1、圓錐曲線八種解題方法、七種常規題型常用的八種方法1、定義法2、韋達定理法3、設而不求點差法4、弦長公式法5、數形結合法6、參數法(點參數、K參數、角參數)'7、代入法中的順序8、充分利用曲線系方程法七種常規題型(1)中點弦問題(2)焦點三角形問題(3)直線與圓錐曲線位置關系問題(4)圓錐曲線的有關最值(范圍)問題(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數法解決。2 .曲線的形狀未知 -求軌跡方程(6)存在兩點關于直線對稱問題(7)兩線段垂直問題常用的八種方法lx定義法(1)橢圓有兩種定義。第一定義中，4+=2。第二定義中，八=ed1,r2=ed2O(2)雙曲線

2、有兩種定義。第一定義中，卜-4二2。，當外時，注意的最小值為c-。：第二定義中，rx=edx)r2=ed2l 尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與點到準線距離” 互相轉化。(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲 線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線 與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一 元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問 題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。'七高中數學解題掰究會為944495?3、設而

3、不求法 解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用 這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法 設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題， 常用點差法”,即設弦的兩個端點/（$）以，%），弦/月中 點為（與，K）,將點4、5坐標代入圓錐曲線方程，作差后, 產生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求法, 具體有：X' v（1）下+=1（。>八0）與直線相交于4、B、設弦46中 a， b點為A/（x0,y。），則有與+魯 = 0。（其中人是直線4#的斜 率）V2 V2二-2=1（。> 0,b > 0）與直線I相交于A、B ,設弦AB中點

4、為J。）則有之-興 = 0（其中是直線"的斜a n率）（3） y2=2px（p>0）與直線I相交于/、5設弦4f中點為”（/Jo），則有2yok = 2p，即yQk = p .（其中4是直線AB的斜的、石高中勁學解趣冊完上?芍44的為4、弦長公式法弦長公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦Z8長的方法是：把直線方程F 二云+力代入錐曲線方程中，得到型如“2+& + c = 0的方程，方程的兩根設為Xb，判別式為,則I9=，1 +52|3一勺|二 ViTF君,若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。5、數形結合法 解析幾何是代數與幾何的一種統一，常要將代數的運算推理 與

5、幾何的論證說明結合起來考慮問題，在解題時要充分利用代數運算的嚴密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數 式子利用其結構特征，想象為某些圖形的幾何意義而構圖，用圖形的性質來說明代數性質。如“2x + y,令2x + y = /）,則力表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如“/+/”,令J/+F =則表示點（xj）到原點的距離；又如“匕I”，令二二%,貝心表示點（兀刃 x+2x+2與點4-2,3）這兩點連線的斜率才,高中期字解期冊冗金?如444狗36、參數法（1）點參數利用點在某曲線上設點（常設”主動點）以此 點為參數，依次求出其他相關量，再列式求解。如x軸上一 動點尸，常設尸億。）；直線-2戶1

6、=0上一動點入 除設 尸（石，必）外,也可直接設凹）（2）斜率為參數當直線過某一定點（與,）時，常設此直線為 y-yQ=k（X-X0）t即以上為參數，再按命題要求依次列式求 解等。（3）角參數當研究有關轉動的問題時，常設某一個角為參數，尤其是圓 與橢圓上的動點問題。7、代入法中的順序這里所講的“代入法：主要是指條件的不同順序的代入方法, 如對于命題：'已知條件/,A求（或求證）目標方法1是 將條件代入條件優，方法2可將條件6代入條件/ 方法 3可將目標0以待定的形式進行假設，代入兒巴這就是待定 法。不同的代入方法常會影響解題的難易程度，因此要學會 分析，選擇簡易的代入法。8、充分利用曲

7、線系方程法 七高中數字解跑斫允會力找44兆?一、定義法（典型例題）例1、（1）拋物線:y2 = 4x上一點P到點43,4無）與到準線 的距離和最小廁點P的坐標為拋物線c: / = 4x上一點Q到點"（4,1）與到焦點卜的距離 和最小，則點Q的坐標為o分析：父在拋物線外，如圖，連相,則歸川=伊川， 因而易發現，當力、/三點共線時,距離和最小.（2） 8在拋物線內，如圖，作。A_L,交于A.則當4、。、“三點共線時，距離和最小口解:（1） （2,72）連尸尸，當/、三點共線時，AF+PH = A/PF最小，此時/尸的方程為y = 4?；0（x 1）即 y = 242（x-l） I 代入

8、y2=4x 得 3 1/y2,2無），（注；另一交點為0）,它為直線/與拋物線的另一交點.舍去）（口） 4過0作。發，/ I交于R,當療、0、R三點共線時， 闡十班=出。+ 3最小.此時。點的縱坐標為1,代入尸=4得工二;二0（：）44點評：這是利用定義將“點點距離與“點線距離'互相轉化的一個典型例題,請仔細體會,口乙讖中數宇解題研究金外94小田伊v-2“是橢圓小1的右焦點，41,1)為橢圓內一定點，為橢分析：/為橢的一個焦半徑,常需將另一焦半徑/'或例2、上一動點。IM+P川的最小值為(2) |必| + 2伊4的最小值為準線作出來考慮問題。解:(1) 4-75 設另一焦點為尸

9、則弁(7,0)連/尸,尸尸'|B4| + |PF| = |B4| + 2a -PF = 2a -(|PF| -PA) > 2a-AF9= 4-V5當“是力尸的延長線與橢的交點時，|必|+|尸川取得最小值為4-石。(2)作出右準線/，作交于，因/=4, =3,6,2 = 1, ct = 2,c = 1 , e =一,. PF = PHi2PF = PH/. PA2PF = PA + PH當4、1 三點共線時，其和最小，-a2最小值為xA =4-1 = 3沁高中數字解題研究會少%4/加一；例3、動圓M與圓G : （x+1）2 + J，2 = 36內切，與圓C2:（x l）"

10、 =4夕卜切，求心的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的 “圖形特征”：兩個圓心與切點這 三點共線（如圖中的4",C共 線，共線）。列式的主要途徑是動的“半徑等于半徑”（如圖中的解：如圖，阿。二阿外：.A- |M4| = MB - |P5|BP6-M = MB-2MA + MB - 8點M的軌跡為橢2a = S.a 4,c= L />2 = 15 軌跡方程為2216 15點評：得到方程（）后，應直接利用橢的定義寫出方程,而無需再用距離公式列式求解，即列出7（xZi）2 + /+7（:1）2 + / =4,再移項，平方相當于將橢標準方程推導了一遍,較繁瑣！、化高中繳字解題講究會

11、%94M95?3例 4、A/J8clt1, “（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sin B = -sin 4求點4的軌跡方程。分析：由于sin4sin3,sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R （ 為外接圓半徑），可轉化為邊長的關系。二33解：sin C- sin B = -2Rsin C-2RsmB = - 2Rsin A同一附=）忸q即4»q = 6（*）點4的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）:2a - 6,2c = 10a = 3,c = 5力=4所求軌跡方程為匚=1 （x>3）916點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）氏1

12、，高中如學孱題研究2平也例5、定長為3的線段4,的兩個端點在y = V上移動，力，中 點為M ,求點M到x軸的最短距離。分析：(1)可直接利用拋物線設點，如設/區/；)，B(x2, X；),又設AB中點為M(x°)。)用弦長公式及中點公式得出 盟關于z的函數表達式，再用函數思想求出最短距離。(2) 到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮到準 線的距離，想到用定義法。解法一：設 4(X1,x；) , B(x2,x22) , 中點 M(x0,y0)則Ui-xJ2 +(x； -")2 =9< X + & = 20X； + X； = 2yo由得(x1-x2)21 +

13、 (xi+x2)2 = 9即(& +x2)2-4x1x2- 1 + (Xj +x2)2 = 9 由、得2M=(2%)2-2盟=4與2-2%代入得(2x0)2 - (8x； - 4%)1 + (2x。> = 9,9' 4凡 - 4x- = y ,1 + 4%994yo = 4X： +=(4x； +1)4- T -14Xq4Xq +1N2 百-1=5, y0>f4當4x； + I = 3即工。=±卓時，(凡篇=此時"(±43)242 4七 司中勃宇解迦班無會方94449公解法二 2 如圖，2|MA/2| = AA2 + BB2 = AF +

14、 BF >AB = 33.MM, > , -2I 3時取得最小值。即 mm I> , .|跖|2(,當力6經過焦點 "到x軸的最短距離公點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消石,與，從 而形成關于X。的函數，這是一種設而不求”的方法。而解 法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點到X軸的距 離轉化為它到準線的距離,再利用梯形的中位線，轉化為4 B到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證48是否能經過焦點F ,而且點M的坐標也不能直接得出。化高中物宇解整

15、研先會333444953二、韋達定理法例6號已知橢圓廣+ 工 =1（2 用£ 5）過其左焦點且斜率為 m 11的直線與橢圓及準線從左到右體次交于4也設 八二|/|（州，（1）求人m）, 求八的最值.分析：此題初看很復雜.對的結構不知如何運算，因 43來源于“不同系統：月在準線上.8在橢圓上，同樣r 在橢圓上.。在準線上,可見直接求解較繁，將這些線段"投 影到X軸上.立即可得防/（/）=卜4-必）近-仇-八）閩二閩（4-貓）一（工L xc） 二式|（,療+工.）一（*x+/u）ly D-&|（x 毋十 XclI 'v,. F. 0 F, y - -x 此時問題

16、已明朗化,只需用韋達I 定理即可,22解：（1）橢圓二十二一二1中，/加"加-1,/ 】，左 陽 切-1焦點邛必則H（；串=f + I.代入橢圓方程即（梆-1）/ +"/ 7雙削-1） = 0得+m（x+ I）2+/? = 0，（2fn -l）x; + Itnx + 2ttt - m- = 0設孫孫歷）,（巧6）則$ +吃=- j巴；（2玉用M 5） 2m -1/（m） = pB|-|C£）| =閩 f g= 42（xi-¥x1）-（xjt+xc = 42xi +x2| = V2 -Zffl - I二周+上2第一 I2m -二三高中也早解褪昨孔急力冽4心

17、力當加=5 時，/O)min=*Z4 J7當? = 2 時，/(/Omax =-點評：此題因最終需求勺+外,而3C斜率已知為1,故可也用“點差法”設AC中點為(加),通過將以。坐標代入作差，得2 +夫攵=0,將汽=% + 1,左=1代入得m m-也+4+1=0,m m-m2m - 1可見與+% =-2 m2m -1當然，解本題的關鍵在于對助= |M4-|CQ|的認識，通過 線段在X軸的“投影”發現/(7)- " +%|是解此題的要點。高中方學解塞研究會北944495二、點差法與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的 中點弦問題G 解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直

18、線和圓錐曲 線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的 關系、中點坐標公式及參數法求解。若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為4占Jj、 8（±.為）I將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差.得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少 運算量°我們稱這種代點作差的方法為“點差法工；二高中數字解逐明究平巳5?1.以定點為中點的弦所在的直線的方程例1、過橢22土+ E164=1內一點M(2,l)引一條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在直線的方程口解：設直線與橢圓的交點為月區Jjx B(x2,y2)"（2,1）為力”的中點 xx+x2 =4又力、8

19、兩點在橢上，則M+4凹2x22=16 兩式相減得(h；7：)+ 4(必2 -/)二0 于是（X + x2）（xt -x2） + 4vt + 為）（% 一%） = o心4（必+%）4x22即3b=-；，故所求直線的方程為-1= *-2）,即x + 2y-4 = 0 o十才啜字辯題&院之列3原分3例2、已知雙曲線經過點M（U）能否作一條直線/,使/與雙曲線交于力、B,且點M是線段的中點。若 存在這樣的直線/,求出它的方程，若不存在,說明理由。策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直 線，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問 題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點時

20、平分的弦力”，且/區,必）、伏，乃）貝 IJ% +& =2 yt+y2=29xi 2 - 1 1 Xz 2 - 1兩式相減，得（司 +x2xx,-x2）- （乂 + / X 必一 y 2）= °.卜一必一必一2 kab 一一工X1T2故直線48:歹-1 = 2（1-1）y- = 2（x 1）由）2 y2 .消去得2-4x + 3 = 0x - - = I2 A = （-4）2-4x2x3 = -8<0這說明直線彳刀與雙曲線不相交，故被點也平分的弦不存在，即不存在這樣的直線/ °評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果， 請務必小心。由此題可看到中點弦

21、問題中判斷點的M位置非 常重要。（1）若中點M在圓錐曲線內，則被點M平分的弦 也離中物字解物研究會組刎44MN一般存在；（2）若中點M在圓錐曲線外，則被點M平分的弦可能不存在。_ JK中物求懈也研冗會方3444列？2.過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡/V-例3、已知橢圓點+石=1的一條弦的斜率為3,它與直線X =:的交點恰為這條弦的中點M,求點M的坐標。解】設弦端點尸（與以）、0（%,8）,弦尸。的中點”（/Jo）,則/ =；占+%=2與=1 ,凹+>2 = 2>。又 4+北=1,應+狀=175257525兩式相減得25（必+8）（必-%） + 75（8+與）區-三）二0即

22、2yoeP %） + 3（再/）=0.入一九3 r=.天一/2為丫 左=匹二21 = 3J - = 3,即為=2% x72yo2，點M的坐標為（；廠;）0化高中贊字解題研究金叼*H國9k例4、已知橢（+| = 1,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。解：設弦端點尸（看,必）、解“2），弦尸。的中點”（XJ），貝IJ X + 工2 = 2x ,"十8=2了22又言+如22歹2 J _1- 17525兩式相減得25（必+%）（% -%）+ 75（再+X2）（占一）二0 即 （以 一 >2）+ 3x（$ 二）二 0 ,即=-一/一超 y. k = = 3 /.- = 3,即 x + y

23、 = O 七一 £ y,j 2 + >7°，0口 5M 56 5M 5V3由惶+會1，得P（-，?。?。（，-三） 點"在橢圓內.它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為05百 56、 工+廣。（-< <先高中數字 /珊究生3%小必犯?已知橢圓彳+ / = ,求斜率為2的平行弦中點的軌 4跡方程.解 設弦的兩個端點分別為“(占,弘),?？?辦)，的中點為v2V 2則爭必2=1,券+ %2=.丫2 20)-(2)得 ：土U +仇 2 f2)=。，4x +x7 y -y1 /、八()*一V. V.又X +=2兀必+8=2y,_= 2 , :.x + 4y =

24、0.% X2,弦中點軌跡在已知橢圓內，.,所求弦中點的軌跡方程為x + 4y = O (在已知橢內)E哥中數字解題。院會少43例2 直線/:辦-歹-（。+5）= 0 （是參數）與拋物線 /：歹=（X + 1的相交弦是48 ,則弦48的中點軌跡方程解 設4（占,必）、5（工2，8），48中點"（xj）,則玉+=2x. /:。（工一1）-（歹+5）= 0 ,/. / 過定點 N（l,-5）,7 y + 5kB =左My =，x-1又必二（3+1）2,歹2=（+1）1 一得： %一% =（芭+ I）" （+廳=（西一工2 ）（%+ 2）,k m=+ X）+ 2 玉一于是S = 2

25、x + 2,即歹=2/一7.X- 1,弦中點軌跡在已知拋物線內，所求弦中點的軌跡方程為 y = 2F 一7 （在已知拋物線內）. 為 3.求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點I一焦點為尸（0,而）的橢圓被直線/：歹=3-2截得的弦的中點的橫坐標為g,求橢圓的方程。解：設橢圓的方程為£ +樂=1,貝IJ/一=50一 設弦端點尸（看,必）、Q（x29y2）t弦尸0的中點則-o t ， J'o = 3,r0 - 2 = /. x +- 2x0 = 1 ,+ 力=2yo = 一 2222必 Jl _ 1 為2 _ 又=+l = i，f+l = i cr /r cr b兩

26、式相減得方，（必+8）（弘一外）+ 0,（*+x2）（Xj-x2） = 0 即（必v2） + a2 區士）二 0聯立解得/= 75, =2522二所求橢圓的方程是（W1 淪高中數字解題研無會支?例3 已知A4/TC的三個頂點都在拋物線/=32x上，其中 4（2,8）,且A4BC的重心G是拋物線的焦點，求直線8c的 方程.解 由已知拋物線方程得G（8,0）.設8C的中點為/（X。,）,則4 G、加三點共線，.AG = 2GM, G分商所成比xn =11,、解得 ./.M（ll-4）.1 二 -4設3（%,%）,。（匕,%），貝匹+必=-8.又必2 =32芭，/2 =32，一得：必2一%2=32（

27、石一馬），二必一為 二 32-32 二 J"為一 吃 必十% 8BC所在直線方程為歹+ 4二一4（x 11）,即4x +歹一 40二0 .生高中繳字解題研究會"M449電例4 已知橢。力0）的一條準線方程是有一條傾斜角町的直線交橢于4 B兩點,若4B的中點為中鳥,求橢圓方程.解 設/（看,弘）、3（匕,必），貝IJ占+匕=-1,乂=3 ,且里十連二1,M +*1, cr bcr Zr一（2）得：與2一年二短一82a2b2弘一歹2_”（占+、2）_ 濟-1- 西一匕 片（必+乂） 。2 12AB二%一外 二 2b2xx -x2 a2a2=2b (3)_ a2又一二a2 = c

28、 t (4)而 a2 =b2 +c2, (5)由(3), (4), (5)可得所求橢圓方程為,+ f = L七 濡中數字解題研究會”心生4.圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題例6、已知橢試確定的朗取值范圍，使得對于直線卜=43+ ?，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。解:設或（4乂），P2（x2,y2）為橢圓上關于直線y = 4x+泓的 對稱兩點，/"4）為弦/記的中點，貝1113k+4凹2 二 口 3x；+4為2 二 12 兩式相減得，3（巧2-/2） + 4（必-%2） = 0 即 3($ + x2)(x -x2) + 4(弘 + 匕)(%一%)二。M 一力+ x2 - 2x t

29、 凹 + % = 2y , 二二一二/f 4，y-3x這就是弦中點軌跡方程。聯立片：+，得 y =+加它與直線N=4x +倒的交點必須在橢圓內x = mj 一 313 T則必須滿足/<3- 必, y - -3m4Hn Z2 a2 3 2 鈿 r 2a/132a/13即(3/?) < 3 m r < 切 <41313三高中物學解題箱孔會歸處咯火5,求直線的斜率例5已知橢圓高+千=1上不同的三點/(")(B <- <(三,必)與焦點*(屯0)的距離成等差數列.I 5)(1)求證：用+巧=8 ；(2)若線段力，的垂直平分線與丫軸的交點為幾求直線的斜率上(

30、1)證 略一.,士+公=8,上設線段月C的中點為。(4,穌).又4在橢圓上，.二T25259-得：三六M 為 9（菁十三） 9 836 - 8 . 一 西一占 25（凹+%）25 2穌25yo，直線。丁的斜率/251yo6.二直線。的方程為一為二令尸0,得/二64日/64小 放即/層外6425-O，直線/"的斜率上J二工64 44-產-高中數學解詢三金"中如閂黨IBS6,確定參數的范圍例6 若拋物線。：/二上存在不同的兩點關于直線I :y = mx-3 對稱，求實數陰的取值范圍.解 當機=0時，顯然滿足.當切H 0時，設拋物線C上關于直線/: y二巾（X - 3）對稱的兩

31、點分別為尸（沖,乂）、0（吃,%），且尸。的中點為“（/J。）, 則:=與.（1） （2）得：了%2 3 '2， k J1 - 1.fcPQ -,占一占 乂 +B 2%T7 1m又 =, J K = 一三.- m2中點 A/i/Jo）在直線/:y =m，一3）上，=用（%-3）, 于是4二:中點在拋物線爐二x區域內M < x0 ,即（萬）< ，解得 "V10 < fn <.綜上可知，所求實數加的取值范圍是一瓶，后L、/,高中數學解題附究仁犯9444犯?7.證明定值問題已知43是橢 + -（a>b> 0）不垂直于不軸的任意一條弦，戶是4月的中

32、點。為橢圓的中心.求證：直 線43和直線的斜率之積是定值.證明設/（三,弘）津（馬,必）且石工芍，則£+3=1, cr 方一（1） （2）得:二M一為二（占+%）:k二凹一見二於（為+0） 一王一 （川+丹）"玉/（弘+匕）天+吃b2AB * *QP（定OP值）.心高中勃學解題研究會當94443羽8.其他(看上去不是中點弦問題，但與之有關，也可應用)例7、,過拋物線廣=2px(p >0)上一定點P (乙,凡)(h>0),作兩條直線分別交拋物線于/ (卬必)，B(三,力)，(1)求該拋物線上縱坐標為;的點到其焦點F的距離；(2)當以與PB的斜率存在且傾斜角互補時，

33、求&士叢的值，并證明直線力8的斜率是非零常數.解(1)略(2)：設4乂2,凹)潭(必2,必)則一% -/8+必. “ 一打-1“ 一 為一兒1y |一九 乃十凡 乃 為+凡由題意,產-k丁, 1二,則乂 十乃二 一2yo月+孔 兀+為見I ；心B二一彳二 為定值已七高中數學解題研究會刃S例8、拋物線方程V = p(x + D (p>0)直線x + y = /與x軸的焦點在拋物線準線的右邊(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2)設直線與拋物線的交點為2、B,且。4,0乩 求p關于/的函數/(/)的表達式。(1)證明：拋物線的準線為/：x=-1-£4由直線X +片/與

34、X軸的交點(/,0)在準線右邊，得/- jfij4/ + /9 + 4>04由1消去y得/一(2/ + p)x + ( - p) = 0y =p(x+i)V A = (2/ + p)2 -4(/2 - p)= p(4/ + p + 4) >0故直線與拋物線總有兩個交點。(2)解：設點力(再,必)，點8氏，%)/. $ +x2 =2/ + ,中2 =r - p,/ OA 1 Oli,kOA xkOB = -1則石區+必必=0又必必= xxx2 + 必必 " « + 2) = 02，p=.fs=yr+24>04+p+4 >0得函即順定義麻 (-2, 0)

35、50, +00)、七 高中級宇解觀研無會方弘449后【同步練習】1、已知：凡是雙曲線二-二二1的左、右焦點，過£作a， b直線交雙曲線左支于點43,若|/月二7, A/BK的周長為( )A、4aB、4。+ 加C、4。+ 27D、4a - m2、若點。到點b(4,0)的距離比它到直線x + 5 = 0的距離小1,則P點的軌跡方程是()A、/=-16xB、y2 =-32xCx y2 =16xD、y2 = 32x3、已知A46c的三邊4?,的長依次成等差數列，且/網»(,點兒的坐標分別為(TO), (1,0),則頂點A的軌跡方程是()A、T + y = 1B、注=1 x2 y2C

36、、1= I(x < 0)43x2 V2D、一+乙=1(工0且尸0)主,高中勉學解題斫窮全力9M495?4、過原點的橢圓的一個焦點為“。,0),其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是()A、B、C、D、(x-1)2+y2 =:(xhT) (x + ；)2 +y2 =1(x-l)i qX2 +(-)2 =-(x*-l)i 9/ +(,+ =-(%-i)225、已知雙曲線二-匚二1上一點M的橫坐標為4,則點例 916到左焦點的距離是6、拋物線二2月截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是7、已知拋物線歹=2/的弦48所在直線過定點p(-2,0),則弦48中點的軌跡方程是8、過雙曲線=4的

37、焦點且平行于虛軸的弦長為9、直線y="+ 1與雙曲線片一72二1的交點個數只有一個.則女=，舞通研究會339444910、設點是橢2，259=1上的動點，是橢圓的兩個焦點，求sin/尸/乙的最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標 原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數列，若直線I與 此橢圓相交于4 B兩點，且48中點以為(-2,1), 求直線I的方程和橢圓方程。12.已知直線I和雙曲線=-4=1(。> 0/> 0)及其漸近線 的交點從左到右依次為/、B、。、。求證：AB = CDO忑高中效學解題班先會先科物光?【參考答案】1、CI4圖用二2凡也周一

38、出用=2%|幽 +忸6H/川=4凡|陽 +1陽 + AB = 4。+ 2初選C2、C點，到“與到x + 4 = 0等距離，P點軌跡為拋物線 =8開口向右，則方程為V = 16x,選C3、Dv AB + A( = 2x2t 且陷>|4C|,點4的軌跡為橢圓在V軸右方的部分、又力、B、。三點不 共線，即ywo,故選D。4、A設中心為(xj),則另一焦點為(2%-另y),則原點到兩焦點I 19距離和為 4 得 1 +(2一1/ +(2)2=4, /. (x-)2 +V =11 又cv".+/ <2.(x-<4 ，由，得不。一1,選ACl中勃宇射學用夯會33%要/35 *、

39、3QQ OO左準線為x = -（, M到左準線距離為 =4-（-* = ? 則5 7929到左焦點的距離為=3=3 53設弦為/（占,必），以,巴），中點為（x,J）,則弘= 2x y2 = 2x22 ,兇一力=2（芭2-2） = 2（x, +工,）2 = 2-2x , x =，將 x =，代入 x.-x,22I /、=2/得=3，軌跡方程是x = ；（y> ；） 7、y2 =x + 2（x>2）設力（七,必），B（x29y2） , AB中點則yi = 2x, j； = 2x2 J； -兌=2區-芍），&（必 + 必）=2kAli - kMP - - - , 2y = 2

40、,即 j廠=x + 2x+2x+2又弦中點在已知拋物線內P,即/<2x,即x + 2v2九8、4ci2 = h2 = 4,c2 = 8,c = 2V2 f 令x = 2后代入方程得 8-/ =4歹2=4| y=±2,弦長為4心司中郎學解題斬允會乃必44獰29、土行或±1） 二"+11 代入工2一/ 二1 得/一（"+）2一1=0.（1一二*一2丘一2 二 021 P一"0°得4左2+8（1-公）= 0,左二士正1 一左2二o得一 A = 0k = ±10、解：2=25萬=9,。2 = 16 設G/；為左、右焦點,則/*

41、-4,0),6(4,0)設|/閔=4周二 &，/"/£ =。yp則大=2。®吸L+r _2y cos6> = (2c)2D2-得 2 格(1 +cos 6) = 41 + cos =4b2 _ 2b22F rr2.尸+之2而?，乙尸2的最大值為廣1+cos。的最小值為二-,即1 + COS。 cr2577cos。>,0<ff< Jr - arccos 2525則當。=g時，sin。取值得最大值1, 2即sinN£P/；的最大值為1。、二之鬲可晚宇解疑研究公力%4的電X211、設橢圓方程為三+ =1(。>> 0)

42、b2a2 一由題意：C,2c 土+ C成等差數列, C.4c橢圓方程為即/二 2c2,a1 = 2(/ 一 加),. a2 = 2b2X" y27 +宣=1,設力區,必)，伏，8)2) D>2>22222-得守。工+ 2 = 02b2 b2則條+注=1余+?=|-2即F k=0 k = 2直線方程為歹一l = x + 2即歹= x + 3,代入橢圓方程即x2+/- 2" = 0得V+2(x + 3)2 -26=0 /. 3x2+12x + l8-2Z>2=0I力闿二 |Xj - x2 Jl + 1 =-12(18-2)收=4百解得"=12,r2

43、v2橢圓方程為萬+石”直線I方程為“7 + 3 = °高中效宇群翔精元占它為444為？12、證明：設力即必),。(工2，%)，4。中點為M(%Jo)直K_K_=i 線I的斜率為K則后b2H只7序下一 1-得笠辛設設片,K), c® ,川),BC中點為“(%M,1212a1 b2P I：_-2_ = 0if b2-得千澤I由、知”均在直線小號-當女=0上,而” 又在直線/上, 若/過原點，則仄C重合于原點，命題成立 若/與X軸垂直，則由對稱性知命題成立 若/不過原點且與x軸不垂直，則"與AT重合陽= |C4口二高中勃學解遜明分會？約444RJ四、弦長公式法若直線/

44、:> = % +力與錐曲線相交與力、”兩點,A（籍1,乂）,月（,外）則弦長= J（再f +（y；-j），=-x2） + kx b- （kx2 十力）=Jl + 12 kl-JC3 = Jl + / J（JC +片2> - 4再心同理：川4 J +J.i-n+” 一4"M特殊的.在如果直線力a經過拋物線的焦點，則|力看=?一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦乂8長的方法是：把直 線方程十力代入圓錐曲線方程中，得到型如。&+ c = 0的方程I方程的兩根設為打.小,判別式為' 則|/B|=Jl + l . "一4|二J1十公叵,a若直接用結論.能減少配

45、方、開方等運算過程。例 求直線M-y+ 1 = 0被橢圓/+4/= 16所截得的線段的長凸2結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時,由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算.工荒中鋁字解冠幫齊合力$的公例題1 ：已知直線y = x + l與雙曲線。：/一匕=1交于/、B4兩點，求,45的弦長解：設4解,%),即2，%)歹=X+ 1由 J v2 得4/ -(X + 1)2 -4 = 0 得3/-2x-5 = 0x2 一匚二142X + X)=1 2 a則有，得，中2 二一二M = J1+J J（再 +）2 _4再2 = V2 + y =|V2x

46、21練習1 ：已知橢圓方程為9+/ =1與直線方程/：y = x + ； 相交于4、B兩點,求48的弦長 練習2 :設拋物線/=4x截直線y = 2x +加所得的弦長48長為36,求加的值化高中勃學解題研究即加，分析：聯立直線與拋物線的方程，化簡，根據根與系數的關 系，求弦長 解：設4（再,必）,8（*2，%）1聯立方程，得6/+以-3 = 0廠 21+ V =12X + 工2 二一1XX2 =.»闿= J1 + a2 -J(x)+x2)2 4xax2 y/2()2 4x()2Vn3解:設力(xl9yt)9B(x29y2)v，= 4x聯立方程:得4/+(4加 4)x + /=0y =

47、 2x + mx1 + x2 =1- m m2X“2 =彳 v |= yll+k2 yj(xl +x2)2 -4Xj%2 = 一 加)2 72 = 3>/5，、七高中勤學解題研究會列9444%3/. m - -4例題2 :已知拋物線y = -/+3上存在關于直線x + y = O對 稱相異的兩點力、B,求弦長|力同分析：4、3兩點關于直線x + y = O對稱，則直線48的斜率與已知直線斜率的積為-1且的中點在已知直線上 解：/、8關于/:x + y = 0對稱k, - k = -I / k, = 一1 k ir = 1 / AnIJAn設直線43的方程為y = x + b , A（/,

48、必）,8（工2，/）=x + b=-x2 + 3化簡得 / + x + /? 3 = 0/. Xj + X-> 148中點收（；,一: + 3在直線+= 0上:,b = :.x +x-2 = 0x += 1則cxx2 =-2:.AB = Jl + 2 J（芭 +馬）2 _4x/2 = Vlj（_l）2 +8 = 372 小結：在求直線與圓錐曲線相交的弦長時一般采用韋達定理 設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點T聯立方程一消元f韋達定理f弦長公式、工1，高中繳學解題研究會”944妁狎作業：過拋物線V =4x的焦點，作傾斜角為。的直線交拋物線于A.B16T求。的值Y(2)已知橢圓

49、方程彳+ / =1及點次0=2),過左焦點4與8 的直線交橢圓于C、。兩點，入為橢圓的右焦點，求ACO6的面積。七黃牛數字辟題研完23約444%?五、數形結合法例1 :已知產(。向是直線x+2y-l = 0上任一點，求 S =+ 4+二61 + 13 的最小值。比，Q '分析：由此根式結構聯想到距離公式，Z 解：S = 4。+25+仍一3尸設0(2,3)則s = |p。,它的最小值即Q到此直線的距離.W _ |-2 + 2x3-l| _ 3后-= 忑 =丁點評：此題也可用代入消元的方法轉化為二次函數的最小值問題(注：可令根式內為“消元后，它是一個一元二次函數)例 2 :已知點 P(x,

50、y)是圓 x2 + y2 - 6x-4 + 12 = 0 上一動點.求二的最值BX解：設。(0,0,則上表示直線OP的斜率，由圖可知，當直 x線QP與圓相切時，21取得最值，設最值為a則切線：尸二履, X即咫t _ y = 0®|(x-3)Wp-2)2 =11由圓心(3,2)到直線由-y =。的距離例3 :直線/：仆+ 7 + 2 = 0平分雙曲線二-二=1的斜率為 1691的弦，求的取值范圍.分析：由題意，直線/恒過定點以0,-2),平分弦即過弦中點, 可先求出弦中點的軌跡，再求軌跡上的點.W與點的連線的 斜率即-4的范圍。解：設/ (再以4,8)是雙曲線上的點，且的斜率為八1,4

51、”的中點為(%)。)7©得空午j咤售=。即,義)在直線9x-16y = 0上。由 j 916y = 0r_r=116 9，點M的軌跡方程為9x-16y = 0(/<-與二或9 + 2"-16由圖知，當動直線/的斜率Ag9-277-16-高中效學解題,研元會發時，/過斜率為1的弦4?的中點，k = -a的取值范圍為9 + 2行-16-99 277-9 記'6一點評：此題是利用代數運算與幾何特征相結合的方法而解得的, 由圖得知，弦4"中點軌跡并不是一條直線（9x76歹= 0）,而是這條直線上的兩條射線（無端點）o再利用圖形中的特殊點（射 線的端點G /）

52、的屬性（斜率）說明所求變量”的取值范圍。<,高中數字解題研究會為9444/3六、參數法例4 (六參數)：過產二工上一點/(4,2)作傾斜角互補的兩條 直線/爪力交拋物線于從兩點由求證：直線的斜率 是定值.分析：(1)點力為定點點從為動點，因直線H心的 傾斜角互補，所以心內與"相反，故可用”參數”法，設/月 的斜率為人寫出直線的方程將/斤的方程與拋物線方 程聯立,因力為已知交點，則方程有一根已知故用韋達定理 容易解出點B坐標同理可得點坐標再求斜率口(2)因點以在拋物線上移動，也可用"點參數'法，設y-2- ky2 -4) rgp ky2 -j-4fc + 2 = 0.一二2是此方程的一解，r -4 + 2I-2k2 一一-=7 kk2 1-4A- + 4A- yj = rs,而 1-24、V k4C二一八以-4代替人代人