1、第2節雙曲線及其性質題型116 雙曲線的定義與標準方程1.（2013江西理14）拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于兩點，若為等邊三角形，則2.(2013陜西理11）雙曲線的離心率為，則等于.3（2013廣東理7）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，離心率等于，在雙曲線的方程是（）.A B C D4.（2014 天津理 5）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為（）.A. B.C.D.5.（2014 廣東理 4）若實數滿足則曲線與曲線的（）.A.焦距相等 B.實半軸長相等 C. 虛半軸長相等D.離心率相等6.（2014 北京理 11）設雙曲線經過點，且與具

2、有相同漸近線，則的方程為_；漸近線方程為_.7.（2015福建理3）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（）.A11B9 C5D37解析由雙曲線定義得，即，得故選B8.（2015廣東理7）已知雙曲線的離心率，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）.ABCD8解析因為所求雙曲線的右焦點為，且離心率為，所以，所以，所以所求雙曲線方程為.故選C9.（2015天津理6）已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（）.ABCD9解析雙曲線的漸近線方程為，由點在漸近線上，所以，雙曲線的一個焦點在拋物線準線方程上，所以，由此可解得，所以雙曲線方程為.故選D.10

3、.（2016江蘇3）在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距是10.解析，故焦距為11.（2016全國乙理5）已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為，則的取值范圍是（）.A. B. C. D.11. A 解析由表示雙曲線，則，得，所以焦距，得，因此.故選A.12.（2016天津理6）已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（）.A. B. C. D.12. D 解析根據對稱性，不妨設在第一象限，聯立，得.所以，得.故雙曲線的方程為.故選D.13.（2016北京理13）雙曲線的漸近線為正方形的邊，所在的直線，點為該雙曲

4、線的焦點.若正方形的邊長為，則_.13.解析可得雙曲線C的漸近線方程為，所以.再由正方形的邊長為，得其對角線的長，所以，解得.14.（2017北京理9）若雙曲線的離心率為，則實數_.14. 解析由題知，則.15.（2017天津理5）已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經過點和點兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）.A.B.C.D.15.解析由題意得，所以.又因為，所以，則雙曲線方程為.故選B.16.（2017全國3卷理科5）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（）.ABCD16解析因為雙曲線的一條漸近線方程為，則又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，易知，則由

5、,，解得，則雙曲線的方程為.故選B.題型117 雙曲線的漸近線1.（2013江蘇3）雙曲線的兩條漸近線的方程為.2（2013四川理6）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B. C. D.3. (2013福建理3）雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（）.A. B. C. D.4.（2014 新課標1理4）已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（）.A. B. C. D. 5.（2014 山東理 10）已知,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）.A. B. C. D.6.（2014 北京理 11）設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為_；

6、漸近線方程為_.7.（2015安徽理4）下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（）.ABCD7. 解析由題可得選項A，C的漸近線方程都為，但選項A的焦點在軸上故選C8.（2015北京理10）已知雙曲線的一條漸近線為，則.8.解析依題意，雙曲線的漸近線方程為，則，得.9.（2015江蘇12）在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點若點到直線的距離大于恒成立，則實數的最大值為9. 解析找到到直線的最小距離（或取不到），該值即為實數的最大值由雙曲線的漸近線為，易知與平行，因此該兩平行線間的距離即為最小距離（且無法達到），故實數的最大值為10.（2015四川理5）過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的

7、直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點，則（）.A. B. C. 6D. 10. 解析由題意可得，故.所以漸近線的方程為.將代入漸近線方程，得.則.故選D.11.（2015浙江理9）雙曲線的焦距是，漸近線方程是11.解析因為，所以焦距是，漸近線方程為.12.（2015重慶理10）設雙曲線的右焦點為，右頂點為，過作的垂線與雙曲線交于，兩點，過，分別作，的垂線，兩垂線交于點.若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）.A. B. C. D. 12. 解析根據題意知點一定在軸上，所以點到直線的距離為，由圖知，又因為，所以，解出，所以，根據實際情況，所以故選A13.（2016上海理21（1

8、）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于，兩點.若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；13.解析（1）由已知，不妨取，則，由題意，又，所以，即，解得，因此漸近線方程為14.（2017江蘇08）在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點，其焦點是，則四邊形的面積是14.解析雙曲線的漸近線方程為，而右準線為，所以，從而故填15.（2017山東理14）.在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為.15. 解析設，由題意得.又，所以，從而雙曲線的漸近線方程為.題型118 雙曲線離心率的值及取值范圍1(2013湖南理14）

9、設是雙曲線的兩個焦點，是上一點，若且的最小內角為，則的離心率為_.2.（2013浙江理9）如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是，在第二.四象限的公共點.若四邊形為矩形，則的離心率是A. B. C. D.3（2013湖北理5）已知，則雙曲線與的（）. A實軸長相等 B虛軸長相等 C焦距相等 D離心率相等4.（2014 重慶理 8）設分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，則該雙曲線的離心率為（）.A. B. C. D. 5.（2014 湖北理 9）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（）.A. B. C.3 D.26.（201

10、4 浙江理 14）設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是_.7.（2015湖北理8）將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（） A對任意的，B當時，；當時， C對任意的，D當時，；當時，7解析由題意，當時，；當時，.故選D.命題意圖考查雙曲線的有關概念、性質及比較實數大小的基本方法8.（2015湖南理13）設是雙曲線的一個焦點，若上存在點，使線段的中點恰為其虛軸的一個端點，則的離心率為.8. 解析根據對稱性，不妨設，短軸端點為，從而可知點在雙曲線上，所以.9.（2015全國II理11）已知為雙曲線的左、右頂點，點在上，為等

11、腰三角形，且頂角為，則的離心率為（）A. B. C. D. 9. 解析設雙曲線方程為，如圖所示，由，則過點作軸，垂足為，在中，故點的坐標為，代入雙曲線方程可得，即有，所以.故選D命題意圖在圓錐曲線的考查中，雙曲線經常以選擇或填空題的形式出現.一般抓住其定義和性質可以求解.本題中要充分利用頂角為的等腰三角形的性質來求解.10.(2015山東理15)平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點. 若的垂心為的焦點，則的離心率為.10.解析由題意，可設所在直線方程為，則所在直線方程為，聯立，解得，而拋物線的焦點為的垂心，所以，所以，所以，所以，所以11.（2016山東理13）已知雙曲線，若矩形的四

12、個頂點在上，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是_.11.解析由題意，又因為，則，于是點在雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為.12.（2016全國甲理11）已知，是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，與軸垂直，則E的離心率為（）.A. B. C. D.212. A 解析離心率，因為，所以.故選A13.（2016四川理19）已知數列的首項為，為數列的前項和，其中， .（1）若，成等差數列，求的通項公式；(2)設雙曲線的離心率為，且，證明：.13.解析（1）由已知得，兩式相減得到，.又由得到，故對所有都成立.所以，數列是首項為，公比為的等比數列.從而.由，成等差數列，可得，即，則.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以雙曲線的離心率.由，解得.因為，所以.于是，故.14.（2107全國2卷理科9）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）.A2 B