1、.c電子信息工程學(xué)院Quency Chen 1.相速度與群速度如果只考慮均勻介質(zhì)中的小幅度的波，可利用描述介質(zhì)的方程和 麥克斯韋方程得到一常系數(shù)方程組，求解可得到解為：exp(jk r j t) (1)的解其中k為波矢量，r為空間位置矢量，為角頻率。式(1)中的 和k滿足：F(k, ) 0 (2)的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系只與介質(zhì)的特性有關(guān)，稱為色散關(guān)系。式(1)描述的電磁波，表征波的時(shí)間變化，波矢量k描述波的空 間變化。k (3)式(3)中入為波長，因此波矢量k=1/入表示單位距離有多少個(gè)波，即 波的數(shù)量，然后再乘以2兀表示單位距離波的總相位，若把空間相位 變化2兀相當(dāng)于一個(gè)全波，則k表示單位距離全波

2、的數(shù)目，k也被稱 為電磁波的相位常數(shù)，因?yàn)樗硎緜鞑シ较蛏喜ㄐ羞M(jìn)單位距離時(shí)相位 變化的大小，注意這里相位單位為弧度制。將(1)式變形為：expjk (r r) j (t t) (4)若滿足k r t 0 (5),則式(4)和式(3)一樣，這說明在空間距離延長 r的位置處，若在時(shí)間 上也滯后 t則信號相位與r處t時(shí)刻的相位保持一致。這說明r處的波相位在At時(shí)間后傳播到+處，因此將式(5)變形可得到rV - (6),k t在真空中電磁波的相速表示波的相速度由角頻率和波矢量共同決定。度為c 折射指數(shù)n定義為:由于介質(zhì)中電波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速， 所以折射指數(shù)也可能大于1,也可

3、能小于1。如果限制是實(shí)數(shù)，若有一解，使得 k和n也是實(shí)數(shù)，則代表無 衰減的波傳播。若k和n為純虛數(shù)，則相應(yīng)的波是消散波。波場強(qiáng)度 隨距離指數(shù)地減小。如果將介質(zhì)等效為阻抗負(fù)載，則實(shí)數(shù)負(fù)載代表介 質(zhì)從輸入端口全部吸收能量，然后又從輸出端口全部放出能量， 類似 傳輸線特性；如果負(fù)載為虛數(shù)，則代表負(fù)載從輸入端口全部吸收能量 后，又從輸入端口全部釋放出去，因此電波就不能傳播，只能到達(dá)一 定的深度后就反射出去了，類似界面反射。如果k和n即有實(shí)部又有 虛部，則波的傳播伴隨著衰減(或增長)。如果和k是實(shí)數(shù)，且是常數(shù)，則上述平面波將充滿整個(gè)空間。 波的相速度可以遠(yuǎn)大于光速，這時(shí)波的傳播既不輸送任何能量， 也不傳

4、送任何信息。實(shí)際上對于穩(wěn)定的單頻單色波，根本沒有傳輸?shù)母拍? 要利用電磁波來傳輸信息，本質(zhì)上是傳送變化量，而且變化量必須要有帶寬，不可能是單色單頻信號。這與" Shannon定律”是一致的，因此要研究信息傳遞的速度，必須要研究有一定帶寬的波包的傳遞速度。即群速度。根據(jù)傅里葉變換的方法可以將波包看做單色波的疊加，波包的傳 播表現(xiàn)為單色波振幅和相位疊加效應(yīng)的傳播， 而不是單色波的相位傳播。所以波包的傳播速度被定義為等幅面的傳播速度，即群速度。這里先考慮最簡單的情況,兩個(gè)等幅度，相位和頻率有一定偏差的雙頻信號E(r,t) Aej(k k)r ()t Aej(k k)r (川(8)a b a

5、 b、2 cos()cos( )22a b、za b、2sin(2")cos(2-)利用三角公式cosa cosbsina sinb可以將式轉(zhuǎn)換為：E(r,t) 2Acos( kr t)ej(kr t) (9)如果只考慮包絡(luò)2A cos( krt)等幅度面的傳播，設(shè)波包包絡(luò)在t時(shí)間移動了 r距離。注意不是單頻波相位移動的距離和時(shí)間。k (r r) (t t) kr tk r trVg 4 (io)t k若介質(zhì)沒有色散效應(yīng)，則群速度與相速度一致。如真空中電磁波傳播速度恒等于c ,因此c c 。kk k k kk若介質(zhì)存在色散效應(yīng)，即，則群速度不等于相速度。k k k k這里還要注意一個(gè)

6、問題就是式(9)波包傳播時(shí)，兩個(gè)正弦波合成后的 相位因子ej(kr t)的傳播并不與波包包絡(luò)一致，我一開始就是因?yàn)?這個(gè)概念弄錯(cuò)了，所以一直不能正確理解和計(jì)算，花了半天時(shí)間才想 明白這個(gè)問題。圖 1 群速度=相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)圖 2 群速度小于相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.05)2圖 2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是從最簡單的雙頻正弦波疊加來討論波包的概念。式(9)中的包絡(luò)與后面的相位因子是無關(guān)的，后面的相位因子類似調(diào)制中的載 波。波包在傳遞過程中保持不

7、變。也只有這樣才能認(rèn)為波包在穩(wěn)定傳 播。如果考慮有3個(gè)單頻波，分別為s1,s2和s3,則利用公式(8)可 得到s12,s23,s31三個(gè)子波包。總的波包則等于(s12 s23 s31),根2據(jù)式(10)則可以得到3個(gè)群速度VG12 VG23 VG31若這3個(gè)群速度不相等，則波包包絡(luò)不能穩(wěn)定傳輸(或者產(chǎn)生更高階的波包)，反過來若要波包穩(wěn)定傳輸則必須 VG12=VG23=VG31g對k的函數(shù)必須 是單調(diào)的(或者在，k附近單調(diào))。則將式(10)進(jìn)一步基本化為式 (11)Vg Vg ( (11)g t k g k ''其中 (k)由色散關(guān)系決定。將式(11)可變?yōu)?rVg r ()t 0 (12) t g kkt 0 (13)如果從0位置0時(shí)刻開始則k rt 0 (14)r(k2)t(8)若考慮多個(gè)單頻波疊加可表示為:E(r,t