1、長沙市雅禮教育集團(tuán)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.1.半徑為2的球的表面積是（）A 16乃n 32孔A.B.33C. 164D. 3212.已知向量4= （3,2,X）,向量5 = （2,0,1）,若,則實(shí)數(shù)x=（）A. 3B. -33.下列說法正確的是（）C. 6D. -6A.通過圓臺側(cè)而一點(diǎn)，有無數(shù)條母線B.棱柱的底面一定是平行四邊形C.圓錐的軸截而是等腰三角形D.用一個(gè)平面去截棱錐，原棱錐底面和截而之間的部分是棱臺4.在正方體ABC。中，&

2、#39;與8G所成角的大小為（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.已知雙曲線二一二= 1（“的兩條漸近線互相垂直，焦距為6點(diǎn)，則該雙曲線的實(shí)軸長為（）a- lrA. 3B. 6C. 9D. 126.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A. 4B. 5C. 6D. 77.已知（2,1）是直線被橢圓卷+卷=1所截得線段的中點(diǎn)，則直線/的方程是（）A.工一2）' = 0 B. x-2）' + 4 = 0 C. 2x+y+ 3 = 0D. 2x-3y-l = 0X2 v28.已知耳、E是雙曲線了一

3、戶=1（4>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)尸與點(diǎn)尸2關(guān)于r)x直線丁 = 一對稱，則該雙曲線的離心率為() aA. B. yfsC. y/2,D. 22二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對的得3分.9.下列說法正確的是()A.方程一)一=1表示一條直線x 2B.到X軸的距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y = 2C.方程卜2-1了+32-4丫 =0表示四個(gè)點(diǎn)22D.“5vmv7”是“方程+ 二=1表示橢圓”的必要不充分條件7m 772-510 .已知九m是兩條不同的直線，a ,夕

4、是兩個(gè)不同的平面，且加則下列命題中正確的是 ()A.若。夕，則"?"LaB.若。/，則/_L？C.若/_!_/，則/，D.若 m / / a ,則 a_L/711 .某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心尸為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，己知它的近地點(diǎn)4(離 地面最近的點(diǎn))距地面弱千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)6(離地而最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面a千米，并且尸、月、8三點(diǎn)在同一 直線上，地球半徑約為斤千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、26、2c,則()A. ac = m + RB. a + c = n + RC. 2a = m + nD. b = &1+ R)Qi + R)12.過

5、拋物線)3=4x的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于8(&,為)兩點(diǎn)，.“為線段月6的中點(diǎn)，則()A.以線段月5為直徑的圓與直線x = -l相切B.以線段步為直徑的圓與y軸相切一一.9C.當(dāng)A尸=3用時(shí)，卜回=5D. OA OB = -3 （0為坐標(biāo)原點(diǎn)）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .曲線,，= lnx + x + l的一條切線的斜率為2,則切點(diǎn)坐標(biāo)為.14 .直三棱柱ABC-A與G中，若。4 =不，CB = b , CCx=c,則甌 = （用d, b , 5表 示）.15 .如圖，測量河對岸的塔高四時(shí)，可以選與塔底5在同一水平而內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C,D、測得“8 = 15。

6、, /CBD = 30°, CD = Oy/2 （米），并在C處測得塔頂月的仰角為45。，貝U塔高A8=米.16 .農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午 節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊 形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀 的六面體，若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 . （10分）設(shè)等比數(shù)列%滿足q+叼=4, %-6=8.（1）求他的

7、通項(xiàng)公式；（2）記S”為數(shù)列l(wèi)og-,%的前a項(xiàng)和.若S,"+S”*=Sg18 . （12分）已知曲線C:y = xL求:（1）曲線。上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程：（2）第（1）小題中的切線與曲線。是否還有其他的公共點(diǎn)？19 . （12分）在3c中，角月，B,。所對應(yīng)的邊分別為& b, c,已知sin23 = sinA.（1）求角6的大??；（2）給出三個(gè)條件 =2,.ABC外接圓半徑，a + c = 2",試從中選擇兩個(gè)可以 3確定的條件，并求.ABC的面積.20 .（12分）如圖所示,在四棱錐人一3。）“中，底面陽5為正方形,且4。= 2,48 = 4,從。=從

8、石=26.（1）證明：AB 1平面5a方（2）求二面角C AO 七的余弦值.21 . （12分）已知拋物線C：V=4x,直線/:y = x +加與拋物線交于4 8兩點(diǎn)，夕（一1,6）是拋物線準(zhǔn)線 上的點(diǎn)，連結(jié)以，PB.（1）若/ = 1,求助的長（2）若也?是以知,所為腰的等腰三角形，求m的值.22 . （12分）在平而直角坐標(biāo)系，中，圓4:（x - l）2 + y2 = i6,點(diǎn)3（1,0）,過S的直線1與圓月交于點(diǎn)G D,過6做直線瓦平行月。交居于點(diǎn)日（1）求點(diǎn)匯的軌跡r的方程；（2）過，的直線與7交于"G兩點(diǎn)，若線段加的中點(diǎn)為M且麗 =2兩，求四邊形的G面積的 最大值.雅禮教育

9、集團(tuán)2020下學(xué)期期中考試試卷高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.題號12345678答案CDCCBABB二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對的得3分.題號9101112答案CDADABDABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. (1,2)14. a-b+c15. 208辰 io.72917.解：（1）設(shè)公比為q,則由q +a1q = 4axq2 =8四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫

10、出文字說明、證明過程或演算步驟.（2）由（1）有l(wèi)og3%=- 1，是一個(gè)以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,所以S“ =n(n-V) ?("? 一1) (7 +1)7 (? + 3)(？ + 2)? -/ 八所以-=,加-5加-6 = 0,222解得? = 6,或 7 = -1 （舍去） ，所以? = 6.18 .解：（1） y' = 3/,y| =3, - Lv-l而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1），.,.曲線y = F在x = 1的處的切線方程為3x - y - 2 = 0.（2）由方程組：3x-y-2 = 0 卜=1 卜=-2 , 解得： 或彳 ，y = xy = I y = -8故切

11、線與曲線。還有其他的公共點(diǎn)：(2,8).19 .解：(1)因?yàn)閍sin28 = Z?sin A ,所以2asin3cos3 = Z?sin A ,由正弦定理得2cos3 = Z?，D 1，cos B = 923(2)顯然可知當(dāng)選擇條件時(shí)，.人。不唯一；當(dāng)選擇條件時(shí)，A8C唯一，此時(shí)，由余弦定理。2 =6/ +c2 -2ccos3 ,艮口4 = (/+c2 -ac = (a + c)2 -3ac = 12-3ac .8解得ac = 3所以 A.BC 的面枳 S = ac sin B x x -.22 3 23當(dāng)選擇條件時(shí)，A8C唯一，此時(shí)， 由正弦定理可知 =2廣sin8 = 2 .由余弦定理/

12、 =/ +c2 -2accosB ,艮口4 =。2 +c2 -ac = (a + c)2 -3ac = 12-3c .8解得ac = 3所以 A3C'的面枳 S = ac sin B = x x -=-. 22 3 2320 . (1)證明：底面SC宏為正方形，且6c = 2, AB =4, AC = AE =:.AC2 = AB1 + BC2, AE2 = AB2 + BE2,/. AB-LBC. AB工BE，又 BCCBE = B , BC u平面 5CDE, BEu平面 BCDE,(2)解：由(1)知，43，平面h工區(qū)又.底面比緲為正方形，二分別以正，BE,甌為x, j，z軸正方

13、向建立空間直角坐標(biāo)系.則 3(0,0,0), 4(0,0,4), C(2,0,0), £(0,2,0),/. AC = (2,0,-4), AD = (2,2,-4), AE = (0,2,-4).設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n = (x, y, z)，ri-AC = 2x-4z = 0f /、則 _，取Z = l，得萬=(2,0,1)：ji - AD = 2x + 2y-4z = 0同理可求得平面終的一個(gè)法向量加=(0,2,1). L而5_1_ 1又二面角C A0 石為鈍角，故二而角。一人一石的余弦值為一！.521.解：(1)聯(lián)立直線y = xl和拋物線方程)？=4x,可得/-6x

14、+ l =0 ,設(shè)4%，弘)，B(x2,y2),可得 X + =6 , a)x2 = 1 ,可得|= J1 + 1|玉月=點(diǎn),小區(qū)+)2 = 726-4x1 =8：(2)聯(lián)立直線了 =工+ 2和拋物線方程V=4x,可得 x2 + (2/?- 4)x + m2 = 0,設(shè)4區(qū)，）, B（x29y2）9 可得+/=4-2加， 設(shè)月5的中點(diǎn)為可得。（2 /幾2）, 由P48是以加為腰的等腰三角形,可得直線期的斜率為-1,由P(1,6),可得6-2-l-2 + w解得7 = -1,由 = (2m4尸4/w2 > 0 ,可得? v 1, m = 成立,故s的值為1.22.解：（1）因?yàn)闉? ACE

15、D 一14。1所以歸目=盧。|,所以 |£B|+|E4| = |Eq + |E4| = |AO| = 4|AB| = 2,所以E的軌跡是焦點(diǎn)為4 5長軸為4的橢圓的一部分,22設(shè)橢圓方程為：二 +二=1（。人0）,cr則為=4, 2c = 2,所以4=4, b2 =a2-c2 = 3,22所以橢圓方程為J + ! = l，43又因?yàn)辄c(diǎn)不在X軸上，所以ywO,22所以點(diǎn)匯的軌跡r的方程為J +二=1（），*0）.43（2）因?yàn)橹本€加斜率不為0,設(shè)為x = ） + l,設(shè)G（%,y），"（，必x = ty + x2 ),2 _整理得(3產(chǎn)+4)產(chǎn)+6”一9 = 0,+ = 1143所以 4 = 36/