1、v1.0可編輯可修改-10 - - 15 - / 57第一章集合與函數概念知識架構第一講 集合知識梳理一：集合的含義及其關系1 .集合中的元素具有的三個性質 ：確定性、無序性和互異性；2 .集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖；3 .集合中元素與集合的關系：義字語百符號語言屬于不屬于4.常見集合的符號表示數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集復數集符號NN或NZQRC集合間的基本關系表小關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同A B 旦 B AA B子集A中任意 元素均為 B中的元素A B或 B A真子集A中任意 元素均為 B中的元素，且B中至少有 元素不是A的元素aS

2、b空集空集是任何集合的子集，是任A,B ( B )何非空集合的真子集三：集合的基本運算兩個集合的交集：Ap|B= xx A且x B ;兩個集合的并集：Aj B= x x A或x B ;設全集是U,集合A U,則CUAxx U且x A交并補nUA0B x|x A,且 x BaJb x|x A,或 x BCU Ax x U 且x ACHO方法：常用數軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算重、難點突破重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉化，準確進行集合的交、并、補三種運算。重難點：1 .集合的概念掌握集合

3、的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最易被忽視，因此要對結果進行檢驗；2 .集合的表示法(1)列舉法要注意元素的三個特性；(2)描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質，如xy f(x)、 yy f(x)、 (x,y)y f (x)等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤：(3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用Venn 圖。3 .集合間的關系的幾個重要結論(1)空集是任何集合的子集，即 A(2)任何集合都是它本身的子集，即 A A(3)子集、真子集都有傳遞性，即若 A B, B C ,則

4、A C4 .集合的運算性質(1)交集： A B B A; A A A; A ; A B A, A B B A B AAB;(2)并集： A B B A; A A A; A A; A B A, A B B A B ABA;(3)交、并、補集的關系 A 孰 A ; A CUA U Cu(A B) (CuA) (CuB);Cu(A B) (RA) QB)熱點考點題型探析考點一：集合的定義及其關系題型1:集合元素的基本特征例1 (2008年江西理)定義集合運算：A B z|z xy,x A,y B .設A 1,2 ,B 0,2 ,則集合A B的所有元素之和為()A. 0; B. 2; C. 3; D.

5、 6xy在值就是解題思路根據A B的定義，讓x在A中逐一取值，讓 y在B中逐一取值,A B的元素解析:正確解答本題，必需清楚集合 A B中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知A B= 0,2,4 ,故應選擇D【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點， 這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型2:集合間的基本關系例2 .數集X (2n 1) ,n Z與Y (4k 1) ,k Z之的關系是()A. X 齷Y ; B. YX ; C. X Y ; D. X Y解題思路可有兩種思路：一是將 X和Y的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選

6、擇支之 間的關系進行判斷。解析從題意看，數集 X與Y之間必然有關系，如果 A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果 D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是 C【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設法舉反例。新題導練1 .第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于 2008年8月8日在北京舉行，若集合A=參加北京奧 運會比賽的運動員,集合B=參加北京奧運會比賽的男運動員 ,集合C=參加北京奧運會比 賽的女運動員,則下列關系正確的是()A . A B B. B C C. A B C D. B C

7、A解析D；因為全集為 A,而B C=全集二人2 . (2006 ?山東改編)定義集合運算：A B z x2y xy2,x A, y B ,設集合A 1,0 , B 2,3 ,則集合AB的所有元素之和為 解析18,根據AB的定義，得到 A B0,6,12 ,故A B的所有元素之和為183 . (2007 湖北改編)設 P和Q是兩個集合，定義集合P Q x|x P,且x Q,如果P x log3 x 1, Qx|x 1,那么 P Q 等于解析x1 x3 ;因為 P xlog3x1(0,3), Qxx1(1,1),所以P Q (1,3)4 .研究集合 A xy x2 4 , Byyx24, C (x

8、, y)| y x2 4之間的關系解析A與C,B與C都無包含關系，而BA；因為Axyx2 4表示y x2 4的定義域，故A R；By yx2 4表示函數y x2 4的值域，B 4,) ； C(x,y)y x2 4表示曲線y x2 4上的點集，可見,與C , B與C都無包含關系考點二：集合的基本運算例 3設集合 A xx2 3x 2 0 , Bxx2 2(a 1)x (a2 5) 0(1) 若A B 2 ,求實數a的值；(2)若A B A,求實數a的取值范圍若A B 2 ,解題思路對于含參數的集合的運算，首先解出不含參數的集合，然后根據已知條件求參數。, .一 一 .2- 一 - ，一斛析因為

9、A xx 3x 2 01,2 ,(1)由 A B2知，2B,從而得 22 4(a 1) (a2 5) 0,即2a 4a 3 0,解得 a 1或a 32當a 1時，B xx 4 02, 2 ,滿足條件;當 a 3時，B xx2 4x1)2 4(a2 5) 8(a 3)所以a 1或a3(2)對于集合B ,由 4(a因為A B A,所以B A當 0,即a 3時，B，滿足條件;當3時，B 2 ,滿足條件;當0,即a3時，B A 1,2才能滿足條件,由根與系數的關系得1 22(a 1)1 2 a2 55 a -2,矛盾a2 7故實數a的取值范圍是a 3【名師指引】對于比較抽象的集合，在探究它們的關系時，

10、要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空，不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況搶分頻道基礎鞏固訓練：1.（09年吳川市川西中學 09屆第四次月考）設全集U R, A xx(x 3) 0 ,B x x1 ,則右圖中陰影部分表示的集合為（）A.x x 0 ; B.3 x 0 ； C.1 ； D.解析C;圖中陰影部分表示的集合是A2 .（韶關09屆高三摸底考）已知 ax(1 x) 0,B x log 2 x,0) (0,A. (0,1)； B. (0,2)； C. (,0)； D.解析A ;因為A所以A B x0 x 13 .（蘇州09屆高三調研考）集合 1,0,1的所有子集個數為解

11、析8;集合 1,0,1的所有子集個數為2384 . （09年無錫市高三第一次月考）集合A中的代表元素設為 x集合B中的代表元素設為 y解析B;由子集和交集的定義即可得到結論5. (2008年天津）設集合Sx| x3,Tx|a8 ,S T R ,則a的取值若x B且y A,則A與B的關系是范圍是（A.a 1 ； B.C. a3 或 a 1 ； D.解析A；x| x 2所以a a綜合提高訓練:6. Pm Rmx2 4mx 40對于任意實數x包成立則下列關系中立的是()A. P 品 Q; B. Q 恒 P；C. P Q；D. P Qm 0解析A；當m 0時，有2，即(4m)2 4 m ( 4) 0Q

12、mR1m0 ；當m 0時，mx24mx 4 0也恒成立，故QmR1m0 ,所以 PEQ7.設 f(n) 2n 1(nN),P1,2,3,4,5 , Q 3,4,5,6,7 ,記? n Nf(n) P, d nN f(n) Q,則(P CnQ) (C?CnP)=()A. 0,3 ; B. 1,2 ; C. 3,4,5 ; D. 1,2,6,7解析A;依題意得F? 0,1,2 , Q 1,2,3 ,所以(臺CnQ)0 ,(Q? CnF?)3 ,故應選 A8. (09屆惠州第一次調研考)設A、B是非空集合，定義A B xx A B且 x AB,已知 A= x | y V2xx2 , B= y | y

13、 2x,x 0,則AX B等于()A. 0,; B. 0,1 U 2,； C 0,1 U 2,； D. 0,1 J (2,)解析D; 2x x200 x 2,A=0, 2, x 02x1, /. B= (1, i),.AU B=0, +8), An B= (1,2,則 AX B= 0,1(2,)第2講函數與映射的概念知識梳理1 .函數的概念(1)函數的定義：設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f ,對于集合A中的每一個數x,在集合B中都有唯一確定的數和它對應,那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為y f(x), x a(2)函數的定義域、值域在函數y f(x),x A中，x叫

14、做自變量，x的取值范圍 A叫做y f(x)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)x A稱為函數y f(x)的值域。(2)函數的三要素：定義域、值域和對應法則2 .映射的概念設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f ,對于集合 A中的任意元素,在集合 B中都有唯一確定的元素與之對應,那么這樣的單值對應叫做從A到B的映射，通常記為f : A B重、難點突破重點：掌握映射的概念、函數的概念，會求函數的定義域、值域難點：求函數的值域和求抽象函數的定義域重難點：1.關于抽象函數的定義域求抽象函數的定義域，如果沒有弄清所給函數之間的關系，求解容易出錯誤問題1：已知函數yf(x)的

15、定義域為a, b,求y f (x 2)的定義域誤解因為函數yf (x)的定義域為a, b,所以a xb,從而a2x2b2故y f (x 2)的定義域是a 2,b 2正解因為y f(x)的定義域為a, b,所以在函數y f(x 2)中，a x 2 b,從而a 2 xb2,故y f (x 2)的定義域是a 2,b 2即本題的實質是求 a x 2 b中x的范圍問題2：已知y f (x 2)的定義域是a, b,求函數y f (x)的定義域誤解因為函數y f (x 2)的定義域是a, b,所以得到a x 2 b ,從而a 2 x b 2,所以函數y f (x)的定義域是a 2,b 2正解因為函數y f

16、(x 2)的定義域是a, b,則a x b,從而a 2 x 2 b 2所以函數y f（x）的定義域是a 2,b 2即本題的實質是由 a x b求x 2的范圍“*）與£院2）中x含義不同2.求值域的幾種常用方法1 ）配方法：對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數.222sin x 2cosx 4,可變為 y sin x 2cosx 4 (cosx 1)2解決 （2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數2x 3的值域來求。22y 10gl ( x 2x 3)就是利用函數 y 10gl u和u x22（3）判別式法：通過對二次方程的實根

17、的判別求值域。如求函數2x 1 一 2得 yx 2(y 1)x 2y 12x 20,則得x2x 1 心的值域2x 21,所以y2域中的一個值；若y 02(y 1)24y(2y 1).132313 一 一 y 且y 0,故所求值域是23132313（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數2 cosx 35 工y 2 ,而 cos xcosx 1cosx 1y (, 121 (0,2,所以2cosx 3 ,y 的值域，Icosx 155("，故cosx 12因為(5)利用基本不等式求值域：如求函數23x的值域x 4(6)0時，y0,則x0;當x0時,-)x4，若X0,則2

18、1( x)( 4x) 334,從而得所求值域是一，一4 4利用函數的單調性求求值域：如求函數y 2x4x2 2(x 1,2)的值域8x3 2x 2x(4x2 1),故函數 y 2x4 x2-1 _ ,_2(x 1,2)在(1,3)上遞減、在（；0）上遞增、在（0,°）上遞減、在（1,2）上遞增，從而可得所求值域為 15,302228(7)圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域(求某些分段函數的值域常用此法)熱點考點題型探析考點一：判斷兩函數是否為同一個函數例1試判斷以下各組函數是否表示同一函數(1) f (x) 7X2, g(x) 3；x3 ；X f(x

19、) g(x)1 x0,1 x0;(3) f(x)加五而丁，g(x)/2n 1- 2n 1(.x)(ne N);X(4) f (x)<x Vx 1 , g(x) Jx2 x； f (x) x2 2x 1, g(t) t2 2t 1解題思路要判斷兩個函數是否表示同一個函數，就要考查函數的三要素。解析(1)由于f (x)X2 x , g(x) Vx3x,故它們的值域及對應法則都不相同,所以它們不是同一函數(2)由于函數f (x)x的定義域為(，0) x1(0,)，而 g(x)0,0；的定義域為R,所以它們不是同一函數*(3)由于當nCN時，2n±1為奇數，f(x)2yx2n1x, g

20、(x)/2n 1： 2n(7X)它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(4)由于函數f (x)x'x vx 1的定義域為 xx 0 ,而g(x) x-12x2 x的定義域為xx 0或x1 ,它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(5)函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數答案(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函數【名師指引】構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系確定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數為同一函數。第(5)小題易錯判斷成它們是不同的函數。原因是對函數的概念理解不透,

21、在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數本身并無影響，比如f(x) X2 1,2f(t) t221, f(u 1) (u 1)2 1都可視為同一函數新題導練1. (2009 佛山)下列函數中與函數yx相同的是()_2A .y = ( TX) 2 ； B. y =將;C. y = J x ； D. y= x解析B ;因為y = 3yty t ,所以應選擇2. (09年重慶南開中學)與函數lg(2xy 0.11)的圖象相同的函數是1、A. y 2x 1 (x 一)； B. y21；C.2x 11y 2x 11(x 2)；d. y解析C;根據對數，ff等式得 y0 1lg(2x

22、1)lg一10 2x 12x 1且函數y 0.11g(2x 1)的定義1、域為(一,) ,故應選擇C2考點二：求函數的定義域、值域題型1:求有解析式的函數的定義域例2. (08年湖北)函數f (x)1ln( x2 3x 2 xx2 3x 4)的定義域為()A.(, 4) 2,);B. ( 4,0)(0,1)； C. , 4,0)(0,1 ；D. , 4,0) (0,1)解題思路函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。解析欲使函數f (x)有意義，必須并且只需2x2 3x 2 0個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；如果涉及實際問題，還應使得實際問 題有意義，

23、而且注意：研究函數的有關問題一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域 不要漏寫。題型2:求抽象函數的定義域例3 （2006 湖北）設f xf 2-的定義域為()xA 4,00,4 ; B.4, 11,4 ; C 2, 11,2 ; D4, 22,4解題思路要求復合函數f A2f 的定義域，應先求 f(x)的定義域。 x解析由2 0得，f(x)的定義域為 2 x 2,故 2 xx22x2,2.解得 x 4, 11,4。故 f x 2,一，,f 的定義域為 4, 11,4 .選B.x【名師指引】求復合函數定義域，即已知函數f(x)的定義為a,b,則函數fg(x)的定義域是滿足不等式a g(x)

24、b的x的取值范圍；一般地，若函數 f g(x)的定義域是a,b,指的是x a,b,要求f (x)的定義域就是x a, b時g(x)的值域。題型3；求函數的值域例4已知函數y x2 4ax 2a 6(a R),若y 0恒成立，求f (a) 2 aa 3的值域解題思路應先由已知條件確定 a取值范圍，然后再將f (a)中的絕對值化去之后求值域解析依題意，y 0恒成立，則 16a2 4(2a 6) 0,解得 1a?,23 2 17. .所以 f (a) 2 a(a 3) (a -) 一,從而 f (a) max f ( 1) 4, 24319 19f (a) min f (-) 一，所以 f(a)的值

25、域是一,4 244【名師指引】求函數的值域也是高考熱點，往往都要依據函數的單調性求函數的最值。新題導練v1.0可編輯可修改3 . (2008安徽文、理)函數 f(x)JX 2 1的定義域為10g2(X 1)解析3,、,x 2 10 i c);由解得x 3X 1 0, X 1 14 .定義在R上的函數yf (x)的值域為a,b,則函數y f (x 1)的值域為()A. a 1,b 1；B.a,b ； C. a 1,b 1； D.無法確定解析B；函數y f (x 1)的圖象可以視為函數 y f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，所以，它們的值域是一樣的5. (2008江西改)若函數yf(x)的定義

26、域是1,3,則函數g(x) f3一一 一解析1,1) (1,3;因為f(x)的定義域為1,3,所以對g(x), 1 2x 3但x 1故 213x -,1) (1,-222 16. (2008江西理改)若函數yf(x)的值域是,3,則函數F x f x 的值域 f (x)是 101 2.解析2,； F(x)可以視為以f(x)為變量的函數，令t f(x),則F t -(-t 3) 3t 3 2 1t2 1 (t 1)(t 1) _1,2一，_ F 1 f-)()，所以，F t 1在£,1上是減函數，在1,3上是增函 t2 t2t2t 3 數，故F(x)的最大值是10,最小值是23考點三：

27、映射的概念【名師指引】理解映射的概念，應注意以下幾點：(1)集合A B及對應法則f是確定的，是一個整體系統；(2)對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合 B到集合A的對應關系一般是不同的；(3)集合A中每一個元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一 的，這是映射區別于一般 對應的本質特征；區的定義域是x 1（5）不要求集合B中的每一個元素在集合 A中都有原象.新題導練7 .集合A=3, 4, B=5, 6, 7,那么可建立從 A到B的映射個數是 ,從B到A 的映射個數是.解析9,8;從A到B可分兩步進行：第一步 A中的元素3可有3種對應方法（可對應 5或6或7）,第二步A

28、中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理，不同的映射種數 N = 3X3 =9.反之從B至IJA,道理相同，有 Na=2X2X2= 8種不同映射.8 .若f :y=3x+1是從集合A=1, 2, 3,k到集合B=4, 7,a4,a2+3a的一個映射，求自然數a、k的值及集合A B.解析a =2, k=5, A=1 , 2, 3, 5, B=4 , 7, 10, 16;. f (1) =3X 1+1=4, f (2) =3X 2+1=7, f (3) =3X 3+1=10, f (k) =3k+1,由映射的定義知(1)4 a2 a10, 3a 3k或(2)1,2a2 3a 10, a4 3k 1

29、.-10 - - 21 - / 57. a N, .方程組（1）無解.解方程組(2),得 a=2 或 a=5 (舍)，3k+1=16, 3k=15, k=5. .A=1, 2, 3, 5, B=4 , 7, 10, 16.搶分頻道基礎鞏固訓練:1 . （2007 廣東改編）已知函數f （x）1；的7E義域為,1 XN , g(x) ln(1 x)的定義域為M ,則 M N 解析(,);因為 M ( 1,), N (,1),故 M N R2 .函數y log（3x 2）的定義域是 3解析,22仁,1;由0 3x 2 1得到一x 133 .函數2x 1y的值域是2x 1 2x 1”解析(1,1);

30、由y2-1知y 1 ,從而得2x2x 11，而2x0,所以y-0,即1 y1 y4.(廣東從化中學09屆月考)從集合A到B的映射中，下列說法正確的是()A. B中某一元素b的原象可能不只一個；B. A中某一元素a的象可能不只一個C. A中兩個不同元素的象必不相同；D . B中兩個不同元素的原象可能相同解析A；根據映射的定義知可排除 B C DA到集合B的映射是5.(深圳中學09屆高三第一學段考試)下列對應法則f中，構成從集合A. A x | x 0, B R, f : x | y | x2B. A 2,0,2, B 4, f :xy x1斛得 4 x 一或一 x 4。 2 21，、，1C. A

31、R,B y| y 0, f :xy-2x_xD. A 0,2, B 0,1, f :x y - 2解析D;根據映射的定義知，構成從集合A到集合B的映射是D6. (09年執信中學)若函數2-x 3x4的定義域為0, m,值域為254 '4,則m的取值范圍是()3 一 33A.0,4 ；B.,3 ；C ,9.設函數f (x) x x -的te義域是n,n；D,)2223253解析B；因為函數y x2 3x 4即為y (x -)2 一，其圖象的對稱軸為直線x ,2422525其取小值為一，并且當x 0及x 3時，y 4 ,右定乂域為0, m,值域為一,4,44一 3 一則3 m 32綜合提高

32、訓練:2 xx18. (05天津改)設函數 f(x) ln則函數g(x)f(-)f(1)的定義域是 2 x2x一一112 x解析 (4, 2)(”由30得，f(x)的定義域為2 x 2。故-21x1 ( n是正整數)，那么f(x)的值域中共有個整數11 9 1斛析2n 2 ;因為 f(x) x x (x ) 一，可見，f(x)在n,n 1(n 是正整 224”一 ” 一9191 ._妁上是增函數，又 f(n 1) f (n) (n 1) (n 1) - (n n ) 2n 2 22所以，在f(x)的值域中共有2n 2個整數第3講函數的表示方法知識梳理一、函數的三種表示法：圖象法、列表法、解析法

33、1 .圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系;2 .列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系;3 .解析法：就是把兩個變量的函數關系，用等式來表示。二、分段函數在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數。重、難點突破重點：掌握函數的三種表示法 -圖象法、列表法、解析法，分段函數的概念難點：分段函數的概念，求函數的解析式重難點：掌握求函數的解析式的一般常用方法：(1)若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，則用待定系數法；(2)若已知復合函數 fg(x)的解析式，則可用換元法或配湊法；問題1.已知二次函數f(x)滿足f(2x 1) 4x2 6x 5,求f(x

34、)方法一：換元法t 1t 1 c t 1 c令 2x 1 t(t R),則 x ，從而 f(t) 4()2 6 5 t2 5t 9(t R)222所以 f(x)x25x9(xR)方法二：配湊法因為 f(2x1)4x2 6x5(2x 1)210x 4 (2x 1)2 5(2x 1) 9v1.0可編輯可修改5可求f(x)（3）若已知抽象函數的表達式，則常用解方程組消參的方法求出1問題2：已知函數f(x)滿足f(x) 2 f () 3x,求f(x) x1-因為 f(x) 2 f (一)3x x111以 1 代 x得 f(1) 2 f (x) 3 -xxx1 2由聯乂消去f(_)得f (x) x(x

35、0)xx熱點考點題型探析考點1:用圖像法表示函數例1 （09年廣東南海中學）一水池有 2個進水口，1個出水口，一個口的進、出水的速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個論斷：進水量出水量蓄水量甲乙丙（1） 0點到3點只進水不出水；（2） 3點到4點不進水只出水；（3） 4點到6點不進水不出水.則一定不正確的論斷是（把你認為是符合題意的論斷序號都填上）. 解題思路根據題意和所給出的圖象，對三個論斷進行確認即可。解析由圖甲知，每個進水口進水速度為每小時1個單位，兩個進水口 1個小時共進水2個單位，3個小時共進水6個單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3點到4點應該是有

36、一個進水口進水，出水口出水，故錯誤；由圖丙知，4點到6點可能是不進水不出水，也可能是兩個進水口都進水，同時出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2） 要求考生熟悉基本的函數圖象特征，善于從圖象中發現其性質。高考中的熱點題型是“知式選圖”和“知圖選式”。新題導練1. (05遼寧改)一給定函數y f(x)的圖象在下列圖中，并且對任意a1 (0,1),由關系式an 1 f (an)0得到的數列an滿足ani an 0(n N ),則該函數的圖象是()BC-10 - - 25 - / 57an x解析a.；令，則y f(x)等價于a-f (an), y f(x)是由點 冏i)組an i

37、y成，而又知道an an1,所以每各點都在 y=x的上方。2. (2005 湖北)函數y e|M |x 1|的圖象大致是()1解析D;當x 1時，y x (x 1) 1,可以排除A和C;又當x '時,排除B考點2:用列表法表示函數例2 (07年北京)已知函數f(x) , g(x)分別由下表給出x123f(x)131x123g(x)321v1.0可編輯可修改fg(1)的值為;滿足fg(x) gf(x)的x的值是解題思路這是用列表的方法給出函數，就依照表中的對應關系解決問題。解析由表中對應值知fg=f(3) 1;當 x 1 時，fg(1) 1,gf(1) g(1) 3,不滿足條件當 x 2

38、 時，fg(2)f(2) 3,gf(2)g(3) 1,滿足條件,當 x 3 時，fg(3) f (1) 1,gf(3) g(1) 3,不滿足條件,，滿足fg(x) g f(x)的x的值是x 2【名師指引】用列表法表示函數具有明顯的對應關系，解決問題的關鍵是從表格發現對應關 系，用好對應關系即可。新題導練映射f的對應法則是表3. (09年山東梁山)設f、g都是由A到A的映射，其對應法則如下表(從上到下)映射g的對應法則是表則與 fg(1)原象1234象43122相同的是(1原象1234象3421A. gf(1); B. gf (2) ; C. gf(3); D. gf(4)解析A ;根據表中的對

39、應關系得，fg(1)f(4) 1, gf(1) g(3) 14. (04年江蘇改編)二次函數 y ax2 bx c ( x e R)的部分對應值如下表：x-3-2101234y60一 4一 6一 6一 406則不等式ax2 bx c 0的解集是解析(2,3)；由表中的二次函數對應值可得，二次方程ax2 bx c 0的兩根為一2和3,又根據f(0) f( 2)且f(0)f(3)可知a 0,所以不等式ax2 bx c 0的解集是（2,3）考點3:用解析法表示函數題型1:由復合函數的解析式求原來函數的解析式1 x、 1例3 （ 04湖北改編）已知 f （1 一x）=-1 x 12x .一 彳，則f(

40、x)的解析式可取為 x解題思路這是復合函數的解析式求原來函數的解析式，應該首選換元法 f（x）各注意新元的取值范圍)；待定；整體代換(配湊法)；構“ 1 x 一 t 12t解析令t,則 x =，. f（t）1 xt 1t2 1故應填二1 x2【名師指引】求函數解析式的常用方法有： 換元法( 系數法(已知函數類型如：一次、二次函數、反比例函數等) 造方程組(如自變量互為倒數、已知 f(x)為奇函數且g(x)為偶函數等)。題型2：求二次函數的解析式例4(普寧市城東中學 09屆高三第二次月考) 二次函數f(x)滿足f(x 1) f(x) 2x,且 f(0) 1。求f(x)的解析式；在區間1,1上，y

41、 f(x)的圖象恒在y 2x m的圖象上方，試確定實數m的范圍。解題思路(1)由于已知f(x)是二次函數，故可應用待定系數法求解；(2)用數表示形，可得求2x m f(x)對于x 1,1恒成立，從而通過分離參數，求函數的最值即可。解析設 f (x) ax2 bx c(a 0),則f (x 1) f (x) a(x 1)2b(x 1) c (ax2 bx c)2ax a b2a 2,a 1.與已知條件比較得：解之得， '又f(0) c 1,a b 0b1由題意得：x2 x 1 2x m即m x2 3x 1對x 1,1恒成立,易得 m (x2 3x 1)min1考點4:分段函數題型1：根據

42、分段函數的圖象寫解析式例5 （07年湖北）為了預防流感，某學校對教室用藥物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量 y （毫克）與時間t （小時）成正比；1 a 1藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y 16（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題:（I）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間t （小時）之間的函數關系式為;（n）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室。思路點撥根據題意，藥物釋放過程的含藥量y （毫克）與時間t是一次函數，藥物釋放完畢 后，

43、y與t的函數關系是已知的，由特殊點的坐標確定其中的參數，然后再由所得的表達式解 決（n） 解析（I）觀察圖象，當 0 t 0.1時是直線，故y 10t；當t 0.1時，圖象過（0.1,1）0.1 a10t,0 t 0.1所以1 ，即a 0.1 ,所以y 1toi16( ) ,t 0.1160.1 a, 、1(I)0.25160.1 a0.5111616t 0.6,所以至少需要經過0.6小時【名師指引】分段函數的每一段一般都是由基本初等函數組成的，解決辦法是分段處理。題型2:由分段函數的解析式畫出它的圖象例6 （2006 上海）設函數f（x） | x2 4x 5 ,在區間2, 6上畫出函數f（x

44、）的圖像。f (x) x2 x 1-29 21 - / 57v1.0可編輯可修改-10 - - 31 - / 57象。需將來絕對值符號打開，即先解x2 4x解析f(x)x2 4x 52 x(x24x 54x 5)然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖路0,2 x1或5 x 6上一 臼，如右上圖.【名師指引】分段函數的解決辦法是分段處理，要注意分段函數的表示方法，它是用聯立符 號將函數在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。新題導練9. (09年潮州金山中學)已知函數f(x)2x2 x(x僅0)0)解析2 ;由已知得到ff(1)f(2 13)f(1)1)2 110. (

45、06山東改編)設2 f(x)x 1,x2.解析(1,2)(>/5,)；當x 2時，由f(x)備選例題1: (2005 江西210g2(x1), x則不等式f(x) 2,2 0的解集為當x 2時，由f(x)2,得10 得 log2(x2 1) 2,得2.一x)已知函數f(x)ax b(a, b為常數)且方程f(x)x+12=0 有1)x kx兩個實根為 x1=3, x2=4.(1)求函數f(x)的解析式；(2)設k>1,解關于x的不等式；f(x) (22x解析(1)將x1 3,x2 4分別代入方程 x 12 0得ax b93a b164a b9解得8a 1a I所以f(x)b 2(2

46、)不等式即為(k 1)x k可化為2 x 'x2 (k 1)x k2 x即(x 2)(x 1)(x k) 0.當1 k 2,解集為x (1,k) (2,).當k2時,不等式為(x2)2(x 1)0解集為x (1,2) (2,);當k 2時,解集為x (1,2) (k,).備選例題2： (06重慶)已知定義域為R的函數f(x)滿足2-2 f f (x) x x f (x) x x.(I)若 f(2) 3,求 f(1);又若 f (0) a,求 f(a);(II )設有且僅有一個實數 x0,使得f(x°) x°,求函數f(x)的解析表達式解：因為對任意x R,有f(f(

47、x)-x 2 x) f (x) x2 x所以 f(K2)-2 2 2)f (2) 22 2又由 f(2)=3,得f(3-2 2 2) 3 22 2,即f(1) 1若 f(0)=a,則 f(a 02 0) a 02 0,即 f(a) a(II)因為對任意 x R,有f(f(x) x2 x) f (x) x2 x.又因為有且只有一個實數%,使得f(%) x0所以對任意x R,有f(x) x2 x x0在上式中令x %,有f(%) x2 % %又因為f(x0) x0,所以x0 x(2 0,故=醵x0=1若凡=0,則 f(x) x2 x 0,即f(x) x2 x但方程x2 x x有兩個不相同實根，與題

48、設條件矛盾。故x0 0若x0=1,則有f(x) x2 x 1,即f(x) x2 x 1.易驗證該函數滿足題設條件。綜上，所求函數為f (x) x2 x 1 (x R)搶分頻道基礎鞏固訓練：1. (09年廣州高三年級第一學期中段考)函數 y f x的圖象如圖2所示.觀察圖象可知v1.0可編輯可修改函數y f x的定義域、值域分別是(A. 5,02,6 , 0,5 ； B. 5,6 , 0,C. 5,02,6 , 0,; D. 5,解析C ;由圖象可以看出，應選擇 C2. (09年惠州第一次調研考)某工廠從圖22000年開始，近八年以來生產某種產品的情況是:產量y與時間t的函數圖像可能是(yoA)

49、x的變大而變小，后四年年解析B ；前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，選B.3. (2004 湖南改編)設函數f (x) x bx c, x 2,x 0.0,若f(3)f(0), f( 1)2,則關于x的方程f(x)x的解的個數為解析3 ；由f (3)f(0), f ( 1)2 可得 b 3,c0,從而方程f(x) x等價于x 0x f(x)3x x3x得到x x0或x 2 ,從而得方程f (x) x前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的b24b 3 24-25 - - 33 - / 57的解的個數為4. (05江蘇)已知a,b為常數，若f (x)4x 3,f (axb)x210 x 24 ,貝u 5a解析2 ;因為f(x)x2 4x 3,所以f(ax b)(ax b)2,.、一2 24(ax b) 3 a x(2ab2_4a)x (b 4b