1、2.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理 一、復習引入一、復習引入 ?邊作法:作平行四形ABCD,使ABa,ADb?BCb,DCaabA B D C aabb?三角作法:作形ABC,使 ABa,BCbA B C ab一、復習引入一、復習引入 ,aa?實數與向量的積是一個確定的向量，記為其方向和長度規定如下: aa?（）,0方向相同與時（）aa。aa方向相反與時000a?（）時aa3如：當3時的圖示 一、復習引入一、復習引入 1e2e已知 和 ,試作出d=2 +3 2e1e1e2eO D OD = d = 21e3e2?d?12=2e3ed若已知 ，能用 、 表示嗎？ 2e1ed 火箭在飛

2、行過程中的某一時刻速度可以分解成豎直向上和水平向速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度。在利用平行四邊形法則對速度進行分解的過程中，我們看到一個速度可以分解為兩個我們看到一個速度可以分解為兩個不共線方向的速度之和。 那么平面內的任一向量能否用兩個不共線的向量來表示呢？ 二、重難點講解二、重難點講解 我們研究 與 、 之間的關系。 1e2ea 設 、 是同一平面內的兩個不共線的向量， 是這一平面內的任一向量， 1e2ea1e2ea1e2e1 1e?2 2e?O A N M 1 1OMe?2 2ONe?1 122aee?F1F2F二、重難點講解二、重難點講解 平面向量基本定理 : 有且只有一

3、對實數 、 使 2?1?向量，那么對于這一平面內的任 一向量 如果 、 是同一平面內的兩個不 共線共線 2e1e這一平面內所有向量的一組 基底。 我們把不共線的向量 、 叫做表示 1e2e1 122aee?a研究更一般的情況 二、重難點講解二、重難點講解 (4)基底 給定時，分解形式唯一 . 平面向量基本定理 : 1 122aee?探究： (1)我們把不共線向量 、 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2)基底不唯一，關鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量 在給出基底 、 的條件下進行分解； 1e2e1e2e1e2e12,? ?aa是由 、 、 唯一確定的數量 二、重難點講解二、重難點

4、講解 平面向量基本定理 1 122aee?探究： （5）一組平面向量的基底有多少對？ （有無數對） (6)若基底選取不同，則表示同一向量的實數 、 是否相同？ 2?1?（可以不同，也可以相同） (7)特別的，若 a = 0 ，則有且只有 ： 2?1?= = 0 12000ee?(8)特別的，若 與 共線，則有， 1ea?201 121 10aeee?使得: 三、例題講解三、例題講解 例例1 已知向量 、 ，求作向量 . 1e2e122.53ee?1e2e12.5e?23eO A B C 解:作圖順序如下： 例例2 如圖 ， ABCD的兩條對角線相交于點 M,且 、 ，用 、 表示 、 、 和

5、ABa?ADb?abMAMCMDA B C D abM 解 在 ABCD中 ACABADab?DBDAABADABba? ? ? ?12MAAC? ?1()2ab?1122ab? ?11()22MBDBa b?1122ab?111222MCACab?111222MDMBDBab? ? ? ?MB例例3 如圖， 、 不共線， ， 用 、 , 表示 . OAOBAPtAB?)(Rt?OAOBOPO A B P 解： APtAB?OPOAAP?ABtOA?()OA t AO OB?OA tOAtOB?OBtOAt?)1 (四、練習四、練習 1.如圖，已知向量 、 求作下列向量： 1e2e12(1)3

6、2 ;ee?2e1e22e12(2) 4;ee?121(3)2.2ee?13eO B A 1232 ;ee?13eO C A B 四、練習四、練習 1.如圖，已知向量 、 求作下列向量： 1e2e12(1)32 ;ee?2e1e2e?12(2) 4;ee?121(3)2.2ee?14eO B A 124ee?O C A B 四、練習四、練習 1.如圖，已知向量 、 求作下列向量： 1e2e12(1)32 ;ee?2e1e212e12(2) 4;ee?121(3)2.2ee?12e?O B A 1212;2ee?12e?O C A B 2. 如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點. 請大家動手,從圖中的線段AD、AB、BC、DC、MN對應的向量中確定一組基底，將其他向 量用這組基底表示出來。 A N M C D B 2. 如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點. A N M C D B 參考答案： 2e1e12,ABe ADe?取基底 ,則有 11;2DCe?BCBAADDC?12112eee? ?1212ee? ?MNMDDAAN?1211142eee? ?1214ee?五、小結 本節學習了： （1）平面