1、高考復習指導講義 第四章 數列、極限、數學歸納法一、考綱要求1.掌握：掌握等差數列、等比數列的概念、通項公式、前n項和公式；能夠運用這些知識解決一些實際問題；掌握極限的四則運算法則.2.理解：數列的有關概念；能根據遞推公式算出數列的前幾項；會求公比的絕對值小1的無窮等比數列前n項的極限.3.了解：了解遞推公式是給出數列的一種方法；了解數列極限的意義；了解數學歸納法的原理，并能用數學歸納法證明一些簡單問題.二、知識結構(一)數列的一般概念數列可以看作以自然數集(或它的子集)為其定義域的函數，因此可用函數的觀點認識數列，用研究函數的方法來研究數列。數列表示法有：列表法、圖像法、解析法、遞推法等。列

2、表法：就是把數列寫成a1,a2,aan或簡寫成an，其中an表示數列第n項的數值，n就是它的項數，即an是n的函數。解析法：如果數列的第n項能用項數n的函數式表示為an=f(n)這種表示法就是解析法，這個解析式叫做數列的通項公式。圖像法：在直角坐標系中，數列可以用一群分散的孤立的點來表示，其中每一個點(n,an)的橫坐標n表示項數，縱坐標an表示該項的值。用圖像法可以直觀的把數列an與n的函數關系表示出來。遞推法：數列可以用兩個條件結合起來的方法來表示：給出數列的一項或幾項。給出數列中后面的項用前面的項表示的公式，這是數列的又一種解析法表示稱為遞推法。例如：數列2，4，5，遞推法表示為a1=2

3、其中an+1=an+又稱該數列an+1=an+(nN) 的遞推公式。由數列項數的有限和無限來分數列是有窮數列和無窮數列。由數列項與項之間的大小關系來分數列是遞增數列、遞減數列、擺動數列以及常數列。由數列各項絕對值的取值范圍來分數列是有界數列和無界數列、通項公式是研究數列的一個關鍵，歸納通項公式是求數列通項公式的最基本方法，給出數列的前n項，求這個數列的通項公式并不是唯一的，也并非所有的數列都能寫出通項公式。數列an的前n項和是：a1+a2+a3+an記作Sn，要正確認識數列前n項和的符號，Sn是下角碼n的函數。數列的前n項和與通項之間的關系是an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n2)本單元習題

4、主要有兩種類型：已知數列的通項公式或遞推關系寫出數列或數列的某一項、某幾項。由題設寫出數列的通項公式。(二)等差數列和等比數列1.等差數列定義、表示法及性質(1)等差數列定義中，要準確地理解，穩健地應用公差d，準確的理解即注意定義中“從第二項起”及“同一個常數”的含義，穩健地應用即an+1-an=d是證明數列是等差數列的理論依據之一，而d的符號又決定等差數列的單調性。(2)如果一個數列an是等差數列，公差為d，則這個數列可表示為：列表法：a1,a1+d,a1+2da1+(n-1)d簡寫成a1+(n-1)d特殊地，只有三項時可寫成：a-d,a,a+d，只有四項時可寫成：a-3d,a-d,a+d,

5、a+3d.表示規律：奇數項公差為d，偶數項公差為2d，它們是解決等差問題的計算工具。解析法：an-an-1=d(n2,nN)特殊地，只有三項時可寫成A-x=y-A即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中項，它們是解決等差問題的證明工具。圖像法：an=a1+(n-1)d可改寫成an=dn+a1-d這表明當d0時an是關于n的一次函數，因此在直角坐標系中等差數列的圖像是：以d為斜率在y軸上截距為a1-d并且n為自然數的一條直線上一些分散的點。(3)等差數列的通項公式已知a1和公差d，則有an=a1+(n-1)d已知am和公差d，則有an=am+(n-m)d(m,nN)(4)等差數列的前n項和公式已知

6、a1和an，則有Sn=(nN)已知a1和d，則有Sn=na1+d(nN)(5)等差數列的性質在等差數列的前n項中，與兩端等距離的兩項之和均相等，即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ar+an-r+1=在等差數列中，若某兩項的項數之和是定值，則相應的兩項的數值之和也是定值。即：在等差數列an中，如果m+n=p+q(m,n,p,qN)，那么，am+an=ap+aq用圖像法表示等差數列時，其各點均在以公差d為斜率的一條直線上，即d=(m,nN,mn)等差數列等距離的取出若干項，仍然是等差數列。公差為d的等差數列，按k項分組，每k項之和組成的數列仍是等差數列，其公差為k2d.即：a1+a2

7、+a3+ak,ak+1+ak+2+a2kank+1+ank+2+ank+k仍是等差數列。兩個等差數列的第n項之比等于前2n-1項之和的比。數列an成等差數列的充要條件是an=dn+c(d,c為常數，nN)數列an成等差數列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b為常數，nN)2.等比數列定義、表示法及性質(1)在等比數列的定義中要準確地理解，靈活地應用公比q，準確地理解即注意定義中“從第二項起”及“同一個常數”的含義，注意公比q不能為零。靈活地應用表現在：當=q(nN,q為常數)時，此數列是等比數列；表現在當q0時等比數列各項符號均相同，當q0時各項符號正負相間；表現在當q1時數列每一項取絕對值

8、后是遞增的，當q1時數列每一項取絕對值后是遞減的。(2)如果一個數列an是等比數列，公比為q，那么該數列可表示為：列表法：a1,a1q,a1q2a1qn-1可簡寫成a1qn-1特殊地，只有三項時可寫成：,a,aq只有四項時可寫成：、aq、aq3表示規律：奇數項公比為q，偶數項公比為q2，它們是解決等比數列問題的計算工具。解析法：=q(nN,q0)特殊地，只有三項時可寫成=或G2=xy或G=±其中G叫做x、y的等比中項，它們是解決等比問題的證明工具。圖像法：表示數列cqn的各點均在指數函數y=cqx的圖像上(其中c=)(3)等比數列的通項公式已知a1和公比q，則有an=a1qn-1(n

9、N)已知am和公比q，則有an=amqn-m(m,nN)(4)等比數列的前n項和公式na1(q=1) na1(q=1)Sn=或(q1)(q1)(5)等比數列的性質在等比數列的前n項中，與兩端等距離的兩項之積均相等。即：a1·an=a2·an-1=ar·an-r+1=在等比數列中，若兩項的項數之和是定值，則相應兩項的數值之積也是定值。即在等比數列an中，若m+n=p+q，則am·an=ap·aq(m,n,p,qN)公比為q的等比數列，按k項分組，每k項之和組成的數列仍是等比數列。從公比為q的等比數列中，取出等距離的項組成的數列仍是等比數列。公比為

10、q的等比數列中，相鄰的k項之和(設第一項為am)等于前k項之和的qm-1倍。(三)數列求和數列求和是中學數學中規律性很強的一部分內容，本單元主要讓學生掌握數列求和的常用方法。求數列的前n項和Sn，通常要掌握以下解法：1.倒序相加法：如果一個數列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。2.錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法。3.分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，或把數列重新組合或把整個數列分成兩部分，使其轉化成等差數列或等比數列

11、，這一求和方法稱為分組轉化法。4.裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消方法。5.公式法求和：所給數列的通項是關于n的多項式，此時求和可采用公式法求和。常用公式有：=13+23+33+n3=n2(n+1)2=1+2+3+n=n(n+1)=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)(四)數列的極限1.要深刻地理解數列極限的定義(1)要記準定義中字母、符號的含義及其功能。定義中的是任意給定的正數，它主要反映an與A接近的程度，因為可以任意的小，所以an與A可以無限地

12、接近。N是一個自然數，其功能是當nN時有an-A恒成立。顯然對一個與其對應的N并不是唯一的，確定N一般以解題簡便為原則。符號“”表示趨近于，符號“”表示無窮大，符號“n”表示n趨近于無窮大，即無限增大的意思。無窮大表示量的變化狀態，它不是一個確定的數，切不要與很大的數混為一談，更不能進行常規的四則運算。(2)要了解定義的幾何意義。數列an當n時，極限為A的幾何意義為：將數A與數列an在數軸上用它們的對應點表示出來，再以A為圓心，以為半徑在數軸上截取兩點A-，A+，如圖，因為不等式an-A相當于A-anA+.當nN時，所有的點an落在開區間(A-，A+)內，而只有有限個(至多只有N個)點疏散在這

13、一區間外，越小，開區間(A-，A+)的長度也越小，可見an是凝聚在點A的近旁，這就是an=A2.在使用數列極限的運算法則時，必須注意以下兩點：(1)參與運算的每一個數列的極限都是存在的。(2)參與運算的數列的個數必須是有限個。3.無窮等比數列各項的和(1)定義：公比的絕對值小于1的無窮等比數列前n項的和當n無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數列各項的和，用符號S表示。(2)公式：S=(q1)(3)注意：此和不同于初等數學中有限項的和，它是一個數列的極限。4.熟記三個重要極限(1)C=C(C為常數)(2)=0qn=0(q1)極限的思想方法是人們從有限認識無限，從近似認識精確，從量變認識質變的一種

14、數學方法。(五)數學歸納法1.用數學歸納法證明命題的具體步驟是：(1)證明當n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時結論正確。(2)假設當n=k(nN且kn0)時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確。在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對從n0開始的所有的自然數n都正確。上面的證明第一步是遞推基礎，第二步是遞推的依據，兩者缺一不可。2.用數學歸納法證明命題時，難在第二步。即在假設n=k命題成立時，推出n=k+1時命題也成立。要順利地完成這一步，主要依賴于觀察、歸納、恒等變形等方面的能力。在推導證明中必須運用到“歸納假設”，否則不是數學歸納法。三、知識點、能力點提示例1設T1，T2，T3

15、為一組多邊形，其作法如下：T是邊長為1的三角形以Tn的每一邊中間的線段為一邊向外作正三角形，然后將該1/3線段抹去所得的多邊形為Tn+1，如圖所示。令an表示Tn的周長，A(Tn)表示Tn的面積。()計算T1，T2，T3的面積A(T1)，A(T2)，A(T3)()求(+)的值。解：()A(T1)=·1·1·sin60°=A(T2)=3····sin60°+A(T1)=A(T3)=12····sin60°+A(T2)=()由分析知an=an-1(Tn的邊數是

16、Tn-1邊數的4倍且每邊是原來的1/4)故an=3·()n-1=·()n-1(+)=注：本題綜合考察由圖像的變化中抽象出數列知識，由變化情況來分析周長、面積的變化情況，掌握其規律，將規律與數列聯系起來。求面積時，要利用面積公式及對稱性，然后由數遞推數列來求答。能力點：由圖像變化聯系數列知識。例2設ABC的三邊為a、b、c，其所對應的角為A、B、C，如果a、b、c依次成等差數列。()求證cos=2sin()求的值。解：()由a、b、c成等差數列有2b=a+c由正弦定理2sinB=sinA+sinC故2sin·cos=2sin·sin又A+B+C=知cos=

17、sincos=2sin()=cos=2sin，cos=sin原式=注：本題考察數列與三角的綜合題問題，先利用數列知識得出恒等式，然后利用三角恒等變形來解答。例3某養豬場養的豬，第一年豬的重量增長率是200%，以后每年的重量增長率都是前一年增長率的1/2。()當飼養4年后，所養的豬的重量是原來的多少倍?()如果由于各種原因，豬的重量每年損失預計重量的10%，那么經過多少年后，豬的總重量開始減少?解：()依題意，豬的重量增長率成等比數利設原來豬重為a，則四年后a·(1+200%)(1+2·)(1+2··)(1+2···)=a答：

18、養4年后豬的重量是原來的倍。()由anan+1知anan(1+)(1-)得2n-19n5故5年后豬的重量會減少。注：本題考察利用等比數列來解決實際問題，并利用不等式的知識，先要能將實際問題變成數列問題，然后運用數列知識解答，同時又要將實際問題變成不等式問題，再解不等式。例4已知等比數列an中，a1=a0,公比q0且q1，同時對于任意自然數n，都有an1，將以x為未知數的方程axn·a2n+1·=1稱作方程In.(1)試證明I1，I2，I3有公共解，并求這個公共解。(2)試證明對于每一個給定的自然數n，方程In除公共解外，還有另一個解，并求出這個解進一步證明數列是一個等差數列

19、。證明：由a2n+1=anan+2代入方程得anx+1·an+1·an+2=1即anx+1·an+2=1化為(an·an+1)1+=1顯然x=-1是方程的一解。當x+10時，由知，an·an+2=1anx·an+2=1(a·qn-1)x=(a·qn+1)-1x=logaqn-1(aqn+1)-1=-1-為所求除公共解外的另一解。于是=-logqa+(n-1)(-logqa)由等差數列的通項公式可知，數列，是一以-logqa為首次-logqa為公差的等差數列。注：本題考察等比數列與指數方程及等差數列的綜合題，訓練等比

20、數列性質的應用及特殊方程的解法及證明等差數列的能力。例5已知數列an中，an=(n+2)()n，試問n取何值時，an取最大值?并求此最大值。解：=·=·=+·當且僅當n7時，=1即a8=a7當n7時，1，即an+1an有a7a6a1當n8時，1，即an+1an有a8a9a10故當n=7時或8時，an取最大值，最大值為.說明：因an是n的函數，難在an是一個一次函數(n+2)與一個指數函數()n的積，所以從一次函數或指數函數增減性看，一增一減積不確定。但nN，試從an與an+1的大小入手。例6有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列并且第一個數與第四個數

21、的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數。解1：設四個數依次為a-d,a,a+d, a-d+=16a=4a=9由條件有解得或a+a+d=12d=4d=-6當a=4,d=4時，所求四個數為0，4，8，16當a=9,d=-6時，所求四個數15，9，3，1解2：設四個數依次為-a,a,aq(a0)-a+aq=16 q=2q=由條件有解得或+a=12 a=8a=3當q=2,a=8時，所求四個數為0，4，8，16當q=,a=3時，所求四個數為15，9，3，1解3：設四個數依次為x,y,12-y,16-x2y=x+(12-y)x=0x=15由條件有解得或(12-y)2=y·(16-x

22、)y=4y=9故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1說明：如何設這四個數，對解法的優劣會產生影響，充分利用已知條件的特征，合理地減少未知數的個數，可簡化運算。充分利用只有三項的等差、等比數列解析表達式的特征及題中所給的等量條件，合理地選取未知數及未知數的表達形式是解決這類問題的關鍵，解法1突出使用等差數列的計算工具，解法2突出使用等比數列的計算工具，解法3合理地選取未知數及未知數的表達形式。例7數列an為等差數列，且Sn的最大值為S7，a7a8，求使Sn0的n的最大值。解：由題意可知：a10,d0a7a8a80又S7是Sn的最大值，a7,a80d0a1+6d0-6有a1+7d0a1+

23、6d-(a1+7d)Sn0na1+d=n2+(a1-)n00n2+(2·-1)n又nNn1-13-12131-14故當1-=13時，使Sn0的n的最大值為12.當131-14時，使Sn0的n的最大值為13.說明：在等差數列中，當a10,d0時，解不等式組an0an+10可得Sn達到最大值時的n值，當a10，d0時解不等式組an0可得Sn達到最小值時的n值。an+10例8某種汽車(A)購車費用10萬元，(B)每年應交保險費、養路費及汽油費合計9千元，(C)汽車的維修費平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元各年的維修費平均數組成等差數列，問此種汽車使用多少年報廢最合算(即使多少年

24、，年平均費用最少)并分析A、B、C三筆費用分別對選擇最合算的使用年限的影響。解：設選擇n年最合算，則年平均費用(單位：萬元)為：S=(0.2+0.4+0.2n)+10+0.9n=·n+10+0.9n=n+0.1n2+10=+12+1=3當且僅當=即n=10時取等號。故汽車使用10年報廢最合算，年平均費用為3萬元。(A)購買車費越高使用年限越長。(B)為一常量，不影響使用時間。(C)維修費用遞增越快，使用時間越短。說明：解應用題的關鍵是建立數學模型，本題的數學模型是：年平均費=n年的維修費+購車費+n年的保養費、汽油費此題只要把模型中的量具體化就可得相應的解析式。本題是數列與最值的綜合

25、應用題。例9某下崗職工準備開辦一個商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復利計算(即本年利息計入下一年的本金生息)，利率為q(0q1)，據他的估算，貸款后每年可償還A元，30年后還清。(1)求貸款金額(2)若貸款后前7年暫不償還，從第8年開始，每年償還A元，仍然在貸款后30年還清，試問：這樣一來，貸款金額比原貸款金額要少多少元?解：設貸款金額為x元，則1年后欠款為a1=x(1+q)-A元。2年后欠款為a2=a1(1+q)-A=x(1+q)2-A(1+q)+13年后欠款為a3=a2(1+q)-A=x(1+q)3-A(1+q)2+(1+q)+1仿此，30年后欠款為a30=x(1+q)30-A(1+q)

26、29+(1+q)28+1a30=0x(1+q)30=Ax=· (元)(2)設第8年開始償還的這種貸款金額為y元，則8年后欠款為b8=y(1+q)8-A9年后欠款為b9=b8(1+q)-A=y(1+q)9-A(1+q)+A仿此，30年后欠款為b30=y(1+q)30-A(1+9)22+(1+q)21+1b3=0y(1+q)30=A(1+q)22+(1+q)21+1y=·(元)故x-y=·1-(元)說明：因貸款利息按復利計算，所以貸款后每年本息各不相同，該職工欠款逐年減少，直至30年后還清，即此問題應建立數學模型。例10某地區現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單

27、產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃?(精確到1公頃)(糧食單產=總產量/耕地面積，人均糧食占有量=總產量/總人口數)解：設耕地平均每年至多只能減少x公頃，該地區現有人口為A人，人均糧食占有量為b噸，由題意可得不等式：(1+0.22)化簡可得104-10x即xx4(公頃)按規劃該地區耕地平均每年至多只能減少4公頃。說明：建立本題數學模型的關鍵是：10年后糧食單產比現在增加22%，由題意設現在總人口為A人，人均糧食占有量為b噸，現在耕地共有104公頃，于是現在的糧食單產量噸/公頃，10年后總人口為A(1+0.01)10，

28、人均糧食占有量b(1+0.1)噸，若設平均每年允許減少x公頃，則10年后耕地共有(104-10x)公頃，于是10年后糧食單產量為噸/公頃，由糧食單產10年后比現在增加22%得不等式(1+0.22)即所建的數學模型。例11已知數列an的前n項和Sn=10n-n2(nN)數列bn的每一項都有bn=an，求數列bn的前n項和Tn的公式。解：當n=1時，an=S1=9當n2時，an=Sn-Sn-1=11-2n,又11-2×1=9=a1an=11-2n(nN)令an0則11-2n01n5(nN)(1)當1n5(nN)時，an=11-2n，即bn=an=an=11-2n此時bn是首項為9，公差為

29、-2的等差數列Tn=9n+(-2)=10n-n2(2)當n6(nN)時，bn=an=-an=2n-11此時bn是首項為1，公差為2的等差數列。Tn=10×5-52+(n-5)·1+×2=n2-10n+510n-n2(1n5,nN故Tn=n2-10n+5(n,nN)說明：由題設bn=an而知，本題要使用分類討論思想來求前n項和Tn。例12求和：1+11+111+解：=1+10+102+103+10n=(10n-1)1+11+111+111=(10-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)=(10+102+103+10n)-n=()-n=說明：先求出通項公

30、式即an=(10n-1)，再把其轉化為一個等比數列及一個常數列求和，數列=a,或數列：0.a,0.,0.,(1a9)均可依上法求和。例13已知數列an中，an=，前n項和Sn，試比較Sn與2的大小。解：Sn=+又Sn=+Sn=(+)-=1-即Sn=2-2說明：Sn隨n增大而增大。不宜用遞推與常數2直接比大小。考慮先求和，宜用錯項相減法，對等差、等比對應項積構成新數列均有效。例14求和：×××（n-1）(2n)2解：(2k-1)(2k)2=8k3-4k2(kN)Sn=(8k3-4k2)=8k3-4k2=8×n2(n+1)2-4×n(n+1)(2n

31、+1)=n(n+1)(3n2+n-1)說明：若通項是關于n的多項式的乘積，首先展開整理為n的多項式，然后利用自然數，自然數平方和立方和等公式求數列的和。例15已知數列an的相鄰兩項an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根(nN)且a1=2,Sn=c1+c2+cn(1)求an(2)求S2n解：an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根anan+1=()n,an+an+1=cn又a1=2a2=同理an+1,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的兩根an+1an+2=()n+1取立得=即a1,a3,a5是公比為的等比數列，a2,a4,a6是公比為的等比數列。當n=2k-1

32、時a1=2a2k-1=2·()k-1,即an=2·()當n=2k時，a2=a2k=()k-1,即an=()-12·()(n為奇數)(1)an=()-1(n為偶數) (2)cn=an+an+1當n為奇數時，n+1為偶數，有cn=2·()+()-1=()當n為偶數時，n+1為奇數，有cn=()-1+2()=()-1c1,c3c2n-1為首項c1=，公比為的等比數列；c2,c4c2n為首項c2=，公比為的等比數列故S2n=c1+c2+c3+c4+c2n-1+c2n=(c1+c3+c2n-1)+(c2+c4+c2n)=+=1-()n說明：由an,an+1滿足的條

33、件建立an,an+1的等式，逐步求出an及S2n.例16用極限定義證明：=3證明： =(n2)設是任意給定的正數，要使成立，只要成立，即n成立，取N是的整數部分，當nN時恒成立，=3說明：用定義證明數列的極限常使用分析法，關鍵是確定N，求N的方法有(1)直接解不等式an-A，求出nN()，其中N是N()的整數部分。(2)當an-A不易解出n可用放大法(不能縮小)即an-Abn然后解不等式bn，求出nN()，N是N()的整數部分。例17如圖，在RtABC中，B=90°，tgC=，AB=a，在ABC內作一系列的正方形求所有這些正方形面積的和S.解：設第n個正方形的邊長為an，由三角形相似

34、可得=(其中Sn=a1+a2+an)AB=a,tgC=,BC=2a于是有=，即Sn=2a-2an當n2時，有an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1，即3an=2an-1=tgC=AB=a=a1+a1a21=a2，故數列an2是首項為a2，公比為的無窮等比數列.且1S=a2說明：應用公式S=解決實際問題時，(1)要證明組成的數列是無窮等比數列，并確定a1和q.(2)要證明q1.(3)代入公式化簡.例18已知數列an、bn都是正數組成的等比數列，公比分別為p、q，其中pq且p1,q1設cn=an+bn,Sn為數列cn的前n項和.求解：數列an,bn是等比數列且an0,bn0,p1,q1又Sn=

35、+=于是=當p1時，有0qp1 =1當p1時，有01,01=p說明：本題應用等比數列的前n項和公式，求得的解析式后使用重要極限qn=0進行計算，因為公比是用字母表示，所以要注意分類討論。例19求證：二項式x2n-y2n(nN)能被x+y整除證明：當n=1時，x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除。假設n=k時，x2k-y2k能被x+y整除。那么n=k+1時即x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2·y2k-y2·y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除x2(x2k-y2k)+y2k(x2-

36、y2)能被x+y整除即n=k+1時，x2k+2-y2k+2能被x+y整除由可知，對任意的自然數n命題均成立。說明：由假設設以x2k+2為主進行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設，剩余部分仍然能被x+y整除。例20已知：x-1且x0,nN,n2求證：(1+x)n1+nx證明：當n=2時，不等式左邊=(1+x)2=1+2x+x2右邊=1+2xx20原不等式成立假設n=k(2)時，原不等式成立即(1+x)k1+kx成立那么當n=k+1時，x-1，1+x0于是有(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+

37、1)x(kx20)即n=k+1時，原不等式成立由可知，對任何nN(n2)，原不等式均成立。例21已知數列an的前n項和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數n都成立?試證明你的結論。解：設存在a,b,c符合條件，則令n=1，有a1=a+b+c=1令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2得a2=3有a2=4a+2b+c=3令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3得a3=6有a3=9a+3b+c=6a+b+c=1聯立4a+2b+c=3解得a=,b=,c=09a+3b+c=6對n=1,2,3存在a,b,c使得an=n(n

38、+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推測nN時，存在a,b,c使得an=n(n+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立。證明：當n=1時，由上述推測成立假設n=k時，推測成立，即ak=k(k+1)且滿足a1=1,3Sk=(k+2)ak，那么ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)+2ak+1-(k+2)ak=(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)則6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)所以ak+1=(k+1)(k+2)即n=k+1時，推測也成立由知nN時，推測都成立。說明：存在性問題的常規思路，先假設存在，再進行演繹推理若結果合理即肯定，反之否定，又因為

39、此題涉及自然數，故實施時，先特殊探求，推測一般結論，用數學歸納法證明結論的真實性。四、能力訓練(一)選擇題1.在等差數列an中，若a3+a9+a15+a17=8，則an等于()A.1B.-1C.2D.-22.已知等比數列an的各項均為正數，公比q1，設P=，Q=則P與Q的大小關系是()A.PQB.PQC.P=QD.無法確定3.等差數列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn，對一切自然數n，都有=，則等于()A.B.C.D.4.已知數列an的通項公式an=3n-50，則其前n項和Sn的最小值是()A.-784B.-392C.-389D.-3685.公差不為0的等差數列an中，a2，a3，a6依次成

40、等比數列，則公比等于()A.B.C.2D.36.數列1，的前100項和等于()A.13B.13C.14D.147.非零實數x，y，z成等差數列，x+1，y，z，與x，y，z+2分別成等比數列，則y=()A.10B.12C.14D.168.無窮數列各項的和等于()A.1B.C.D.9.無窮等比數列an中，a1=，q=設Tn=a22+a24+a26+a22n，則Tn等于()A.B.C.2D.110.已知等比數列an中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+an，則Sn等于()A.B.C.6D.12(二)填空題11.已知數列an中，a1=1，=+(nN)，則a50=_

41、.12.已知數列an的前n項和Sn=n2+3n+1，則a1+a3+a5+a21=_.13.在等差數列an中S6=0(d0)，如果am，am+1，a2m成等比數列，則m的值等于_.14.已知數列an滿足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)，則它的前n項和Sn=_.15.已知數列an滿足Sn=an2+bn(nN)，那么數列an是_數列.(三)解答題16.數列an，當n為奇數時，an=5n+1；當n為偶數時，an=2，求這個數列的前2m項的和.17.數列an為等差數列，為公差；數列sinn是等比數列，公比為q，又nR，R，且sin10，求公差和公比q.18.已知a1，a2，a3，a4

42、成等差數列，b1，b2，b3，b4成等比數列，且a1+b1=15，a2+b2=14，a3+b3=15，a4+b4=20，求等差數列an的公差d及等比數列bn的公比q.19.已知數列an中，a1=，Sn=n2·an(nN)()求a2，a3，a4的值；()推測數列an的通項公式，并用數學歸納法加以證明；()求Sn.20.是否存在常數a，b使等式1·n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)對一切自然數N都成立，并證明你的結論.參考答案(一)1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8

43、.B 9.A 10.A提示：1.3+9+15+17=44，a3+a9+a15+a17=4a11. 即4a11=8，a11=2.2.Q=，各項為正，q1，即PQ.3.=.4.an=3n-500，n16，a16=-2，又a1=-47，當n=16時Sn最小，×16(-47-2)=-392.6.第100項是分母是14的第9個. 故S100=13+×9=13.7.由已知條件得2y=x+z2y=x+zy2=(x+1)zy2=(x+1)z求得y2=x(z+2)z=2x.y=12.8.=(-).Sn=(1-+-+-)=(1-).Sn=.9.a2=a1q=，故a22=，q2=.Tn=.10.由a1+a2+a3=9，又(a1+a2+a3)q3=-3.=-3，q3=-.Sn=.(二)11. 12.265. 13.4.14.(n2+3n). 15.等差.提示：11.=1，-=.=1+(50-1)=，故a50=.12.a1=S1=5，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+25， n=1an=2n+2， n2.an從第2項開始成等差數列.又 a3=8，a5=12，d=4，a21=44.a1+a3+a5+a21=a1