兩隊的平均身高均為1.60米，但甲隊的身高比較整齊，而乙隊身高差別較大.又如，一個班同學的成績，一個國家或地區的人均收入等，在這些問題中，我們不但要求隨機變量平均值，還要考慮隨機變量取值與平均值的偏離程度， 一，、 一一 1對一列數x1,x2, xn如果用1(xi x),則會出現正負相抵的情況，而用,n i11 2r, 1|xi x|,則在實際計算中比較麻煩，因此用 1 (xi x)2來表不一列數與平均值的n i

22、n i偏差程度.對于隨機變量，則用 EX E(X)2來表示X與E(X)的偏離程度.2.3.1 方差與標準差的定義定義 若隨機變量X2的數學期望存在，則稱偏差平方(X EX)2的數學期望E(X EX)2為隨機變量X的方差或該分布的方差，記為(xi E(X)2p(xi),在離散場合;2Var(X) E(X EX)2 i1(x E(X)2 p(x)dx,在連續場合.稱方差的正平方根 JVar(X)為X的標準差或該分布的標準差，記為(X)或X .注：(1)由定義，隨機變量 X的方差反映出 X的取值與其數學期望的偏離程度 .若 Var(X)較小，則X取值比較集中，否則， X取值比較分散。因此，方差 Va

23、r(X)是刻 化X取值分散程度的一個量.(2)方差實際上是隨機變量 X的函數的數學期望。故若 X為離散型隨機變量，其分 布律為P(X xk) Pk，k 1,2,則 Var(X)xkE(X)2pk.k 1若X為連續型隨機變量，其密度函數為p(x),則Var(X) x E(X)2 P(x)dx例2.3.1下面是三角分布，均勻分布和倒三角分布的密度函數，分別計算它們的方差。解略.例2.3.2兩個離散隨機變量數學期望和方差的計算.在該例中，投資房產的收益X和投資商業的收益 Y的數學期望相比，雖然E(X)比E(Y)稍大一些，但Var(X)卻比Var(Y)大得多，所以綜合考慮，還是選擇投資商 業比較好.1

24、.1.2 方差的基本性質(1) Var(X) E(X2) (E(X)2；(2) Var(c) 0,其中c為常數；(3) Var(aX b) a2Var(X), a,b 是常數.證明略.例2.3.2設X為擲一顆骰子出現的點數，求Var(X)1.1.3 切比雪夫不等式0,切比雪夫不等式設隨機變量X的數學期望和方差都存在，則對任意的常數 有P(|X E(X)|) VarP，P(|X E(X)|) 1 Var(X)證明 以下僅就X為連續型隨機變量情形予以證明，X為離散型隨機變量時，其證明方法類似.設X的分布密度函數為 f (x),則：P| X EX| |xf(x)dxEX|(x EX)2- f(x)d

25、x|x EX|_2f (x)dx(x EX)12 ,(x EX) f(x)dxVar(X)2定理2.3.2若隨機變量X的方差存在，則 Var(X) 0的充要條件是 X幾乎處處為某個常數，即P(X a) 1 .證明略.§ 2.4 常用離散分布教學目的：掌握幾種常見離散分布的分布列及其期望，方差教學重點：二項分布泊松分布教學難點：幾種常見分布之間的關系教學內容：本節主要內容包括二項分布、泊松分布、超幾何分布、幾何分布與負二項分布，主要介 紹二項分布和泊松分布.2.4.1 二項分布二項分布在n重伯努利試驗中，事件 A發生的次數用隨機變量 X表示，則n kn kPX k p (1 p) (k

26、 0,1,2, n),稱X服從參數為n , p的二項分布,k記為 X b(n , p). n n可以驗證二項分布滿足分布律的性質，即pkqn k (p q)n 1.k 0 k二項分布是一種常用的離散型分布，例如，檢查10個產品，不合格產品的個數 X b(10, p),其中p為不合格率；調查50個人，患色盲的人數 X b(50, p),其中p為色盲率;射擊4次，命中的次數X b(4, p),其中p命中率；等等.例2.4.1某特效藥的臨床有效率為0.95,今有10人服用，問至少有 8人治愈的概率是多少？分析治愈人數記為X，則X b(10, p),所求概率為P(X8)解略.二點分布1時的二項分布b(

27、1 , p)稱為二點分布，或稱(0 1)分布。其分布列為P X 1 p, P X 01 p, 0 p 1,二項分布隨機變量是n個獨立同分布的二點分布隨機變量之和二項分布的數學期望與方差若 X b(n,p),則 E(X)np,Var(X)np(1 p).E(X)nkpkk 0nkC：k 0nn kkk 0n! k n k k!(n k)! p qnnp(n 1)!k o(k 1)!(n 1) (kn1)!nk 1 (np q1) (k 1)k 1 knp Cn1p k 0np(p q)n 11q(n 1) (k 1)np.k k 1 n 1 knp Cn1p q k 0X1X2Xn對于服從二項分

28、布的隨機變量，還可用更簡單的方法來計算E (X )與D (X ).在n重貝努里試驗中，每次試驗事件A發生的概率為p,不發生的概率為 q=1-p,若引入隨機變量X1,第i次實驗A發生Xi 0,第i次實驗A不發生,X - B(n, p),Xi(0 1)分布，且X1,X2, ,Xn是相互獨立的，于是由數學期望的性質可得E(X)= E(X1 +X2+ +Xn)= E(X1) + E(X2)+ +E(Xn) = nE(Xi) = np,Var (X) = D(X +X2 + +Xn) = D(X1)+ D(X?) + D(Xn) = nD(Xi) = npq.例 2.4.32.4.2 泊松分布泊松分布定

29、義如果隨機變量X的分布列為kP(X k) e ,k 0,1,.,k!其中參數0 ,則稱這個分布為泊松分布，記為 X P().泊松分布在各領域中有著廣泛的應用，它常與單位時間(單位面積 單位產品等)上的計數過程相聯系，例如，某單位時間內電話機接到的呼喚次數；某單位時間內候車的乘客數；放射性物質在某單位時間內放射的粒子數；某頁書上的印刷錯誤的個數；1平方米內，玻璃上的氣泡數等等都可以用泊松分布來描述泊松分布的數學期望與方 差若X P()，則 E(X) Var(X)co001E(X) =Z：kPk =Z：k -e k=ok=ok!oo k=e 2_j = e e =入 得k!EX(X 1)+ X_2

30、_2Var(X)= E(X ) E(X)2 二,八，2=EX(X 1)+ 入 2 =E：k(k 1) e + 入 2 k=ik!co * 2=Xe Z-+入左=左e'e' +入左二入含2(k 2)!例2.4.4 鑄件上的砂眼(缺陷)數服從 P (0.5),試求此鑄件上至多有 1個砂眼(合 格品)的概率和至少有 2個砂眼(不合格品)的概率 .分析X P()二項分布的泊松近似定理2.4.1 (泊松定理)在n重伯努利實驗中，記事件A在一次實驗中發生的概率為pn(與n有關),如果當n 時，有npn0 ,則limn八 k _ knCn pn (1 pn )k一e k!證明：令Pn ，有n

31、k APn (1Pn)nn(n 1)(n k 1)()k(1 _)n(1 _) kk!n n n1=(1-)(1n2) (1 n一)n(1 n對任意固定的k （0 k n）,當n 時(1 -)(1 2) (1口)1 , (1 一) k 1 ,n nnn及lim (1)ne所以n nnklim ,Pk(1Pn)nk en kk!在應用中, 分布近似公式當n很大（n 20）,且p很小（p0.05）時，就可以用以下的泊松n J kP(1kn kp) ek!其中 np.k而關于一e的值，可以查表（見附表 k!注當n愈大，p愈小，近似程度愈好。例2.4.6已知某疾病的發生率為0.001,某單位共有500

32、0人。問該單位患有這種疾病的人數不超過5人的概率？解（患病人數X b（5000,0.001）,利用泊松定理，X近似服從R5）,所求概率為 RX 5）.例2.4.7, 2.4.8均為泊松定理的應用.2.4.3 超幾何分布超幾何分布設一批產品共有 N個，其中有 M個次品，現從中任取 n個（n N M ）,則這n個產品中所含的次品數 X是一個離散型隨機變量，X所有可能的取值為0, 1, 2,，j，（其中j min M ,n ）,其概率分布為:P(Xk )CMCN M / CN( k =0,1,2,j ),稱X服從超幾何分布，記為X h(n,N,M ).超幾何分布的數學期望和方差若 Xh(n,N,M)

33、,則 E(X) nM,Var(X)n” 2 M)( N n).NN2(N 1)超幾何分布的二項近似當 n 遠小于 n 時，p(x k) cMcN m/cN cnpk(i p)nk,p M. nN即對于超幾何分布，當 N很大而n相對于N比較小時，可以用二項分布公式近似計算.2.4.4 幾何分布與負二項分布幾何分布在伯努利試驗序列中，設每次試驗成功的概率為p,現進行獨立重復試驗，直到出現一次成功為止，以X表示試驗進行的次數，則PX k (1 p)k 1 p, (k 1,2,3,)，稱X服從以p為參數的幾何分布記為 XGe(p).幾何分布的數學期望和方差若X Ge(p),則 E(X) -,Var(X

34、) 匕pp三幾何分布具有無記憶性定理2.4.2 設XGe(p),則對任意正整數m,n有P(X m n|X m) P(X n).負二項分布在伯努利試驗序列中， 設每次試驗成功的概率為p,現進行獨立重復試驗，直到出現r次成功為止， 以 X 表示試驗進行的次數， 則k 1 .PX kpr(1 p) ,(k r,r 1,r 2,)，稱X服從以r, p為參數的負二項r 1分布。r 1時的負二項分布就是幾何分布 .§ 2.5 用連續分布教學目的：掌握幾種常見連續分布的密度函數及其期望，方差教學重點：正態分布，均勻分布，指數分布教學難點：分布和 分布教學內容：本節主要內容包括正態分布、均勻分布、指

35、數分布、分布和分布.主要介紹正態分布、均勻分布和指數分布2.5.1正態分布定義若隨機變量X的密度函數為則稱X服從正態分布,稱 X為正態變量，記為 X N( , 2).其中參數0.正態分布密度函數f (x)的性質:曲線關于(2)時取到最大值f ()1.2(4)如果固定處曲線有拐點.,改變 的值，則圖形沿 Ox軸平移，而不改變形狀,稱為位置參數。(5)如果固定,當 越小時圖形變得越尖；當越大時圖形變得越凸,稱為尺度參標準正態分布定義 稱 0,1的正態分布 N(0,1)為標準正態分布.N (0,1)的密度函數和分布函數分別為:(、1(u) expuexp2 dt,重要結論：x) 1(x).例 2.5

36、.1設U N(0,1),利用附表2,求下列事件的概率：(1) P(U1.52); (2)P(U 1.52);(3) P(U1.52); (4) P( 0.75 U 1.52); (5) P(|U |1.52).解直接查表.一般正態分布的標準2 X2),則 UN(0,1).X證：PZ xPX_xPX x(t )2x - 21PZ x言2ue 2 due 2 dt,(x).由于Z的分布函數是PZ x (x), X 所以 ZN(0,1).在概率論里，有時需要將隨機變量“標準化”，即對任意隨機變量 X,若其數學期望 E(X ),方差Var( X )均存在，且 Var (X )>0,則稱X - E

37、(X) Var(X)為X的標準化隨機變量.通過計算可知E(X*)=0,Var(X*) = 1 ,這正是標準化隨機變量所具有的特征。由定理2.5.1 若X N( ,2),則X的分布函數F(x) PX xP(xu)且PXi X x2 Px - 0(JA)例 2.5.4 若 X N(108,32)，求：(1) P(102 X 117); (2)常數 a ,使得P(X a) 0.95.解略.補例設X N( 1, 52),求:(1) PX 2.8.(2) P 1.5 X 2.4.(3) PX| 4.(4) PX 1 2.解：(1)PX 2.8 PX- T" 55X 1PX0.36(0.36)1

38、(0.36)1 0.6406 0.3594.(2) P 1.5 X 2.4P1.5 15X 1 2.4 1155 iX 1P 0.10.68(0.68)( 0.1)(0.68) 1(0.1)0.7517 (1 0.5398)(3)0.2915.PX 4 P 4 X 4PX 1P 0.61(1)( 0.6)(1) 1(0.6)0.8413 (1 0.7257)0.567.(4) PX2PX 12P1 2P25-(0.4)(0.4)(0.4)1(0.4)(0.4)0.65540.689.正態分布的數學期望與方差若 X N( , 2),則 E(X),Var(X) 2D(X)正態分布的3E(X)(x

39、)et2Z2te 2 dt_2EX E(x)tt2e 萬dt t-22原則(x(x )22 2 dx(x )2dx)2)2te 2dt(x )2e 2 2 dx2 2 dx(x )222dx1；2；3.0.6826, kP(|X | k )(k)( k) 0.9545, k0.9973,k由此可見，正態變量的99.73%的值落在（3 ,3 ）內，這個性質被稱為正態分布的3原則.2.5.2均勻分布定義若隨機變量X的密度函數為護工）b；1P(x) b一,aa0,其它.則稱X服從區間（a,b）上的均勻分布,記為X U(a,b).均勻分布U （a,b）的分布函數為0,xa；F(x)a-,a a1,xb

40、.b；均勻分布的數學期望與方差若 X U(a,b),則 E(X)b-,Var(X)(b a)212E (X)dxD (X)(X2) Ea b2(X)22一 dx a(ba)2122.5.3指數分布定義若隨機變量X的密度函數為:P(x)x,x0；0,x 0.則稱X服從指數分布，記作 X Exp（）.其中，參數0.指數分布的分布函數為:F(x)指數分布的數學期望與方差若X Exp(),則 E(X)1 e x,x 0;0,x 0.11,Var(X) 2E(X) fo x e dx- xxe |x|oo02D(X) E(X2)-E(X)2 /0"x2 e-xdx- 1指數分布的無記憶性定理2

41、.5.2 如果X Exp(),則對任意的s>0,t>0，有P(X s t|X s) P(X t).分析略.證明略.指數分布具有十分重要的應用，通常用來近似描述各種“壽命”分布。例如電子元件的的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，隨機服務系統中的服務時間等， 都通常假定服從指數分布.例2.5.5如果某設備在任何長為 t的時間0, t內發生故障的次數 N(t)服從P( t),則相繼兩次故障之間的時間間隔T服從Exp().證明略.2.5.4伽瑪分布咖瑪函數：()° x 1e xdx( a 0)性質：利用分步積分法可以驗證=11()1 ! ( N)1 xx e x 0 一 一

42、咖瑪分布：若隨機變量X的密度函數為p(x)=(0,0)x 00則稱X服從參數為，的分布，記為X Ga ,.(指數分布)當1時，Ga可以證明，若 X-Ga , 則 E(X)= , Var(X)=1.2.5.5貝塔分布簡單介紹概念.§ 2.6隨機變量函數的分布教學目的：掌握求離散型和連續型隨機變量函數的概率分布的方法；教學重點：離散型隨機變量函數的分布；連續型隨機變量函數的分布教學難點：連續型隨機變量函數的分布教學內容：本節內容主要包括離散隨機變量函數的分布和連續隨機變量函數的分布.主要介紹離散、連續隨機變量函數分布的求法 .2.6.1離散隨機變量函數的分布補例設隨機變量X的分布律為：X

43、 1012Pk 0.2 0.3 0.1 0.4求：Y X 2的分布律.Z (X 1)2的分布律.解：Y 3210-0030104Z 014qk 0.1 0.7 0.2求Y g(X)的分布律.總結：已知X的分布律為 312xnPk Pi P2Pn由于X是離散型隨機變量，則Y g(X)仍是離散型隨機變量，所以分布律為,若其中有某些g(Xi)相等，則把相等的值分別合并，并Y g(X1)g(X2)g(Xn)PkP1 P2Pn相應地將其概率相加.定理設X是離散隨機變量，X的分布列為K X2L XnLP(Xi) p(X2)L p(Xn)L則Y g(X)也是一個離散隨機變量，此時 Y的分布為g(Xi) g(

44、X2)L g(Xn)L .p(Xi) p(X2)L p(Xn)L當g(Xl),g(X2),L g(Xn)L中有某些值相等時，則將它們合并，將概率值相加即可例2.6.1已知X的分布列如下，求 Y2X X的分布列.21010.2 0.1 0.4 0.3解略.2.6.2連續隨機變量函數的分布當g(X)嚴格單調時定理2.6.1設連續型隨機變量X的概率密度為f x (X) , X ()，若 y g(X)是處處可導的函數， 且恒有g (x)0 (或恒有g (X) 0),則Y g(X)是連續型隨機變量,其概率密度為:fY(y)fxh(y)h(y)0y其它其中 ming( ),g( ),max g(),g( ) ， h(y)是 g(x)的反函數.證明僅證g'(x)0時，