1、5. 1 向量及向量的加減法要點透視：斗斗1. 由于 0 的方向是任意的，且規定 0 平行于任何向量，故在有關向量平行 （共線）的問題中務必看清楚是否有非零向量”這個條件.2.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.3.數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義, 要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.4.向量的幾何加法有兩種法則：平行四邊形法則和三角形法則.當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則.向 量加_法_的三角形法 U 可推廣至多個向量相

2、加： B 啟+C |C D但這時必須“首尾相連”.活題解析：1 1 斗 T例 1.給出下列命題： 若；匸|b|，則 a = b ;若 A，B，C，D 是不共 線的四點，貝則ABC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件:H若 a=b， b = c，貝 U a= c，a=b 的充要條件是 | a|=|b|且 a/b ； 若 a/b，b/c，貝 U a/c， 其中正確的序號是_。要點精析：不正確個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.2正確.： AB 二 DC，二 |AB|=|DC|且 AB/DC，又 A，B，C，D 是不共線的四點，斗 四邊形_ABCQ 為平行四邊形屮之，若四邊形 ABCD 為平

3、行四 邊形，貝 U, AB/ DC 且|AB|電 DCJ,因此，AB 二 DC .科 科 彳 科3正確. a = b，二 a，b 的長度相等且方向相同；又 b = c，二 b，c的長度相等且方向相同， a，c 的長度相等且方向相同，故 a = c.4 4彳不正確.當 a/b 且方向相反時，即使|a|=|b|，也不能得到 a = b，故|a|=|b| 且 a/b不是 a = b 的充要條件，而是必要不充分條件. 不正確.考慮 b = 0 這種特殊情況.綜上所述，正確命題的序號是.思維延伸：本例主要復習向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復習時一方面要構建良好的知識結構，另一方

4、面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯想.-例呂.如如圖所示， 已知正六邊形 ABCDEF 是它的中心，若BA= a，BC = b，試用 a，b 將向量 OE，BF，BD，FD表示出來.要點精析：根據向量加法的平行四邊形法則和減法的三 角形法則，用向量 a，b 來表示其他向量，只要考慮它們是哪 些平行四邊形或三角形的邊即可.解：因為六邊形 ABCDEF 是正六邊形，地以它的四 O 及頂點A，B，C 四 點構成平行四邊形彳 ABCO，所以 BA BC 二 BA AO 二 B0，所以 BO = a 土 b， 以 0=衛 0=0+打,由于 A,B，O，F 四點也構成平行四邊形 ABOFJ 所以雖

5、=BO+ OF=BO+BA= a + b+a=2a + b，同樣在平行四邊形 BCDO 中，BD= BC CDBC BO = b + (a + b) = a + 2b，FD= BCBA = b a.思維延伸：其實在以 A，B，C，D，E，F 及 O 七點中，任兩點為起點和終 點，均可用 a，b 表示，且 起點和終點，也可用 a，b 表示.例 3.求證：起點相同的三個非零向量 a，b，3a 2b 的終點在同一條直線要點精析：證明：設起點為 O，OA a 貝 U ACC _OA=2(a b)，AB=OB 可用規定其中任兩個向量為 a , b，另外任取兩點為=bp OC = 3 匸 2b , a ,

6、 AC= -2AB , 彳 AC, AB 共線且有公共點 A,因此，A, B, C 三點共線，即向量 a , 3a 2b 的終點在同一直線上.思維延伸：利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：證明向量平行; 說明兩個向量有公共點，用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證 明向量平行；說明兩向量無公共點.一、選擇題1.在下列各命題中，為真命題的有(1)(2)(3)(4) 對共線向量 溫度有零上溫度和零下溫度， 因此溫度也是向量 方向為南偏西 60的向量與北偏東60的向量是共線向量 坐標平面上的x鈾和y 軸都是向量A. 1 個 B. 2 個 |b|_ ab _D .上1=0 a 弐 |AB AD

7、=|AB-A|，貝必有()B.AB= 0 或AD= 0D . ABCD 是正方形(1) 如果非零向量 a 與 b 的方向相同或相反，那么一方向相同；| j 十(2) 三角形 ABC 中4必有 AB BC CA(3) 若B 耳 BC CA=0，貝 U A， 若 a，b 均為非零向量，則 其中假命題的個數為(A. 0 個 B. 1 個6. 化簡以下各式(1) AB BC CA ；a + b 的方向必與 a，b 之=0；_B，C為三角形的三個頂點;|a + b| 與 |a|+|b|定相等，)C.(2)AB-AC BD - CD(3)OAODAD結果為零向量的個數是(A. 1 個 B. 2 個二、若空

8、題：片 7 .右 a +b = c，(4) NQ QP MN - MP)C. 3 個D . 4 個8.若點 P 為三角形厶 ABC 的外心，且9.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的|_10. 已知點 M 是厶 ABC 的重心，貝 U MA MB MC =_三、解答題：11. 如圖所示，三角形 ABC 的外接圓的圓心為O,三條高的 交點為H，連接BO并延長交外接圓于J 求證：(1) DC =OC OB;(2) OH=OA OB OC.12. 如圖所示，OADB 是以向量 邊的平行四邊形，又 BM用 a， b 表示 OM ,13. 如圖所示，在平行四邊形 ABCD 的對角線 BD 的 延長線上，

9、取點 E, F，使BE=DF，用向量的方法證 明，四邊形 AECF 也是平行四邊形.15.某人在靜水中游泳，速度為4 .3 km/h.(1)如果他徑直游向河對岸，水流速為 4 km/h，他實際沿什么方向前進? 速度大小為多少？(2)他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進，實際前進的速度 大小是多少？|a|=|c|=、2 , c 與 a 垂直，貝 U |b|=;b 與 c 的夾角OB = b為BC,CN CD，試- 314 .如圖，在 ABC 中，D，F 分別是 BC，AC 的中點,(1)用 a，b 表示向量 AD, AE, AF,BE,BF ;(2)求證 B，E，F 三點共線.5.11.

10、 B導解：(1)(2)為真命題.2. D導解：非零向量sb足a + b + c 0時不一定構成 三角形，可以是共點向置，反之也不成立.3. C導解:a = d即|a| = |b| .ab4. C導解JAB+ADIIAB-ADI是平行四邊形的兩條對 角線構成的向豪的模.1209.必要不充分 導解：向量相等有兩個條件模相等和方向相1 1 丁(AB + AC)(BC+BA)-|-(CB+CA)=0.此結論是有關三角形重心的重要 性質.U.證明，(i)因為65=苑，所以疋=冼一OD=OC+OB(2)因為BD為直徑所以ZBAD=ZBCD=90所以AH/CD.AD/CH.所以四邊形A BCD為平行四邊 形

11、所以AHDC所以OH=OA + AH=OA4-DC=OA+ OB+OC.5. D導解：只有(3)是真命題.6. D導解，顯然(1)AB+BC+CA = O.(2) AB-AC+BD-CD=BC+BD-CD-0.(3) OA-OD+AD=DA+AD=0.7. 2 45。導解 2 與a垂賣且a = c.a + bc.所以構成等腰直角三角形.& 120，導解：戸為厶ABC的外心即I PA|PB| = |PC|t又PA+PB=PC.所以AAPC為等邊三角形所以ZC =同.12.解:BM+yBC=yBA = y(OA-OB)=y(a-fr),所以CN=yCD=yODt所以ON=OC+CN= 4-

12、OD+ 4-OD=-TOD=-|-(a+lF)./b33MN=ON-OM=4-O-TL613.解:AE=AB+BE,FC=FD+DC又喬=5?就=?B走=荒這說明AE與FC平行且相等故AECF是平行 四邊形.14.解，延長AD到G使AD=yAG.連接BG.CG得OAB-GC所以=a+h,AD=yAG-y(a+fr). AE=-|-AD=-|-(a+b) AF=-yAC=s-dBE= AEAB=-|-(a+d) a*(b-2 a) BF=AF-AB=*b-a=*(b-2 a).（2）由可知BE=yBF所以.B.E.F三點共線.15.解，（l）如圖（1）.設人游泳的速度為麗，水流的速度為員. 以OA.OB為鄰邊作平行四邊形OACB則此人的實際速 度為OA +OB=OC,根據勾股定理