1、一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)( xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x3 函數(shù)的極值與最大函數(shù)的極值與最大(小小)值值個(gè)個(gè)極極小小值值. .) )是是函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )的的一一f f( (x x就就稱稱) )均均成成立立, ,f f( (x xf f( (x x) )外外, ,除除了了點(diǎn)點(diǎn)x x任任何何點(diǎn)點(diǎn)x x, ,對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域, ,如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)x x個(gè)個(gè)極極大大值值; ;) )是是函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )的的一一就就稱稱f f( (x x均均成成立立, ,) )f f( (x xf

2、f( (x x) )外外, ,除除了了點(diǎn)點(diǎn)x xx x, ,對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任何何點(diǎn)點(diǎn), ,的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)x xb b) )內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn), ,( (a a, ,是是x xb b) )內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,( (a a, ,設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間0 00 00 00 00 00 00 00 00 0定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值極值點(diǎn)點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.的的穩(wěn)穩(wěn)

3、定定點(diǎn)點(diǎn)或或駐駐點(diǎn)點(diǎn)f f( (x x) )做做函函數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)根根) )叫叫0 0( (x x) )f f程程使使導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)( (即即方方注意注意:不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). .但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻必必定定是是它它的的駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)f f( (x x) )可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)例如例如,3xy ,00 xy定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);0)()2(的的根根求求駐駐點(diǎn)點(diǎn)，即即方方程程 xf;,)()3(

4、判判斷斷極極值值點(diǎn)點(diǎn)在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)左左右右的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)檢檢查查xf .)4(求求極極值值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例 1 1解解.的的極極值值x x5 5) )( (2 2x xf f( (x x) )求求函函數(shù)數(shù)3 32 23 33 31 13 32 2x x1 1x x3 31010 x x3 31010 x x3 31010(x)(x)f f需需作作討討論論值值點(diǎn)點(diǎn), ,這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)是是否否是是極極是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn), ,0 0 x x1 1, ,x x得得穩(wěn)穩(wěn)定定點(diǎn)點(diǎn)0 0, ,f f1 1令, 現(xiàn)列表討論現(xiàn)列表討論x)1,( ) )(1,(1,)1,0()( xf )(

5、xf 0 03 3f f( (1 1) )極極小小值值0 0f f( (0 0) )極極大大值值0不存在不存在1-30123012345定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 異異號(hào)號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有,0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所所以以，函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).33.544.555.566.57105110115120125130135140145150155x x4 43 32

6、2x xf f( (x x) )2 2 例例 3 求函數(shù)求函數(shù) 的極值點(diǎn)與極值。的極值點(diǎn)與極值。 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)對(duì)函數(shù)求導(dǎo), 找出穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)找出穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)2 23 32 2x x432432- -2x2xx x4324322x2x(x)(x)f f解得解得, 穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn) x=60 06 6| |x x8 86 64 42 2( (6 6) )f f6 6x x3 3 所以所以 , X=6 為極小點(diǎn)為極小點(diǎn), 極小值極小值 f(6)=108例例 3 3解解.)2(1)(32的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)時(shí)，

7、當(dāng)當(dāng)2 x;0)( xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x.0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn), ,也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).MThTh 6.12)( 6.12)(充分條件充分條件 ) 設(shè)設(shè)0 0) )( (x xf f) )( (x xf f) )( (x xf f0 01 1) )( (n n0 00 0 而而0 0) )( (x xf f0 0( (n n) )則則 i)n為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)時(shí), 0 x不是極不是極值值點(diǎn)點(diǎn);n為為偶數(shù)偶數(shù)時(shí)時(shí), 0 x是極是極值值點(diǎn)點(diǎn). 且且0 0) )(

8、(x xf f0 0( (n n) )對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)極小極小; 0 0) )( (x xf f0 0( (n n) )對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)極大極大.3 34 41 1) )( (x xx xf f( (x x) ) 的極值的極值例例 求函數(shù)求函數(shù) ii)4 47 71 1, ,0 0, ,x x: :穩(wěn)穩(wěn)定定點(diǎn)點(diǎn)為為4 4) )( (7 7x x1 1) )( (x xx x( (x x) )f f 解解2 23 30 0f f( (0 0) )極極大大值值為為函函數(shù)數(shù)的的極極大大點(diǎn)點(diǎn), ,0 0 x x0 02 24 4| |1 1) )1 15 5x x4 45 5x x2 24 4( (3 35 5x x

9、( (x x) )f f不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)1 1x x0 0( (1 1) )f f0 0, ,( (0 0) )f f4 4) )3 30 0 x x6 60 0 x x6 6x x( (3 35 5x x( (x x) )f f件件判判斷斷兩兩點(diǎn)點(diǎn)需需使使用用第第三三充充分分條條1 10 0, ,x x8 82 23 35 54 43 36 69 91 12 2) )4 47 7f f( (是是極極小小點(diǎn)點(diǎn), ,4 47 7x x0 0) )4 47 7( (f f0 0, ,( (1 1) )f f( (0 0) )f f2 2) )8 8x x1 1) )( (7 7x x( (x

10、x6 6x x( (x x) )f f0 0 x x2 23 3( (4 4) )2 23 32 22 2 該定理仍然是判定極值的充分條件該定理仍然是判定極值的充分條件, 例如例如無(wú)無(wú)法法用用充充分分條條件件3 3判判斷斷所所以以, ,2 2, ,1 1, ,k k0 0, ,f f 但但極極小小值值0 0處處 0 0它它在在x x顯顯然然, ,0 0 x x, ,0 00 0 x x, ,e ef f( (x x) )( (k k) )x x1 12 2有極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值, ,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.

11、 .穩(wěn)定和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為穩(wěn)定和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;第三充分條件第三充分條件(注意使用條件注意使用條件)三、三、小結(jié)小結(jié)思考題思考題: 下命題正確嗎？下命題正確嗎？不正確不正確例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) ， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于 是是0 x為為)( xf的的 極極 小小 值值 點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) ，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) ，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因 而而)( xf在在0 x

12、的的 兩兩 側(cè)側(cè) 都都 不不 單單 調(diào)調(diào) .故命題不成立故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 二二 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題 在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是怎樣才能是2用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問(wèn)題。這類問(wèn)用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問(wèn)題。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題。最值問(wèn)題主要討題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題。最值問(wèn)題主要討論問(wèn)題的兩個(gè)方面：最值的存在性論問(wèn)題的兩個(gè)方面：最值的存在性 ；最值的求法。；最值

13、的求法。 先看下面圖像先看下面圖像 ab由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。 因此, 函數(shù)的最大最小值點(diǎn)應(yīng)從： 穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn), 端點(diǎn) 中去尋找， 這三種點(diǎn)中，函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點(diǎn)，取最小者為函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此求解最大最小點(diǎn)的步驟應(yīng)為: 步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值; )(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm 注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值, 則這個(gè)極值就是最值.(最大

14、值或最小值)()6 (2 )(1)fxxx解解3 32 2例例 求求 函函 數(shù)數(shù)y y = = 2 2 x x+ + 3 3 x x- - 1 1 2 2 x x + + 1 1 4 4 的的 在在 - - 3 3 , ,4 4 上上 的的 最最 大大 值值 與與 最最 小小 值值 . .得得解解方方程程,0)( xf.1,221 xx )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f比較函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：函數(shù)的最大點(diǎn)是 4，最大值是 142；函數(shù)的最小點(diǎn)是 1； 最小值是 7-3-2-101234050100150例 4 求函數(shù) |1292|)(23xxxxf

15、在區(qū)間 212,41上的最大與最小值. 解：此函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù),且0) 0 (f, 所以 x=0 是角點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn)，再求函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn) f=2*x3-9*x2+12*x; dfdx=diff(f) dfdx = 6*x2-18*x+12 s=6*x2-18*x+12=0; z=solve(s) z = 1 2 穩(wěn)定點(diǎn)為 x=1, 和x=2 計(jì)算穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn), 端點(diǎn)的函數(shù)值, 決定出最大最小值 x=-0.25,0,1,2,2.5; f=abs(2*x.3-9*x.2+12*x) -0.500.511.522.500.511.522.533.544.55 例例 敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘的速度向正北逃竄，分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊速度為處向正