1、 所在學院： 專業(yè)： 課程號： 086 姓名： 成績： 插值法綜述 一、插值法及其國內外研究進展 1.插值法簡介插值法是一種古老的數(shù)學方法，它來自生產實踐，早在一千多年前，我國科學家在研究歷法上就應用了線性插值與二次插值，但它的基本理論卻是在微積分產生之后才逐漸完善的，其應用也日益增多，特別是在計算機廣泛使用之后，由于航空、機械加工、自動控制等實際問題的需要，使插值法在實踐和理論上都顯得更為重要，并得到了空前的發(fā)展。2.國內外研究進展l 插值法在預測地基沉降的應用l 插值法在不排水不可壓縮條件下兩相介質的兩重網格算法的應用l 拉格朗日插值法在地震動的模擬研究中的應用l 插值法在結構抗震可靠性分

2、析中的應用l 插值法在應力集中應變分布規(guī)律實驗分析中的應用3.代表性文獻l 不等時距GM(1%2c1)模型預測地基沉降研究 秦亞瓊 武漢理工大學學報(交通科學與工程版) 2008.2 l 不排水不可壓縮條件下兩相介質的兩重網格算法 牛志偉 巖土力學 2008.3l 基于拉格朗日插值法的地震動的模擬 白 可 山西建筑 2010.10l 響應表面法用于結構抗震可靠性分析 張文元 世界地震工程 1997l 小議應力集中應變分布規(guī)律的實驗方法 查瓏瓏 淮海工學院學報 （自然科學版）2004.6 二、插值法的原理【原理】設有n+1個互不相同的節(jié)點（，） （i=0，1，2，.n）則存在唯一的多項式： 使得

3、證明：構造方程組 令：方程組的矩陣形式如下：由于所以方程組（4）有唯一解。從而唯一存在。三、常用插值法3.1 Lagrange插值法3.1.1 Lagrange插值法的一般提法給定，多項式稱為關于的次Lagrange插值多項式。3.1.2 Lagrange插值多項式的構造已知n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設要求形如： 的插值多項式。若n次多項式在n+1個節(jié)點上滿足條件：就稱這n+1個n次多項式為節(jié)點的n次插值基函數(shù)。3.1.3 Lagrange插值法的程序設計fx_:=ExpxA=Tablex,fx,x,0,0.8,0.2/Ng1=ListPlotTableA,Prolog->Absol

4、utePointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder->3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20Nf0.72,203.1.4 Lagrange插值法典型例題及其解法已知，構造二次拉格朗日插值多項式。（1）計算；（2）估計誤差并與實際誤差相比較。解 （1）以插值點(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得=(2) 由誤差公式有記在27，125上是單調遞減函數(shù)。實際誤差：。3.1.5 Lagrange插值法誤差估計3.2 Newton插值法3.1.1 Newto

5、n插值法的一般提法稱為Newton插值多項式。3.1.2 Newton插值多項式的構造由插值條件 當時,.當時,推得 .當時， 則引入記號： 依次遞推可得的一般表達式： 3.1.3 Newton插值法的程序設計x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;MatrixForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_

6、,l_:=(fj,k,l-fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4, 0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4, 0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1

7、;a2=f0,1,2;a3=f0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*Product(x-xm),m,0,k-1,k,0,4/NExpand%3.1.4 Newton插值法典型例題及其解法已知函數(shù)的函數(shù)表如下：0.400.550.650.800.901.050.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.253 82求四次牛頓插值多項式，并由此求的近似值。分析表中給出六對數(shù)據(jù)，故最高可構造五次多項式。但由于0.596接近于，因此可取前五對數(shù)據(jù)來做差商表。解構造差商表如下：一階差商二階差商三階差商四階差商0.40 0.550.650.80

8、0.900.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.116 001.186 001.275 731.384 100.280 000.358 930.433 480.197 330.213 000.031 34故四次牛頓插值多項式為 于是0.631 95。3.1.5 Newton插值法誤差估計其中四、插值法的比較Lagrange 插值是利用基函數(shù)方法構造的插值多項式，在理論上十分重要，但計算不太方便。基函數(shù)方法是將插值問題劃歸為特定條件下容易實現(xiàn)的插值問題，本質上是廣義的坐標系方法。Newton 插值在計算插值多項式及求解函數(shù)近似值都比較方便且計算量相對較

9、小，是求函數(shù)近似值常用的方法，尤其是等距節(jié)點的差分插值公式最為常用。五、插值法在結構工程專業(yè)的應用案例1.案例敘述應用Matlab求解水道測量數(shù)據(jù)問題摘要：水道測量數(shù)據(jù)問題是一個給定數(shù)據(jù)散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)的插值問題。本文以水道測量數(shù)據(jù)問題為例，應用Matlab軟件提供的求解三維網格點數(shù)據(jù)的函數(shù)，對求解決給定數(shù)據(jù)散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)插值問題，給出了一個簡便易行的方法。問題重述水道測量數(shù)據(jù)問題是1986年美國大學生數(shù)學建模競賽的A題，由加州海軍研究生院數(shù)學系的Richard Franke提供。問題如下：在某海域測得一些點（x, y）處的水深z（單位：英尺）由表1給出，水深數(shù)據(jù)是在

10、低潮時測得的。船的吃水深度為5英尺，問在矩形區(qū)域 (75，200) ´ (-50，150) 里的哪些地方船要避免進入。表1 水道水深測量數(shù)據(jù)（單位：英尺）x129.0140.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y-6.5-81.03.056.5-66.584.0-38.5z99889492.案例解法l 假設與問題分析由題目給出的信息是很少的，除了14個位置的水深之外一無所知。顯然，題目要求我們找出水深不到5英尺的區(qū)域。為了討論

11、方便，下面三個假設是合理的： （1）所給數(shù)據(jù)是精確的； （2）討論區(qū)域的海底曲面是光滑的，更確切地說，可以認為曲面的一階、二階導數(shù)是連續(xù)的。因為我們可以認為討論區(qū)域為淺水海域，由于長期的海水水流作用，形成的是以礫石或沙為主要組成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形。 （3）水深是一個按區(qū)域來劃分的變量，在某個位置的水深與其周圍區(qū)域的水深是相互依賴的，但這種依賴作用隨距離的增大而減小。就我們討論的問題來說，每一個給定數(shù)據(jù)點影響周圍的每一個未知點，一個給定數(shù)據(jù)點離未知點越近，作用就越大。根據(jù)假設，海底曲面是連續(xù)光滑的，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形，因而很

12、自然的想法就是用某種光滑的擬合曲面去逼近已知的14個數(shù)據(jù)點或以14個已知的數(shù)據(jù)點為基礎，利用二維插值補充一些點的水深，以求得水深不超過5米的區(qū)域。l 問題求解題目中給定的14個已知數(shù)據(jù)點，是一組散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)集合，一般首先采用改進的Shepard方法，從給定的數(shù)據(jù)恢復出規(guī)則分布點上的數(shù)據(jù)，然后再應用雙三次樣條插值或其它的二維數(shù)據(jù)插值方法來處理。然而，利用Matlab中求解三維網格點數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata，卻可直接對散亂、隨機分布的二維離散數(shù)據(jù)進行插值。函數(shù)griddata的調用格式為：xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, 'v4

13、')，其返回與向量x、y和z所描述的數(shù)據(jù)點集合相匹配的表面f(x, y) 上網格點的z坐標矩陣zi。函數(shù)griddata在點 (xi, yi) 處對表面函數(shù)f(x, y) 進行插值，從而得到zi的值。在此，我們采用求解三維網格點數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata，對題目中給出的二維離散數(shù)據(jù)集合進行插值，作出矩形區(qū)域 (75，200) ´ (-50，150) 范圍內的海底地形圖、水深不超過5米的危險區(qū)域的海底地貌圖、矩形區(qū)域 (75，200) ´ (-50，150) 范圍內的海底等高線圖以及水深不超過5米的危險區(qū)域的平面圖，并求出水深不超過5米的危險海域范圍為：113.75,

14、 200´0, 100。問題求解的Matlab程序及運行結果附后。3.求解案例的程序設計l 求解水道測量數(shù)據(jù)問題的Matlat程序l clear;x = 129, 140, 108.5, 88, 185.5, 195, 105.5, 157.5, 107.5, 77, 81, 162, 162, 117.5;y = 7.5, 141.5, 28, 147, 22.5, 137.5, 85.5, -6.5, -81, 3, 56.5, -66.5, 84, -38.5;z = -4, -8, -6, -8, -6, -8, -8, -9, -9, -8, -8, -9, -4, -9;

15、nx = 100;px = linspace(75, 200, nx);ny = 200;py = linspace(-50, 150, ny);xi, yi = meshgrid(px, py);xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, 'v4');figure(1), meshc(xi, yi, zi+5);title('(75, 200), (-50, 150) 范圍內的海底地形圖');rotate3dfigure(2), contour(xi, yi, zi);title('(75, 200), (-50, 1

16、50) 范圍內的海底等高線圖');gridfigure(3), contour(xi, yi, zi, -5 -5);title('水深不超過5米的危險區(qū)域的平面圖');grida, b = find(zi>=-5);amin = min(a);amax = max(a);bmin = min(b);bmax = max(b);xmin = 75+(200-75)/100)*bminxmax = 75+(200-75)/100)*bmaxymin = -50+(150+50)/200)*aminymax = -50+(150+50)/200)*amaxi1, j1 = find(zi<-5);for k = 1:length(i1) zi(i1(k), j1(k) = -5;endfigure(4), meshc(xi, yi, zi);title('水深不超過5米的危險區(qū)域的海底地貌圖');rotate3dl 運行結果如下：xmin = 113.75，xmax = 200，ymin = 0，ymax = 100。4.方法的推廣與探究本文雖